CHAPITRE III. — DEUXIÈME SYSTÈ3IE DE COORDONNÉES, ETC. 8l

mules sont :

M' I Œ,-{(7,)=^r ~ (r) + [œ -(o-)]cos«,

(A) / ^2 — (o-O — /^i — (r,)-f- [o-, — (o-,)]cos«,,

1 (Tn—i C-«) -" r„, — ( Pn-i ) -I- [(7„, — - ( (7n-i )] COS«„ ,.

Rayon de courbure. — On déduit de ces équations les propositions suivantes :

IHe Théorème I. — Si Von prend la déi'eloppée oblique sous

■^* l'angle a d'une courbe t et la développée oblique sous l'angle ai

de cette développée , on trouve la même courbe que si Von

prend la développée oblique sous l'angle «, de la courbe a et

la développée oblique sous V angle a de cette développée.

En effet, si l'on prend la dérivée par rapport à e de l'équalion qui donne la valeur de R,, et qu'on porte les valeurs de R,, R', dans l'équation qui donne la valeur de R2, on obtient l'équation suivante :

(5) R2 := sina sin«,R" -\-sm[a -l- «i)R' -\- cosa cosa,R.

Cette équation étant symétrique par rapport à a, «,, et ne renfermant que le rayon de courbure de la courbe o-, on aurait trouvé le même résultat si l'on avait fait les opérations d'une manière inverse; donc, etc. On déduit sans difficulté les théorèmes qui suivent :

Théorème II. — Si Von prend n développées obliques successives d'une courbe g sous les angles a, /7,, «2, • • • , ««-1, Icl développée oblique de V ordre n sera la même dans quelque ordre que l'on fasse intervenir les angles a y «,, «2, • • •> <^«— i.

Théorème III. — Si Von prend les développées obliques de l'ordre n d'une courbe a en permutant de toutes les manières possibles les angles «, a,, . . . , «„i, sous lesquels sont prises les développées obliques successives, l'ensemble des rayons de courbure oblique de ces différents systèmes formeront autant de lignes brisées dont les deux extrémités seront communes.

Corollaire I. — Les théorèmes précédents existent toujours

lorsque, parmi les développées obliques successives, certaines deviennent orthogonales. Car cela revient à poser certains des angles «, a,, «,,..., a„, égaux à un angle droit.

D'après cela, on obtient les propositions suivantes :

Corollaire II. — La développée d'une développée oblique sous l'angle a d'une courbe a- est la développée oblique sous l'angle a de la développée de la courbe a, et ainsi de suite.

Construction du rayon de courbure. — Pour obtenir le centre de courbure de la développée oblique de l'ordre n sous les angles a, a,, «2, • • • , «„, construisez les rayons de courbure de la courbe c et de ses développées successives jusqu'à l'ordre «; à la ligne brisée dont les côtés sont R, IV, R",. . ., R("^ circonscrivez une seconde ligne brisée à angles droits dont le premier côté forme l'angle a avec le côté R, et projetez les extrémités de la première ligne brisée sur les côtés extrêmes de la seconde; on détermine ainsi une ligne brisée qui a un côté de moins; opérez sur cette ligne brisée et sous l'angle «, comme on a opéré sur la première sous l'angle «, vous aurez une nouvelle ligne brisée qui aura un côté de moins, et ainsi de suite, jusqu'à ce que la ligne brisée obtenue se réduise à un seul côté; les extrémités de ce côté sont l'une le point de la développée de l'ordre n, l'autre le centre de courbure de cette développée.

Cette construction donne à la fois le point de la courbe, sa tangente et son rayon de courbure correspondants, et l'on voit que le résultat final ne dépend pas de l'ordre dans lequel les angles «, «,, «2, . . . sont intervenus.

Rectification de la développée oblique de V ordre n. — L'inspection des formules (4) conduit à la construction suivante de l'arc de développée oblique de l'ordre n :

Théorème I. — Développez Varc [(t ~ (o-)] sur la tangente à V origine de cet arc; par l'origine du même arc, menez sous l'angle a le rayon (r); par l'extrémité de ce rayon, menez sous l'angle Ui par rapport à ce rayon une ligne égale à (r, ), et ainsi de suite jusqu'au rayon (r„, ); par l'autre extrémité de l'arc [a — [œ]] développé, menez sous l'angle a le rayon r, et