CHAPITRE III. — DEUXIÈME SYSTÈME DE COORDONNÉES, ETC

Les équations ( 5 ) el (6 ) donnent les coordonnées langentielles de la courbe cherchée.

On en déduit le théorème suivant :

Théorème. — V enveloppe d'une droite mobile autour d'un de ses points, ce point décrivant une courbe donnée, et le rapport des vitesses de rotation et de translation étant constant, est une roulette décrite par un point du cercle dont le diamètre est N, ce cercle roulant sur une courbe parallèle à la directrice et le point décrivant se trouvant sur cette dernière courbe à l'origine du mouvement.

En effet, la dernière des équations (4) exprime qu'à partir de l'origine du mouvement le point de contact du cercle et de la courbe parallèle a parcouru sur les deux courbes des arcs égaux, et l'équation (6) exprime que le point de contact des

• deux courbes se projette sur l'extrémité do la corde r menée par le point du cercle diamétralement opposé au point de contact, cette corde formant avec la tangente au cercle un angle a.

Rayon de courbure. — Le rayon de courbure de l'enveloppe du rayon /-s'obtient au moyen de l'équation (4) du n° 48, dans

dr laquelle on remplace -r- par sa valeur tirée de l'équation (6)

du présent numéro; or on a

dr „ R,

-— :zz:N -r- COS«,

as R

par suite, l'équation (4) du n° 48 donne la relation

(n) il=: jT ! COS«.

Construction du rayon de courbure. — Si l'on remarque que R2— RJ est le carré de la tangente menée du point de contact du cercle mobile avec la directrice au cercle de courbure de la parallèle, et que le rapport de ce carré à R exprime la projection de cette tangente sur le rayon de courbure de la directrice, on voit que le rayon de courbure <^ de l'enveloppe

s'obtient en projetant cette projection sur la normale à l'enveloppe. On obtient donc ainsi une construction simple du rayon de courbure SI de cette enveloppe.

Rectification de l'enveloppe. — Remplaçons dans l'équation (4) du n" 48 de par sa valeur da-î-de, nous obtenons l'équation

da =^- 6/r-f- N cosada -h N cosade;

or, par suite de l'équation (6) du présent numéro, le deuxième terme du second membre de l'équation précédente est dr: on aura donc, en intégrant,

(8) ^r 'ir-^^ r décos [--^^^^y

équation dans laquelle les variables sont séparées.

Quadrature de r enveloppe. — La formule (3) du n°46 donne, en opérant par rapport à dz, comme nous venons de le faire,

</m :ri:; - (R — R, H ?>\i\^ada -t- de sin- ( '' ' j U

équation dans laquelle les variables sont aussi séparées.

Remarque. — Si, dans l'énoncé du problème IV que nous venons de résoudre, on suppose que la rotation du rayon mobile ait lieu en sens inverse, il suffira de changer le signe

de N; la courbe parallèle -^ == R, est alors, dans le cas de

notre figure, une courbe parallèle à la directrice, extérieure à cette courbe et à une distance R, — R; les équations (5) et (6) donnent les coordonnées tangentielles d'une roulette décrite par un point du cercle dont le diamètre est R, — R qui roule sur la courbe parallèle à la directrice, intérieurement à cette courbe parallèle. Il est aisé de voir que les formules et les constructions précédentes sont générales et s'appliquent à cette nouvelle hypothèse.

Si l'on voulait avoir dans les formules des angles «, et e, comptés en sens inverse, il faudrait poser

«rrr. 277 — <^?,, £: 277— £,.