DEUXIEME SYSTÈME DE COORDONNÉES TANGENTIELLES

§ I. — Étude générale.

46. Définitions. — Appelons rayon tangent iel d'une courbe mn {fig. 8) au point B la longueur r de la tangente menée en

Fig. 8.

ce point à cette courbe jusqu'à la rencontre d'une autre courbe PQ; abscisse curviligne la longueur s de l'arc de courbe PQ comptée à partir d'une o.*^igine fixe 0, prise sur cette courbe jusqu'à la rencontre A du rayon tangentiel avec la courbe PQ; enfin angle coordonné l'angle que le rayon tangentiel fait avec la tangente au point A à la courbe PQ; nous représentons ces coordonnées par les lettres r, s, a, La courbe PQ sera appelée courbe directrice. Il est évident que la connaissance 'ô a el de s fait connaître la tangente à la courbe mn, et quo r c.onnera le point correspondant de cette courbe. Dans chaque cas particulier, on fixera dans quel sens Tangle a et l'arc s sont comptés.

Équations différentielles. — Le poinl 0, élanl l'origine des abscisses curvilignes s comptées positivement sur la courbe directrice de 0, en Q, si au point A nous menons une tangente à la courbe PQ, nous regardons comme positive la portion de tangente comptée à partir du point A dans le même sens que les arcs positifs. Si du point A nous menons un rayon tangentieJ r à la courbe mn au point B, l'angle a que ce rayon fait avec la tangente à la ligne PQ au point A est compté positivement de droite à gauche à partir de la portion positive de la tangente en A. Soient e et e les angles que les tangentes aux deux courbes en deux points correspondants A, B font avec l'axe fixe OX, le sens de ces angles et de cet axe étant déterminé. Du point A, infiniment voisin du point A sur la courbe mn, menons deux tangentes, l'une à la courbe PQ et l'autre à la courbe mn. Soient c le point d'intersection des deux tangentes à la courbe PQ et d le point d'intersection des deux tangentes à la courbe mn; les angles du quadrilatère formé sur les deux couples de tangentes en A et A, sont

«, i8o — dey i8o — a — day de,

et les côtés

- ds. - ds, r -h dr flfo", /'H — d(7.

Si l'on projette le périmètre sur la direction du rayon tangentiel r et ensuite sur une direction perpendiculaire, on aura les deux équations

r-^-c^o•) = lr^dr d^j] -i-(- dscosa) -\--ds cos{a — de),

-dss'ina =:{ r-\- dr dij] sïnde dssïn{a— de),

et, en négligeant les infiniment petits du second ordre, on a les deux équations

rde dd — dr

il) sina=— r-9 cos«=^ — -j

^ ' ds ds