XXXIV INTRODUCTION

plaindre, car cette théorie leur présentera un cas nouveau où la Géométrie triomphe des plus grands obstacles par les plus petits moyens, suivant cet aphorisme si connu : Quod tam paucis tam multa prcestat, Geometria gloriatur, et ce qu'ils verront avec intérêt, c'est que le même principe de la courbure inclinée leur permettrait d'établir par une voie tout à fait pareille la théorie complète des coordonnées curvilignes tracées sur une surface quelconque.

En effet, dans l'un et l'autre cas, deux équations fondamentales dominent la question : la première, relative à la différence des variatjons des angles de contingence géodésique des courbes coordonnées; la seconde, relative à la somme des variations de ces angles. La première équation reste identiquement la même dans les deux cas, la seconde s'accroît d'un terme lorsque l'on passe du premier cas au second, parce que la courbure de la surface s'introduit lorsqu'il s'agit d'une surface quelconque; mais dans les deux théories elles peuvent s'établir de la même manière, en partant du principe de la courbure inclinée. Ces deux équations étant établies, on peut suivre des routes tout à fait parallèles sur lesquelles se trouvent distribuées les mêmes étapes, et atteindre de la même manière les conséquences les plus éloignées qui ont dans les deux cas des formes pareilles.

Il était de notre devoir de signaler ce lien entre l'Analyse des courbes planes et celle des courbes tracées sur une surface; car, s'il est évident que la seconde contient implicitement la première et que les formules que donne celle-là s'appliquent à celle-ci, pourvu que l'on y suppose la courbure nulle, le passage de la première à la seconde n'a pas le même degré d'évidence; mais la possibilité et la facilité de ce passage sont également mis en relief par la méthode que nous avons suivie.

XIX. Voici maintenant l'ordre des matières traitées dans le troisième Livre du présent Ouvrage :

Le Chapitre 1" a pour objet la courbure inclinée, ses composantes et leurs diverses expressions en fonction des lignes coordonnées, et réciproquement.