K CHAPITRE II. — DES COURBES RAPPORTÉES, ETC

De l'équation proposée l'on déduit 5, == ms -f- s^, 5c étant la constante introduite par l'intégration.

Ces équations donnent les proportions

ri — n ^i — .^0 *. — So

Aires balayées par les rayons de courbure correspondants. — Soient Jc^,, dv les deux aires élémentaires correspondantes, on aura

^0 étant la constante introduite par l'intégration.

Aires balayées par les rayions tangentiels r, r,. — Soient duiy du les deux aires correspondantes, on aura

du,:==- l mr

'-\de.

xe]

2 \ sin

Développant et simplifiant, on obtient l'équation

"^ r\ 1 , mnrde

dui^:^ m^du H •t—' de -\ -. ;

2 sm'e sine

remplaçant dans le dernier terme r par sa valeur --r- sine et intégrant, on trouve la relation

w, — m^u^ ylcoie + my^X -h Wo,

Mo étant la constante introduite par l'intégration.

Ces formules montrent comment on obtiendra, au moyen de l'une des deux courbes, toutes les grandeurs qui caractérisent l'autre courbe.

.38. Des courbes parallèles. — Deux courbes sont parallèles lorsque leurs rayons de courbure parallèles ne diffèrent que par une constante.

Conditions pour que deux courbes soient parallèles.— Soient 5, r, X l'arc et les coordonnées tangenlielles de l'une des deux

courbes, 5,, r,, X, les lignes correspondantes de la courbe parallèle ; soit OX l'axe commun auquel ces deux courbes sont rapportées; la condition donnée par la définition même des courbes est

dsi ds

n étant un nombre constant. Si l'on a égard aux équations (12), cette équation devient

</(r,sine) = ûf(rsine) -f- ns\nede\

si l'on intègre et qu'on représente par n la constante introduite par l'intégration, on aura l'équation

(r, — r)siner=:^o — /icose;

or cette équation, quand on y remplace r, et r par leurs valeurs (12), devient

^ sin^e sin^e

en l'intégrant et en représentant par ^ola constante arbitraire, on obtient finalement la relation

^^^,ncos£^ n

sine sine

De ces équations on déduit les conditions de parallélisme des courbes qui se rapportent à leurs coordonnées rectangles, qui sont

Xi — /= — «cose-h^o» ^1 — :p = wsine 4- ^0.

Rectification des courbes. — Si l'on intègre l'équation relative aux rayons de courbure, et qu'on représente par ^o la constante introduite par l'intégration, on trouve

Si — 5 rr-r ne -f- *« »

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