CHAPITRE III. — DEUXIÈME SYSTÈME DE COORDONNÉES, ETC. 7I

Différentielle de l'aire. — Si, dans l'équation (3), on remplace de par sa valeur tirée de la première des équations (i), on trouve

du = ~ r s\n a ds;

rsina est la projection du rayon langentiel sur la normale. Si l'on développe la directrice sur la tangente à l'origine 0, des s, les projections telles que rsina seront les ordonnées d'une courbe dont la différentielle de l'aire est rs'inads; en appeil dv' cette différentielle, on aura

-et, par suite,

1 du = dv' , i{u-~ Ua)^=\y' — v\)\

-donc l'aire balayée par le rayon langentiel avant le développement de la courbe directrice est le double de l'aire balayée iiprès le développement de cette directrice par les projections des rayons tangentiels sur la normale obtenues avant le développement.

Si, après avoir remplacé dans l'équation (3) dz par de-\-da, on divise celte équation par le carré de l'équation (3'), on trouve l'équation

sin'« du

WTe

Y)Hia

le premier terme du second membre est Tinverse de la différentielle de l'aire dv balayée par le rayon de courbure de la directrice et le dernier terme l'inverse de la différentielle de l'aire dw balayée par le rayon de courbure de la courbe dont

l'équation naturelle sérail -7- = D. On peut donc écrire l'équation précédente sous cette nouvelle forme :

sin^tt I

ou bien

NVe W'de D'da