CHAPITRE II. — DES COURBES RAPPORTÉES, ETC

En conservant les notations précédentes, on a

ds

-r-cosesine = r.

de

ds Si dans cette équation on remplace -7- par sa valeur donnée

par la troisième des équations (12) du n° 22, on aura, après réduction, l'équation

rsinede -]- cosedr=z o,

dont l'intégrale est

rcose = p,

p étant la constante arbitraire introduite par l'intégration. Si l'on a égard à cette équation, on obtient

ds p

de cos^esine

qui est l'équation élémentaire de la courbe cherchée.

En faisant usage des formules [4'] du n° 20, on trouve les équations de la courbe dans le système rectangulaire

j=r^lang^, ^ ==/?logtange, lange ^E/',

les constantes étant déterminées par la condition que, pour e égal à zéro, x devienne infinie et j s'annule. L'élimination de e entre ces deux équations conduit à l'équation de la courbe entre les deux variables x, y. Cette équation est la logarithmique

dans laquelle E est la base des logarithmes népériens. Dans le système langentiel, les équations de la courbe sont

X =plogtange — /?, r= '

cose La courbe polaire auxiliaire est une droite perpendiculaire

3o LIVRE I. — COURBES RAPPORTÉES A DIVERS SYSTÈMES, ETC.

à l'axe menée à une distance p du pôle. Les valeurs de X s'oblienneni comme dans le numéro précédent. Cela posé, si l'on construit la valeur de X correspondant à une valeur de e, et qu'on élève une perpendiculaire à l'axe à une distance p de l'extrémité de X, le rayon vecteur mené de cette extrémité comme pôle, formant l'angle e avec l'axe, sera la tangente à la logarithmique et rencontrera la perpendiculaire au point de contact; on voit ainsi, d'après le n° 23 :

1° Que la normale à la courbe polaire auxiliaire étant la parallèle à l'axe menée par le point de contact jusqu'à la rencontre de la perpendiculaire au rayon vecteur mené au pôle, cette parallèle est la projection du rayon de courbure de la logarithmique;

2° Que le triangle rectangle dont r est l'hypoténuse et p l'un des côtés de l'angle droit, et e l'angle compris entre ces deux droites, a une aire égale à l'aire balayée par le rayon mobile de la logarithmique, depuis e égal à zéro jusqu'à e égal à e;

3° Que si l'on fait usage du théorème ( 3 ) du n° 23, l'on aura

ds == ^X cose -T- dsi sine.

et par suite

, pde sme ,

as ~ j: h p — r- de ;

ème ^cos^e

donc l'intégrale est

tang-e

s —so=p\og h p l ),

^ I ^ \cose coseo/

lang - e,

So étant la valeur de s correspondant à la valeur eo de e.

27. Problème IV (généralisation du problème précédent). — Trouver la courbe telle que la tangente terminée à un axe fixe est dans un rapport constant avec la longueur que Von obtient en projetant successivement le rayon de courbure sur une direction parallèle à l'axe, et cette projection sur la direction de la tangente.