CHAPITRE II. — DES COURBES RAPPORTÉES, ETC
longueur de celle normale esi complée à parlir du point pris sur la courbe jusqu'au point d'intersection de la normale avec l'axe. Soit N cette longueur, il est visible que l'on a
[ 4 ) N - r tang e —- / -,~ sin e de.
' ° cose / de
Si, avec une ouverture de compas égale à R, on décrit du point pris sur la courbe comme centre un cercle, les deux segments déterminés par ce cercle sur la normale à partir du pied de la normale sont N -4- R, N — R; or, si l'on remplace N et R par leurs valeurs tirées des formules précédentes, on trouvera la double expression suivante :
aesinecos-^'e
dans laquelle les signes supérieurs ou bien les signes inférieurs doivent être pris ensemble.
23. Courbe polaire des rayons égaux et parallèles. — Construisons la courbe dont les rayons vecteurs issus d'un point fixe soient égaux et parallèles aux rayons tangents r de la courbe donnée. Celle courbe aura pour équation l'équation (6'), dans laquelle r sera le rayon vecteur et e l'angle polaire compté à partir d'une droite parallèle à OX menée du point fixe. Cette courbe auxiliaire jouit de plusieurs propriétés par rapport à la courbe donnée.
i°Soit dsi l'élément d'arc de cette courbe auxiliaire ; a l'angle de la tangente en un point avec le rayon vecteur ; e, l'angle qu'elle fait avec l'axe fixe; N sa normale, on a pour celte courbe les équations :
(i6) dr r- dsi cos«, rde == dSiSina, dr=^ rde cot«;
ds or,.si Ton remplace dans la dernière des équations (12) ~ par
ae
sa valeur R et -,- par la valeur que nous venons de trouver.
on aura
, , R sin{e-\-a)
(in) - r=r cote H- COla= — : : •
Si l'on remarque que e, = e -f- « ei que -: — n'est autre chose
que la normale N à la courbe auxiliaire, l'équation précédente devient
(17') Rsine irr: N sine,.
On conclut de cette équation :
Théorème. — La projection de la normale à la courbe polaire et la projection du rayon de courbure de la courbe donnée sur la direction de l'axe fixe sont égales.
Ce théorème donne immédiatement la construction géométrique du rayon de courbure de la courbe donnée, quand la courbe auxiliaire est connue, comme nous le verrons dans la suite.
1° Soit dui l'élément de l'aire de la courbe auxiliaire, on a
duyzzz - r'^de. Donc l'aire de la courbe polaire et l'aire de la
courbe donnée seront égales, ces aires étant terminées, ce qui est toujours possible, par deux rayons égaux et parallèles.
Ce théorème donne la quadrature de la courbe donnée au moyen de la quadrature de la courbe auxiliaire.
3° Si, dans la première des équations (12), on remplace dr par sa valeur tirée de l'équation de la courbe auxiliaire, on aura
(18) J5 — </5,cos« -f- ^Xcose ;
de là on conclut que les trois éléments ds, ds^, dX sont tels, qu'en leur conservant leurs directions et leurs grandeurs un triangle est toujours constructible sur ces éléments, les angles opposés à ces éléments étant i: — e — a, e, a. On a donc aussi
ds'=zds] -f- dX^-{- 2ds^dXcos{e ^-«).
