INTRODUCTION. XXXIII

pondent. Ces deux systèmes complexes oiïrent les mômes avantages des systèmes simples correspondants, car ils conduisent par la voie la plus directe au système naturel, ils donnent lieu à des formules aussi simples que significatives, enfin ils sont applicables aux surfaces quelconques.

C'est grâce à ces systèmes de coordonnées complexes que .nous soumettons à l'Analyse un grand nombre de problèmes non résolus, parce que l'Analyse cartésienne peut difficilement les atteindre, et que nous obtenons des solutions nouvelles et complètes de problèmes déjà connus ou partiellement traités. Tels sont les problèmes généraux des roulettes, des caustiques, du mouvement d'une figure invariable ou variant par voie de déformation, et la question non moins importante de la transformation des figures par leurs rayons vecteurs, suivant une loi donnée.

Si nous avons longuement insisté sur les applications de notre Analyse, c'est qu'il nous fallait par des exemples irrécusables mettre en contraste la méthode que nous suivons avec celles que Ton a suivies jusqu'à présent et que ces applications forment en elles-mêmes, quant à la matière et quant à l'ordre, un corps de doctrine géométrique qu'il est aujourd'hui indispensable de connaître.

XVIII. Le troisième et dernier Livre est consacré à l'étude des coordonnées curvilignes planes quelconques et à l'étude générale des courbes rapportées à ces coordonnées. Nous avions déjà publié en 1869, dans \q Journal de Mathématiques de Crelle, une théorie analytique complète de ces coordonnées; mais cette théorie ne pouvait trouver place dans le volume que nous publions, dont la marche est toute synthétique. Il nous fallait trouver dans les deux premiers Livres tous les éléments d'une théorie nouvelle; or la chose ne présente aucune difficulté, notre principe de la courbure inclinée nous donnant la solution complète de ce problème et nous permettant de nous élever d'une manière sûre jusqu'aux formules les plus générales. 11 est vrai que la fidélité à la marche nouvelle donne un caractère tout à fait géométrique à cette théorie. Nous ne croyons pas que les géomètres aient à s'en