CHAPITRE II. — DES COURBES RAPPORTÉES, ETC
25. Problème II. — Quelle est la courbe telle que les parallèles à une direction donnée, menées de's différents centres de courbure, interceptent sur les tangentes correspondantes, à partir du point de contact, une longueur constante D?
Supposons que la direction donnée est perpendiculaire à l'axe OX; en conservant les notations précédentes, on aura
U = Dcote.
L'équation élémentaire est donc
-7- — Dcote.
de
En faisant usage des formules [4'], on trouvera les équations de la courbe dans le système rectangulaire. Or, si l'on détermine les constantes par la condition que pour
e = -? ^ :=^ G, J=rD,
ces équations sont :
j=rD sine, X - : D ( log lang - e -v- cose
Si l'on emploie le système tangentiel, les coordonnées X et r relatives à ce système deviennent
r = D, X = Dlogtang-e, tang - e -^ E^,
E étant la base des logarithmes népériens.
La courbe polaire auxiliaire est un cercle rapporté à son centre, et dont le rayon est D ; ce cercle auxiliaire donne toutes les propriétés de la courbe cherchée. En effet, les valeurs de X, dans le cas où D est Tunilé, n'étant autre chose que les nombres que l'on trouve dans les tables trigonomélriques à la colonne des tangentes, correspondant aux valeurs successives
de l'angle - e, si l'on construit la valeur de X correspondant
à une valeur de -e, et que de l'extrémité de X on décrive le 2 ^
cercle dont D est le rayon, le rayon de ce cercle, formant l'angle e avec l'axe OX, sera la tangente à la courbe, et son extrémité le point de contact. Si l'on se reporte aux théorèmes du n° 23, l'on voit :
1° Que la tangente au cercle menée au point où il rencontre la courbe jusqu'à l'intersection de la perpendiculaire à l'axe OX menée par le centre du cercle n'est autre chose que le rayon de courbure de la courbe;
2° Que le secteur circulaire compris entre cette perpendiculaire et le rayon r que nous considérons sera l'aire de la courbe balayée par le rayon mobile pour les valeurs de e comprises
entre - et - -f- 6?; .
S^Qael'ona^r^Dlogsine, l'arc delà courbe 5 étant comptée
partir de la valeur - de e jusqu'à - + e ; et que, par conséquent,
dans le cas où D est l'unité, les valeurs de s sont les nombres que l'on trouve à la colonne des sinus dans les tables trigonométriques correspondant aux valeurs successives de e. Corollaire, — La valeur de X donne, par la différentiation,
de sine*
elle montre que la courbe que nous venons d'étudier est l'enveloppe d'une droite mobile lournantautour d'un de ses points, assujetti à se mouvoir sur une ligne fixe, de telle sorte que le rapport de la vitesse angulaire à la projection de la vitesse de translation sur la droite mobile soit un nombre constant.
26. Problème III. — Quelle est la courbe telle que la tangente terminée à un axe fixe est égale à la longueur que l'on obtient en projetant successivement le rayon de courbure sur une direction parallèle à l'axe, et cette projection sur la direction de la tangente?
