CHAPITRE II. — DES COURBES RAPPORTÉES, ETC

Aires balayées par les rayons de courbure. — Elles sont données par les relations

dv^—-i-p- -{- -7^ ) de — dvy -^ dv -\-J^.Jkyde, 1 \ae de J

Or, si Ton appelle w l'aire balayée par la moyenne proportionnelle entre les rayons de courbure R, Ri, comptée à partir du centre de courbure de l'une des trois courbes dans la direction commune aux rayons de courbure, et si l'on représente par V!i la constante introduite par l'intégration, on aura la relation

jiires balayées par les rayons tangentiels. — Soit m l'aire balayée par une moyenne proportionnelle aux rayons r,, r, comptée à partir d'un point pris sur l'une des courbes composantes dans la direction des rayons tangentiels, on aura, en raisonnant comme ci-dessus, l'équation suivante, dans laquelle Uo est une constante d'intégration,

^„^X.-r-X- ^"Coté?]

ki. Problème XII. — Trouver la courbe résultante de la chaînette et de la parabole.

Les équations élémentaires de la chaînette et de la parabole sont, d'après le n° 29,

ds b dsi b

de sln^e de sin^e Donc l'équation élémentaire de la courbe résultante sera

sin^e \ sine/

ds^ de

donc, d'après le même numéro, les coordonnées rectangulaires de la courbe résultante, en ayant égard soit aux formules [4'], soit aux formules du numéro précédent, seront

données par les deux équations suivantes :

ne \ 2 sine/ "^ y sine /

sine

L'élimination de e entre ces deux équations conduit à l'équation cartésienne de la courbe résultante; cette équation est la suivante :

, / Xi — 1 \/.tI -^ ibxi — s>. b^ r-i" "?. h \ (>' - -?. h a\ \ o 7jz: y 0^ — 2.0 x^

La rectification de la courbe est donnée par la formule suivante :

, /' I cose I , e\

^2 - — b cote -' :— log tang - H- s^.

\ 1 sin'e 2 ^ ^ -?./

42. Des développées. — Le lieu des centres de courbure d'une courbe s'appelle la développée de celle courbe.

Relations fondamentales. — Soient ds et ds -\- dds deux éléments successifs d'une courbe ; R, R -i- dK les deux rayons de courbure correspondants, et ds^ l'élément de la développée : on a un quadrilatère dont deux côtés sont les deux demiéléments de la courbe proposée, et les deux autres, R -f- ds,, R -f- c?R, si les rayons de courbure vont en augmentant, ou bien R, R -f- r/R -4- dsi si les rayons de courbure vont en diminuant. Suivant que l'on projettera le périmètre de ce quadrilatère sur la direction d'un rayon de courbure ou sur une direction perpendiculaire à ce rayon, on aura les deux équations :

d\{^^±ids,, Rde=^-.ds.

Le signe supérieur se rapporte au cas où le rayon de courbure augmente avec l'axe s, et le signe inférieur, au cas où ce rayon diminue lorsque l'arc s augmente.

La première équation s'intègre, et, si l'on appelle s^y R» deux valeurs correspondantes de 5, et de R, on obtient la relation

R — Ror^±:'5. — /,^;