CHAPITRE III. — DEUXIÈME SYSTÈME DE COORDONNÉES, ETC

constant. Ainsi l'on a

De l'iifpocycloïde. — C'est la courbe engendrée par un point de la circonférence d'un cercle roulant sur la concavité d'un autre cercle.

Si l'on suppose [Jig* i3) que dans le n° 55 la courbe directrice est un cercle de rayon R, la courbe parallèle extérieure

Fig. i3.

sera un cercle concentrique de rayon Rj, tel que R2 = N + R. Dans ce cas, la courbe enveloppe est une hypocycloïde décrite par le point Ai de la circonférence d'un cercle dont le rayon

est - N, ce cercle roulant sur la concavité du cercle dont le

rayon est R2. Or, si on introduit les angles «,, s, comptés en sens inverse à partir des tangentes au cercle directeur au point D et au point R, qu'on appelle ^2 l'arc de cercle de

g8 LIVRE I. — COURBES RAPPORTÉES A DIVERS SYSTÈMES, ETC.

rayon Rj, et que dans l'hypocycloïde les grandeurs correspondant à celles que l'on a considérées dans l'épicycloïde soient représentées par les mêmes lettres atïectées d'un indice augmenté d'une unité, on aura les équations suivantes : Coordonnées tangentielles : «, r^z e, -+- g,

s, --= R,é>. rrrfR, - R)«,, Sr^^Re, rr(R, — R)£„ R«, =r R,£,,

r, -^::(R2 — Rjsin^,, n, (Rj — R)cosa,. Rayon de courbure.

- cos«,.

Rectification,

sin«,,

Équation naturelle.

d<7^ dix "

COS- s..

Quadrature.

On voit que ce sont les mêmes formules que celles de l'épicycloïde dans lesquelles on aurait changé D, «, e, en — D,, — «,, — g,.

Comparaison des épicycloïdes. — Si l'on considère deux épicycloïdes engendrées par des cercles quelconques roulant sur des cercles quelconques, on voit que, dans ces deux épicycloïdes, les mêmes grandeurs géométriques correspondant à un môme angle donné a seront dans un rapport constant, quel que soit cet angle a.

Si le cercle générateur est le même, les coordonnées tangentielles, rayons tangentiels et normales correspondant au même angle auront même longueur.

Déformation de Vépicycloïde. — Si l'on élimine a entre les