CHAPITRE III. — DEUXIÈME SYSTÈME DE COORDONNÉES, ETC

D'une autre part, la somme des angles du quadrilatère étant égale à 36o, et ces angles étant «, i8o — de, i8o — a — da, dz, on a l'équation

(2) dzz=ide -\- da.

Soit du la différentielle de l'aire balayée par le rayon tangentiel r, on a la relation suivante :

(3) du=z-r'dz.

Les équations (i) donnent, la première, le rayon tangentiel de la courbe m/t; la deuxième, l'élément de cette courbe. L'équation (2) fait connaître l'angle de contingence, et l'équation (3) l'aire de la même courbe.

47. Équation du rayon tangentiel. — Si l'on élimine s entre la première des équations (i) et l'équation (2), on trouve

, ,, s\na de da

Il est utile de remarquer les modifications de signe qui s'introduisentdans cette formule, suivant lesdifférentes hypothèses que l'on fait sur l'origine et la direction des coordonnées s et a. Ainsi, si l'angle a est compté toujours dans le même sens, mais à partir de la portion négative de la tangente à la directrice au point A, le premier membre change de signe. Si, l'origine de cet angle ne changeant pas, cet angle est compté en sens contraire, le premier et le dernier terme de l'équation changent de signe, et ainsi de suite.

Appelons N la longueur de la normale à la directrice au

point A, comprise entre ce point et la normale à la courbe mn

au point correspondant B, le premier membre de l'équa-

ds tion (2') est l'inverse de cette normale; -r- est le rayon de

ds courbure R de la directrice ; -r- est le rapport du déplacement

du point d'intersection du rayon r avec la directrice au dépla-

cernent angulaire de ce rayon autour de ce point par rapport à la tangente à la directrice, lorsque ces déplacements sont infiniment petits. Ce rapport étant essentiellement linéaire, nous le représentons par D, et alors l'équation précédente s'écrit sous la forme

Construction géométrique du rayon tangentiel. — Sous celle forme, cette équation montre que si, à partir du point A, on prend sur la normale à la directrice en ce point deux longueurs AR, AD égales à R et à D, et une longueur AN, égale à 2 AN, les quatre points A, N,, R, D partagent la normale harmoniquement.

R est le centre de courbure de la directrice; les points N, et D doivent être pris du même côté que R par rapport au point A, ou du côté opposé, suivant que D et N ont le même signe que R ou des signes contraires.

D'après cela, si deux des trois quantités N,, R, D sont connues, la troisième sera déterminée. Supposons, par exemple, que les deux quantités connues sont R et D, il suffira, pour construire N, de chercher le point conjugué harmonique N, de A par rapport aux deux points R et D et de prendre la moitié

de AN,; connaissant le point N tel que AN = - AN,, on aura le

rayon tangentiel. En effet, la connaissance du rapport D implique la connaissance de 5 en fonction de a; par conséquent, la direction du rayon r au point A est connue, et, en projetant N sur cette direction, on aura AR, c'est-à-dire la longueur du rayon r.

48. Équation du rayon de courbure. — La seconde équation (i) peut s'écrire sous la forme

, ., d(7 dr ds dr

(4) -7- " -— -f- cosa -7- = -T- + ''COta.

^^^ de de ds de

Le premier membre de celte équation est le rayon de cour-