CHAPITRE III. — DEUXIÈME SYSTÈME DE COORDONNÉES, ETC

cercle remplit les conditions de la droite mobile du problème, pourvu que le point fixe se trouve sur la normale à la directrice à l'origine du mouvement. Nous voyons donc que l'enveloppe de cette droite mobile n'est autre chose que la développée de la courbe étudiée dans le problème précédent; de là nous lirons le théorème suivant :

Théorème. — L'enveloppe d'une droite mobile autour d'un de ses points, tandis que ce point décrit une courbe Si par la condition que le rapport de la vitesse de translation du point à la vitesse angulaire de la droite par rapport à la directrice soit constant Di, est la dé<^eloppée de Venveloppe d'une droite mobile autour d'un de ses points, tandis que ce point décrit une courbe s parallèle à la courbe 5, à la distance D,, sous cette condition, que les vitesses de translation et de rotation soient dans un rapport constant D,.

L'équation du rayon tangentiel r, de l'enveloppe est la suivante :

, ,, sin<^i 1 I

Rayon de courbure. — On peut l'obtenir de deux manières : ou bien en supposant que D, est constant dans la formule {&) du n*» 4-8, ou bien en prenant la dérivée de ^ par rapport à e de la formule (7) du n" 55, en ayant égard aux équations (2 )

du présent numéro et à la relation a H- a, ^r^ - ; on trouve ainsi

l'expression de ^,, rayon de courbure de la ligne *,,

(5) .îft., — — ( Ljcosa, -f- — ^ sin«,,

qui se construit facilement d'après la règle donnée dans le n°48.

Rectification. — Soit da^ l'élément de l'arc de l'enveloppe, l'équation (4) du n° 48, dans laquelle on supposera ds^ égale à D,c/«,, donnera, par une simple intégration, (o-i)o, (n)o, («1)0 étant les valeurs initiales de c,, r,, a,, la relation suivante :

(6} 0-, — (a-i)„-- r, (r,)o -t-D, [sin«, — sin(«,)o].

Quadrature. — Si, dans la formule (3) du n° 46, on remplace r, cl £ par leurs valeurs tirées des équations (4) et (3) du présent numéro, on aura

''" = ïRSnJ/"'^°^'(ô: r«''^^)'

dans laquelle les variables sont séparées, puisque R, est une fonction connue de e,

57. Problème VI. — Enveloppe d'une droite mobile autour d'un de ses points, tandis que ce point décrit une courbe donnée, les vitesses angulaires de la droite et de la tangente à la directrice étant dans un rapport dont la loi est donnée.

Coordonnées tangent ielles. — Soient l'équation élémentaire de la courbe et le rapport des vitesses

, , ds ^ de } -h m

de da m

R étant une fonction de e et m une fonction de a. De ces deux équations et de la condition

sz- a-r- Cy

on déduit

( 9. ) 5 == 1 R de y da - m de, de : - ( m-\ ï)de,

La première équation (i) donne

— - R !i ^ ? de m 4- I s'ma^ da m

et conséquemment

(3) r:^ sina.

Cette dernière équation montre que le rayon de courbure de la directrice et la normale à cette courbe sont dans un rapport égal à (1 + m).