CHAPITRE III. — DEUXIÈME SYSTÈME DE COORDONNÉES, ETC

la normale à celle développée le centre de courbure de la deuxième développée de la courbe.

Aire balayée par le rayon oblique de courbure. — L'équalion (3) du n" 46 donne, dans le cas présenl, l'équalion

du = dv sin'<7, laquelle, par l'inlégralion, devienl, u,, v^ élanl des constantes,

(4) u — Uo — [v ~ Vo)s\n^a\

on a donc le théorème suivant :

Théorème. — Les aires balayées par le rayon de courbure oblique et par le rayon de courbure d'une courbe sont dans le rapport de i au carré du sinus de l'angle de l'inclinaison du rayon oblique sur la tangente.

Ce théorème est dû à Réaumur.

Rectification de la développée oblique. — Si l'on intègre la deuxième des équations (i) du n° 46, et qu'on représente par o-o, So, i?o, /'o les valeurs des variables correspondant à un point déterminé, on obtient les deux équations suivantes :

(5) fj ~ (7o~ r^ r^-h {s — So) cosa,

(5') <7 — (7o — (Il RojSinrt -h (5 — 5o) COSrt,

desquelles on déduit un théorème analogue à celui qui donne le rayon de courbure de la développée oblique.

Théorème. — Si l'on développe l'arc s — *o sur la tangente à l'origine de cet arc, que par l'autre extrémité de cet arc développé on mène sous l'angle a une longueur égale à r, et que de l'extrémité du rayon r on abaisse une perpendiculaire à la tangente à l'origine de l'arc a — o-p, cette perpendiculaire détermine sur la tangente une longueur égale à l'arc a — ■ (j^.

54. Problème III. — Trouver les propriétés des développées obliques successives d'une courbe.

Si Ton prend la développée oblique de la développée oblique d'une courbe, on aura la seconde développée oblique de

8o LIVRE I.

celle courbe; si l'on prend la développée oblique de celle seconde développée oblique, on aura la développée oblique troisième, el ainsi de suite.

Notation. — Nous établissons les conventions suivantes :

<7(„), r(„), R(„) sont l'arc de développée oblique de l'ordre «, son rayon de courbure oblique, son rayon de courbure;

o-('0, r('0, R('0 sont l'arc de développée de l'ordre n, son rayon de courbure oblique, son rayon de courbure;

(7(J)\ r(?)\ R(o sont l'arc de développée de l'ordre h de la développée oblique de l'ordre?, son rayon de courbure oblique, son rayon de courbure;

Bn est l'angle que la tangente à la développée oblique de l'ordre n fait avec l'axe fixe;

ttn est l'angle que son rayon oblique de courbure fait avec la tangente.

Formules générales, — D'après ce qui vient d'être établi dans le numéro précédent, on a les équations suivantes :

(i) r=Rsina, r, ni^ R, sina,,. .. , r«--R„sina„; {2) ei — e-\-~a, e^^ e^ -]- a^,. . . , f?„ =:= <?„. -^ an-, ;

R, r:= R cosa -f- R' sin«, R^ r= R, cosa, + R', sin<7,,

R« ^^ \\n-\ cos<2„, H- l{'j, sina„, ;

j -—- -- -7- cos« -î — 7 — sina, < det de de' '

dfji d^i d-Gx .

-j— =" -r- cosrt, -f- —r—- sin«,, dej de\ de]

d(7n dcjn-x d'Gn-\ .

cosrt„! ^ — 7-t; — sin <?„-

den dcn-,

del

De ces formules on déduit facilement les suivantes, dans lesquelles les valeurs initiales des variables sont représentées par les mêmes lettres placées entre parenthèses ( ). Ces for-