CHAPITRE II. — DES COURBES RAPPORTEES, ETC

ds 5° Développée de la courbe -j- ^=zYi cote. — Celte courbe,

que nous avons trouvée au n° 25, a pour développée la ligne dont l'équation naturelle est

ds^__ J) dei cos^'e, '

c'est-à-dire une chaînette (n° 29)

6° Développée de la parabole. — L'équation naturelle de la parabole est (n'' 29}

de sin-'^e'

'équation naturelle de la développée sera donc

dsi „, sin^,

dei cos^e,

Or, d'après le n° 27, celle-ci est l'équation naturelle de la courbe a;^z=pjr\ qui représente une parabole semi-cubique. Nous ne poursuivrons pas davantage ces recherches, quelque intéressantes qu'elles soient, parce qu'elles ne présentent aucune difficulté.

44. Des développées successives d'une courbe. — Si l'on prend la développée de la développée d'une courbe, on aura la développée seconde de cette courbe; si l'on prend la développée de la développée seconde, on aura la développée troisième, et ainsi de suite.

Deux développées consécutives sont placées de la même manière lorsque le mouvement d'un point sur la courbe proposée produit simultanément sur ces deux développées le développement du fil enroulé sur ces courbes. Les développées consécutives sont inversement placées lorsque, par suite du mouvement d'un point sur la courbe proposée, le fil se développe sur l'une des deux développées et s'enveloppe sur l'autre. Dans le premier cas, les deux rayons de courbure de la courbe proposée et de sa développée croissent en même

temps avec l'arc de la courbe proposée; dans le second cas, ces deux rayons de courbure sont l'un croissant et l'autre décroissant lorsque l'arc de la courbe proposée est croissant. Équation élémentaire de la développée de l'ordre n. — Nous conservons, pour représenter les lignes qui caractérisent une développée quelconque, les lettres qui désignent les grandeurs correspondantes dans la courbe proposée; mais, pour les distinguer, nous les affectons de l'accent qui marque le rang de la développée ; d'après cela, on aura les équations

dR--±dsif û?R, =:ihâf52. . . , dR(n^i) =it.ds„: Hde r-sz ds, Rjrfe, =z dsi,- . ■ y ^nden r= ds^ ,

auxquelles il faut joindre les relations angulaires