Problème IL — Si des différents points d'une courbe

ds

-— . z=f'{e), on mène des rayons formant des angles constants,

égaux à a, avec les tangentes à la courbe en ces points^ le lieu des intersections de ces rayons est la développée oblique de la courbe; déterminer les propriétés de cette courbe.

Les données de la question dans le système tangentiel sont exprimées par les deux équations

ds ds i

Rayon oblique de courbure. — Dans le cas qui nous occupe, le rayon tangentiel est appelé rayon oblique de courbure de la

direcirice, parce qu'il se confond avec le rayon de courbure de celle ligne lorsque l'angle esl droit; son extrémité est appelée centre de courbure oblique; l'angle de deux rayons obliques infiniment voisins est l'angle de contingence de la développée oblique, ou simplement Vanç^le de contingence oblique de la directrice. Cela posé, le rayon tangentiel se réduit de la première équation (i) du n" 46, laquelle devient

(2) * r=-Rsina.

Cette formule, qui est due à Réaumur, montre que le rayon oblique de courbure de la courbe directrice est la projection du rayon de courbure de la courbe.

Il résulte de là qu'en un point les rayons de courbure oblique sous différentes inclinaisons ont leurs extrémités situées sur une circonférence de cercle dont le rayon de courbure esl le diamètre.

Rayon de courbure de la développée oblique. — Ce rayon se déduit de la deuxième formule (i) du n° 46; si l'on remarque que e ne diffère de e que par une constante, l'équation (2) du présent numéro, en représentant par R' le rayon de courbure de la développée de la directrice, donne la relation suivante :

dr . dK . ^, -r = sina —r- =z sm«R'.

de de

On a donc les deux équations suivantes :

,^,d(7 d^s . ds ^ ^, . f.

(3) -T- = -7-j sina4- -7- cosa, ^ :== R'sin« + R cos«,

desquelles on déduit le théorème suivant :

Théorème. — Le rayon de courbure de la développée oblique d'une courbe est la somme des projections du rayon de courbure de cette courbe, et du rayon de courbure de sa développée sur la direction de la normale à la développée oblique.

De là résulte que, pour trouver le centre de courbure de la développée oblique d'une courbe, il suffit de projeter sur