CHAPITRE II. — DES COURBES RAPPORTÉES, ETC

Ceci montre comment la rectification de la courbe donnée se déduira de la rectification de la courbe auxiliaire.

§ III. — Application des théories précédentes.

24. Problème I. — Quelle est la courbe dont le rayon de courbure est éf^al à la projection d'une droite donnée de grandeur et de position sur la normale.

Soit 2 m cette droite donnée; prenons pour axe OX la perpendiculaire menée par l'une de ses extrémités : si e est l'angle que la tangente à la courbe cherchée fait avec OX, on aura

K = 2.mcose.

L'équation élémentaire de la courbe est donc

ds

-i- = 2.m cose.

de

Si l'on veut trouver les équations de la courbe dans le système rectangulaire, on fera usage des formules [4']» et l'on trouvera, après intégration et détermination des constantes par la condition que les coordonnées soient nulles en même temps que e, les deux équations suivantes :

y =z m sin^e, x me + m cos e sin e ;

l'élimination de e entre ces deux équations conduit à l'équation de la courbe dans le système cartésien

= m[arcsin=.y/£ + y/^(.-|^)]

qui est celle d'un cycloïde rapporté à son sommet. Si l'on emploie le système tangentiel, les coordonnées sont

X = me, rr=msine;

elles font reconnaître à l'instant que la courbe est décrite par un point de la circonférence du cercle dont le diamètre estw,

roulant sur une parallèle à l'axe OX, située à une dislance m (Je cet axe, et le point décrivant coïncidant avec l'origine des X au commencement du mouvement. L'emploi de la courbe polaire auxiliaire est d'une grande utilité; l'équation de cette courbe étant r=msine, on reconnaît qu'elle représenté un cercle égal au cercle roulant, et dont l'origine des rayons vecteurs se trouve sur la circonférence ; par conséquent, si l'on identifie le cercle auxiliaire avec le cercle roulant e dans une de ses positions, on conclura, n° 23 :

1° Que la tangente à la cycloïde, ou le rayon vecteur de la courbe auxiliaire, est la ligne qui joint le point décrivant avec le point de contact du cercle avec l'axe OX;

2° Que la normale de la courbe auxiliaire, ou bien le diamètre du cercle mené par le point décrivant, a sa projection sur l'axe OX, identique avec celle du rayon de courbure de la cycloïde en ce point; ce qui donne la propriété connue de ce rayon de courbure, ainsi qu'une construction simple de ce rayon, différente de celle qui résulte de l'équation élémentaire de cette courbe ;

3° Que l'aire comprise entre la cycloïde, sa tangente et l'axe, est égale à l'aire du segment du cercle roulant, intercepté par la tangente à la cycloïde ;

4° Que le double de cette tangente est égal à la longueur de l'arc cycloïdal correspondant. Celte dernière propriété est la conséquence immédiate de la formule du n° 23, relative à la rectification de la courbe donnée.

Toutes ces propriétés se présentent comme conséquences directes de l'emploi des coordonnées tangentielles et de l'introduction de la courbe polaire. Les constructions simples et déjà connues qui en résultent appartiennent donc à une théorie générale dont elles dérivent naturellement.

On déduit facilement de ce qui précède le théorème suivant :

Théorème. — Si un point d'une droite mobile reste sur une droite fixe, et que la droite mobile tourne autour de ce points de telle sorte que le rapport de la vitesse de translation du point à la vitesse angulaire de la droite soit constanty cette droite enveloppe une cycloïde, et le diamètre du cercle générateur est égùl au rapport des vitesses.