CHAPITRE III. — DEUXIÈME SYSTÈME DE COORDONNÉES, ETC

de l'extrémité de ce rafon une perpendiculaire sur{r); du pied de cette perpendiculaire menez un rayon r, formant avec (r) un angle «,, et de l'extrémité de ce rayon abaissez une perpendiculaire sur ( r\ ), et ainsi de suite, jusqu'au point qui sera le pied de la perpendiculaire abaissée sur ( r„i ) ; Varc [o-„ — (<T„)] est égal à la distance du pied de cette perpendiculaire à l'extrémité du rayon [rn-i ).

Théorème IL — Dans cette construction, la longueur de l'arc [(7„ — (g-„)] est indépendante de l'ordre dans lequel on "ait intervenir les angles a, «,,..., «„,.

En effet, si ron élimine r—{r) entre les deux premières équations (4) relatives aux arcs des développées, et si l'on exprime dans l'équation résultante les rayons r, r, en fonction de R, Ri, et Ri en fonction de R et R' au moyen de la première des équations (3), on obtient l'équation

o-j— (0-2) " [R — (R)] sin(rt -f- «i)

H- [R' — (R')] sin« sina, -f- [<7 — (c)] cos<2 cos«i,

laquelle étant symétrique par rapport à a, «,, et ne dépendant que des éléments de la première courbe et de sa développée oblique seconde, conduit immédiatement au théorème énoncé.

55. Problème IV. — Enveloppe d'une droite mobile autour d'un de ses points, ce point décrivant une courbe donnée, et le rapport des vitesses de rotation et de translation étant constant.

Le cas le plus simple après celui où -y- est nul est le cas où

le rapport -7- est constant; on obtient alors une classe trèsétendue de courbes jouissant de propriétés intéressantes.

Conservons la notation du n° 47, et soient {Jig. 10} l'équation élémentaire de la directrice et le rapport des vitesses

ds „ ds ^.

" Fe = »' Je=^'

R étant une fonction de e et N une constante. De ces deux

équations, jointes à la condition e = e -h a, on déduit les relations

(2) [R — ^)de = Nda, R^e = Nû?e, Rda^-^{K — ^)de.

Or, si l'on pose R, := R — N, l'équation de la courbe parallèle à la directrice qui, dans le cas de, notre figure, est intérieure

Fig. 10.

à cette courbe et à une distance N, en représentant par *, l'arc de cette courbe parallèle, est donnée par la relation

On déduit de ce qui précède les équations

(4) N«= r^RiC^e, a=:f^~de,

Jo Jo ^

et, conséquemment, on a les relations

(5) s: . f Rde, 5,=. / R(/e-Ne,

l'origine des arcs s et s, correspondant au point pour lequel e est nul; l'équation du rayon tangentiel est donc

r — Nsinfl.