CHAPITRE III. — DEUXIÈME SYSTÈÎflE DE COORDONNÉES, ETC. qS

II est inutile de poursuivre ces applications, qui ne présentent aucune difficulté, et qui conduisent à des expressions d'une construction simple.

Des épicycloïdes et des hypocycloïdes.

59. De l'épicfcloïde. — On appelle ainsi la courbe engendrée par un point de la circonférence d'un cercle roulant sur un autre cercle et extérieurement.

Si l'on suppose que, dans le n° 55, la courbe directrice est un cercle de rayon R, la courbe parallèle intérieure, dont le rayon de courbure sera R, =R— N, deviendra un cercle concentrique au premier. La courbe sera une épicycloïde décrite par

le point A de la circonférence de cercle dont le rayon est - N,

Fig. 12.

roulant sur un cercle dont le rayon (Jîg. 12) est OR,, le point décrivant A se trouvant en R à l'origine du mouvement.

Coordonnées tangentielles. — Elles sonl données par les équations du n° 55

{ 5, n^ (R — N)e — N«, 5:=Re = N£, R« = R,e, ( r=:Nsin«, AM=rNcos«.

Rayon de courbure. — Ce rayon est donné par Téqualion

(2) <a = fR— yJcos«.

Équation élémentaire. — Elle peut s'écrire sous Tune des deux formes suivantes

dfj /,, Rî\ R. d(7 ., R + R,

(3) :^:=(R--^)cosg-e, =N-^cosa.

dz

Rectification. — L'intégrale de la première des équations (3) donne

,,, R2— R^ . R, TVT^H-^' . R + R,

(4)0-:^ — j^ — ^sin^c, ^^^N— j^ — sina, 0-= — g^ — r.

Quadrature. — La formule qu'on obtient pour exprimer la différentielle de l'aire balayée par le rayon tangentiel r est

jM=r - — - (R— R,)2sin'ac?«; 2 1\,

si on l'intègre, on obtient la relation

ur=z - — (K — R,)2(« — cosasina).

2 JLii

Or, si l'on remarque que 5, = Na, cette équation peut s'écrire sous la forme suivante