CHAPITRE III. — DEUXIÈME SYSTÈME DE COORDONNÉES, ETC

bure SI de la courbe mn, le terme — est le rapport de la varialion du rayon tangenliel au déplacement angulaire de ce rayon autour du point A; le dernier terme est la projection de la normale N sur le rayon de courbure Si; en effet, d'après la première des équations (i), ce terme peut s'écrire sous la

forme —. — cos« = Ncosa: de là résulte que la normale N à

la directrice au point A partage le rayon de courbure Si en

deux segments, dont l'un NB est la projection de la normale N

sur ce rayon, et dont l'autre N^ a pour expression le rap-

dr port -!-• Si l'on appelle ^ cette projection, on a

il suffira donc de déterminer ce rapport pour construire le rayon de courbure Si de la courbe mn; et, réciproquement,

lorsque la courbe mn sera donnée, le rapport — sera connu.

Or on a

rz:= N s'ina,

N étant donnée par l'équation (i'); de plus, on a les relations

1^(10) l{de = -^de = I)da;

d'après cela, l'équation (4') donnera successivement

d{N s'ina)

Siz=l^cosa-h

(6) ^ = f]V-i- — j cos«H- -y- sm«;

d'une autre part, par la différentiation par rapport à £ de l'équation (2'), on trouve

Si l'on substitue cette valeur clans la relation (6) on obtient l'une des deux formes suivantes :

Si, dans ces équations, on introduit l'auxiliaire R,, telle que R = N -f- Ri, on aura la valeur de SI sous l'une des trois formes

/at Nn cm .

^ = ( N H- -pr cos« -4- -j- sma,

(60 ^, Si={K- Ç) cos« H- N3 (|| + 5:) sina,

R — -îf cosa H- —r~ sma, RJ de

Si, dans les mêmes équations, on introduit l'auxiliaire v, telle que î> r= R -h D, on obtiendra la nouvelle relation

(6') «5H. — -— R cos« H 3 sin«.

On déduira avec la même facilité la formule suivante

-,, . ^ R'sinaH-

(R — N rnc/ï n sin/7 -4- Il rn<5/7.

^, . „ R'sina + ^cosa

<a— Ncos« D sina -f- Dcos« D

On déduit des formules (6), (6') et (6") le théorème suivant:

Théorème. — Le rayon de courbure <R s'obtient en projetant sur la normale l'hypoténuse d'un triangle rectangle dont les côtés de l'angle droit sont parallèles aux rayons de courbure de la directrice et de sa développée, et ont pour longueur les valeurs des [coefficients des sinus et cosinus de l'une quelconque des équations (6).

La construction de ces coefficients est donnée par la construction des conjuguées harmoniques.