CHAPITRE II. — DES COURBES RAPPORTÉES, ETC
donc l'arc de développée compris entre deux positions du rayon de courbure est égal à la différence de ces rayons.
Si l'on suppose un fil flexible et inextensible, sans épaisseur, ayant une de ses extrémités en un point quelconque de la courbe donnée, et que l'on tende ce fil en l'enroulant sur la développée, il suffirait de développer ce fil à partir de l'extrémité située sur la courbe donnée pour que cette extrémité décrivît celte courbe; tout point différent de celte extrémité décrirait une courbe parallèle de la courbe donnée. La courbe proposée et ses parallèles sont les développantes de la courbe dite développée.
Équation élémentaire de la développée. — Soit -r- ^=-- (p(e)
réqualion élémentaire de la courbe proposée; d'après les relations que nous venons d'*établir, on a l'équation
or l'angle que le rayon de courbure R fait avec l'axe OX étant e,, on a
Ci-z e -î
et, par suite,
dsi , JR , d^s dcx de
Coordonnées tangentielles. — Soient X,, Ti ces coordonnées également prises par rapport à l'axe OX, auquel la courbe proposée est rapportée, on aura
X, = X H ? r, = R -4- /• tansre;
cose '^
or, si l'on a égard aux équations (12], on obtiendra les relations
-, fl?(Xsine) J(rtang^)
Qosede lange ûfe
5b LIVRK I. — COURBES RAPPORTÉES A DIVERS SYSTÈMES, ETC.
Si ron remplace dans ces équations X et r par leurs valeurs données par les équations (6) et (7), on aura, réductions faites, les équations
X, — / f ^ — I -f— cosede]de, r\ z=z l-j—cosede.
J \cob^eJ de^ j cose J de'
On peut les obtenir directement en portant la valeur de -7—
tirée de l'équation élémentaire de la développée dans les formules (6") et (7''), et en prenante pour variable indépendante. Coordonnées rectangles. — Soient ^,, ji les coordonnées de la développée, x, j les coordonnées correspondantes de la courbe proposée, on a les équations
ds . ds
a.- — a:i=^ -J— sme, r — y\ ~~ j- cos e.
de ' J J fiQ
Si l'on remplace dans ces équations x et y par leurs valeurs tirées des équations [4'], on obtient, après réductions, les deux équations
rd's . J rd's .
^■1 — ^0 = — I yY^^^^^"^» Ji— /o~ / -rj cose de.
En opérant comme précédemment, on peut obtenir ces deux équations directement en partant de l'équation élémentaire de la développée et en faisant usage des formules [4'].
43. Applications des formules précédentes. — 1° Développée de la stroplioïde. L'équation de cette courbe est en coordonnées rectangles
Si l'on fait usage des notations employées dans le n° 39, on aura l'équation naturelle de la courbe
ds
•>.in
-AbaT-
'sin"'-
■'e cos'"-
de
fm — il(D'
