CHAPITRE II. — DES COURBES RAPPORTÉES, ETC
d'après cela, les équations de la développée de la strophoïde en coordonnées rectangles seront :
W — I cîn m-i.
jr. — a'" ^ sin
'[(m — i) cos'^—il cos'"'"'eH- (m — i)a'"~' s i/'""V
j,— -6'""' cos'^-'e
cr^'i^'-'[{m — i) sin'e — i] sin^-^e-i-('w — i)fc^^ cos"^~^^
sin"^- ^ e -f- 6'"^ cos'" " ' e
/ ■> 7W T 777 T tn \ m
Dans le cas où m égale 2, ces formules deviennent
{b cos'e + « sin^e)-^ 6^(6 — «) cos'e
(7. — Jo)6 =
(6 cos'eH- asin^e)='
Si Ton élève à la puissance | les deux équations, et qu'on ajoute membre à membre, on obtient
qui est l'équation de la développée d'une conique en coordonnées rectangles.
2° Développée du cercle. — L'équation du cercle est
ds a étant le rayon du cercle; donc l'équation naturelle de la
6o LIVRE I. — COURBES RAPPORTÉES A DIVERS SYSTÈ3IES, ETC.
développée sera
c'esl-à-dire un cercle de rayon nul, et, par conséquent, celte développée se réduit au centre du cercle proposé.
3° Développée de la spirale logarithmique. — L'équalion naturelle de la spirale logarithmique est (n° 29),
l'équation naturelle de sa développée sera
ds i,"(''~^)
- - =z= nm E
ae^
la développée sera donc une spirale logarithmique. Si l'on rapporte ces deux équations à une même variable e, on verra qu'en des points correspondants le rayon de courbure de la spirale et le rayon de courbure de la développée sont égaux, où bien dans un rapport constant.
4° Développée de la cfcloide. — L'équation naturelle de la cycloïde est
ds
-— -- 2wcose;
de
donc l'équation naturelle de la développée sera
ds,
- -- 2 m cosé?,; dei
donc la développée d'une cycloïde est une cycloïde. Si l'on rapporte ces deux équations à la même variable e, on aura les relations
R =rz 2 m cos e, 11, : — 2 Hi sin <?, R2 -h R î • 4 '"* ;
donc la distance d'un point de la cyclotde au centre de cour-, bure correspondant de la développée est constante, quel que soit le point que l'on considère sur la cycloïde.
