CHAPITRE II. — DES COURBES RAPPORTÉES, ETC

elles s'obtiennent directement au moyen des formules [4']- Elles sont :

- l{cosa sin^eH- sin^cos^e) H- a/cosasin e, /(sin« sin^e — cos<2Cos^e) h- /cosacose.

Xo

)sin«

ir-

Xo

)sinrt

Si

^ — Xo^ — /cos^e, j — jo = /sin^é?, desquelles on déduit

Rectification. — Si Ton intègre la valeur de -j-i on aura l'arc sous l'une des deux formes

3/ . le cola 3 le

s = — : — sine cose, -\ -= - r -\ cota,

'2.sina 2 2 2

la constante étant déterminée par la condition que s s'annule avec e.

Quadrature. — On trouve de la même manière l'aire u balayée par le rayon vecteur depuis e z= o jusqu'à ez=e :

sin2« . , cessa . ,

iu= — -, — sin* e -\ — cos e sm' e

/3 cos 2 a cosVïX

H- COS^a — 7- C0S2« e.

Nous donnerons bientôt une construction générale trèssimple des rayons de courbure des épicycloïdes.

40. Des courbes résultantes. — Une courbe est la résultante de deux courbes données, lorsque, les rayons de courbure de ces courbes étant parallèles, le rayon de la première est la

cos e sine

somme des rayons de courbure des deux autres courbes. Celles-ci sont dites les composantes de la première.

Relations entre les arcs et les coordonnées d'une courbe et de ses composantes. — Soient s, r,X; s,, r,, X, les arcs et les coordonnées tangentielles des deux courbes composantes; ^2, ^2, Xî l'arc et les coordonnées tangentielles de la courbe résultante. La condition donnée par la définition de la courbe résultante est

dsi ds ds

de de de''

or, si l'on a égard aux équations [ii], on trouve la relation

dir. sine) = fl?(r, sine) -}- (/(r sine).

Si l'on représente par jo la constante introduite par l'intégration, on trouve également la relation

sine Celte équation, quand on a égard aux équations (12), devient

6/(X.-X.-X).= ^; ^ sin^ e

en intégrant cette équation et en représentant par Xç^ la constante de l'intégration, on obtient finalement l'équation

X2 — X, — X — Xq--^ — y\ cote.

De ces équations, on déduit les coordonnées rectangulaires de la nouvelle courbe en fonction des coordonnées rectangulaires des courbes données :

Xi — ri — y -■ y\, x, — ^, — .r — xo.

Rectification des courbes. — Si l'on intègre l'équation relative aux rayons de courbure, et qu'on appelle s^ la constante introduite par l'intégration, on trouve la relation