CHAPITRE II. — DES COURBES RAPPORTÉES, ETC. 6S

une valeur particulière de e^ et, par suite, on a

Sa =-- In =r- Y^"-'^ [en-, — — P' Tlj - B,, l

45. Coordonnées tangentielles, — Nous déduirons des coordonnées langenlielles de la première développée, démontrées dans le paragraphe précédent, les coordonnées tangentielles de la deuxième développée, et ainsi de suite, et nous obtiendrons

r/(Xsin^)

Al = 7 — î

coseae flf^(Xsine)

^nieae

f/3(X sine)

coseae

J^(Xsine)

smede

Xîn-t — — ^

^/2"-'(X sine)

cosede ^f rtange)

Xjn U- T

<:/'"( X sine]

sineae

Ta 3= T- col'e -.- (/' tange) U

coiede\ de^ ^ J

Ta =r r ' tangue -— cot^e -7- r tange) >•

' tangerfe( ^ de l de^ J)

On trouvera aussi, en faisant usage des formules (6") et ( Y')y les expressions suivantes :

I J sin^(eH-~)«'

r„sin

en---] ^e.

Coordonnées rectangles. — Ces coordonnées sont [^'] :

rd"^'s . I nT.\ ,

Si l'on connaissait les coordonnées ^, j de la courbe proposée en fonction de e, on trouverait, en projetant le polygone dont les côtés sont R, Ri, R2, R«-i sur les axes des .f et des j, les deux formules suivantes, qui sont indépendantes de tout signe intégral :

Xn — .T =1 l\n-.i COS en, X" ~' T "^ -^ ^"-' ^'^ ^'"

dans lesquelles le signe 2 s'étend à toutes les valeurs de w, depuis I jusqu'à n. Ces formules se déduisent aussi des précédentes par une suite d'intégrations par parties.

On doit remarquer que les formules qui donnent soit les coordonnées langenlielles, soit les coordonnées rectangles d'une développée quelconque, se rapportent les unes aux cas où la courbe proposée n'est connue que par son équation élémentaire, les autres au cas où la courbe est donnée par ses coordonnées, soit rectangles, soit tangenlielles. Dans ce second cas, il n'y a aucune intégration à effectuer.