CHAPITRE m. — DEUXIÈME SYSTÈME DE COORDONNÉES, ETC
sont les deux équations
ds (i) — - — R, r=Rsin'"a ou bien N — Rsin'^-'a,
R étant une fonction de e, 9(e).
On obtient, en opérant comme précédemment, les équations
I5— 1 Rflfe, c?e = sin'"-'«6?e, c?« = û?£(j — sin'"-'a),
sin'^-'a
Il résulte de ces équations que 5 et r sont connus en fonction de a.
Rayon de courbure. — On trouve sans difficulté
^z= - — (r -r m)r — m zr—. — cosa H- R' ,., . , sin«, sin«L Rsin«J R^sin^a
SI = sin'"-'«î[( I -h m) — m sin^-'ajR cos«-{- sin'"-'«R'sinéz j.
Le rayon de courbure <R est donc la projection sur la normale à l'enveloppe de la somme des deux côtés d'un angle droit, dont les directions sont celles de R et de — R', et dont les longueurs sont égales aux coefficients du cosinus et du sinus dans l'équation que nous venons d'écrire.
Rectification, — On trouve l'équation suivante, dans laquelle les variables sont séparées
^ sin'^'-'«fl?« \ sin'"~'«cosar/(7
qui ne dépend que des quadratures.
Cas particuliers. — Examinons les hypothèses suivantes : I» m = o. Dans ce cas, on a les relations
ds r . „
-7-=-; — î sina = i, r r— K.
de sin a
L'enveloppe est donc la développée de la courbe donnée.
2" m — I. Celle hypolhèse donne les équalions
r rr= R sin «, dz = de, a = consl.
L'enveloppe est donc la développée oblique de la courbe. 3° m=:2. On oblienl les équalions
r:=:Rsin2a, da =^{i — sin a) de,
Si = sin^a ( —. 2 ) R cos a + R' sin a •
L\sin« / J
Si l'on représenle par So el «0 deux valeurs correspondantes de £ el de a, la deuxième des équations précédentes étant intégrée donne les deux relations
s — Bqz:^ col -
(5«y^cotl(^-«.).
sin -(« — «0 e — eo 4- a
. I /tt \ . I /t: \
m « sin «0
sm
4" m - 3. Celte hypolhèse donne les relations angulaires
, da s\n(a—ao) sinfa— «0)
de — — 7 e — fo — ^ 1 éf — Eo — a ,
cos^a cosacosflo cosacosûto
el les relalions linéaires
/' — Rsin^«, ^ = sin^« ( ~ 3 sin« ) Rcosa + R'sina
L\sin« y
5° m ==: — !. Dans ce cas, les relalions angulaires sont, £0 correspondant à la valeur nulle de a,
, sin^ada
d^ — , £^ £ ^ ^ r= tangrt, £0 — e = langa,
cos'a
el les relalions linéaires sont
rsina~R, ^=: -r-— (Rcosa -1- R'sinfl).
