DES COURBES RAPPORTÉES, ETC

Problème XI. — Enveloppe d'une droite de longueur l dont les extrémités se meuvent sur deux droites données OX, OX,.

Soit a l'angle des deux droites OX, OX, ; e, e^ les angles qu'elles forment avec la droite /; X, X, les distances des points d'intersection au point 0 ; le triangle dont les côtés sont X, X,, /donne les rapports égaux :

siné?i ~^ sine sinût

On déduit de ces relations les équations suivantes : /

sina

sm(e — a), — — = -: — cos(e ~ a), de sma '

Or, si l'on prend OX pour axe des coordonnées tangentielles

de la courbe cherchée, on aura, d'après les formules (12),

les relations

a) + sin«J,

ds de

2 sin«

/ 2 sin«

[sin(2e

[3 cos(2e — a) -h cos«

Ces valeurs font connaître les coordonnées tangentielles de <

la courbe et son-rayon de courbure.

ds Discutons la valeur de -r- que fournit l'équation naturelle

de la courbe. Si cette valeur se réduisait au premier terme, on aurait l'équation élémentaire d'une hypocycloïde engendrée

par un cercle de rayon égal à y — — roulant sur la concavité

d'un cercle de rayon

cette hypocycloïde ayant son

2 sma sommet sur la bissectrice de l'angle des deux axes OX, OX,;

mais, comme la valeur de -y- se compose de ce premier terme

, , , / COSrtf ,, , ,, ,

augmente du terme constant - ;7:^^5 elle représente 1 equa-

2 sin a

lion élémentaire d'une courbe parallèle à l'hypocycloïde que

w/> . . , , ,. l cosa .

nous venons de définir et situe a une distance — . — de cette

2 sina

courbe; on déduit de là la construction suivante :

Pour construire l'enveloppe de la courbe l dont les extrémités glissent sur deux axes OX, OX, formant entre eux r angle «, élevez par les extrémités de la droite l considérée dans une de ses positions des perpendiculaires aux axes; avec un rayon égal à la distance de leur point d'intersection au point O, décrivez de ce point un cercle et sur la concavité de ce cercle une liypocyclotde, dont le sommet se trouve sur la bissectrice des axes à une distance du centre égale à la moitié du rayon; enfin construisez la courbe parallèle de V hypocycloïde à une distance de celle-ci égale à la projection de la distance du centre au sommet de l'hypocycloide sur l'un des axes.

Si l'on prend la dérivée de -y- 5 on aura d's -., 3/ . .

— — =: R' rr^ , Sin(2e — fl),

de^ sma

qui est l'équation élémentaire d'une autre hypocycloïde engendrée par un cercle d'un rayon écral à — ; — roulant sur la

concavité d'un cercle d'un rayon quatre fois plus grand, l'origine de cette hypocycloïde étant sur la bissectrice de l'angle des axesOXjOX,. Ainsi l'enveloppe de la droite / est la développante de cette dernière hypocycloïde.

Ces caractères si simples de l'enveloppe qui nous occupe sont la conséquence immédiate de notre analyse. Il eût été beaucoup moins facile de les apercevoir si l'on avait fait usage du système cartésien. Les équations de la courbe dans ce système se présenteraient sous une forme compliquée. L'analyse précédente les fournit d'ailleurs sans aucune difficulté, comme on va le voir.

Coordonnées rectangulaires. — Elles se déduisent des coordonnées tangentielles que nous avons déjà trouvées, ou bien