CHAPITRE III. — DEUXIÈME SYSTÈME DE COORDONNÉES, ETC

équations qui donnent rîFl et a-, lesquelles sont

(7) R, (7==N(R + R.)sin«, RcSH. == N(R -+- R,)cos«, on obtiendra l'équation résultante

(8) RJctM- R'^2^ N2(R 4- R,)^

De là on déduit le théorème suivant :

Théorème. — Si l'on développe l'épicycloïde sur la tangente à son sommet, le lieu des centres de courbure après le développement est une conique.

On trouve ce théorème dans Riccati. Écrivons la valeur de n

'(9) Ai==:Ncosa,

et éliminons a entre cette équation et la première des équations (7), on obtient l'équation

Rî 0-2-4- (R -f- R, )^i2=r N='(R + R,)^

On déduit le théorème suivant :

Théorème. — Si on développe l'épicycloïde sur la tangente à son sommet, le lieu des pieds des normales N après le développement est une conique.

60. Des développées successives de l'épicycloïde. — Nous conservons pour représenter les lignes qui caractérisent une développée quelconque les lettres qui désignent les grandeurs correspondantes dans l'épicycloïde; mais, pour les distinguer, nous les affectons de l'accent qui marque le rang de la développée. Or on a

(0 __.-^^^____.cos^s;

donc, en opérant comme au n° 56, et en remarquant que

lOO LIVRE I. — COURBES RArPORTÉES A DIVERS SYSTÈMES, ETC.

e' " — i- £, on aura

, ^ dn' ^, R^-R? R, R. ,

(^^ ^=^==-ir-R^^^iT^-

On conclut de là que la développée d'une épicycloïde est une épicycloïde décrite par un cercle dont le diamètre est

— ( R — R, ), qui roule sur la convexité du cercle concentrique K

au cercle Ri, et ayant pour rayon -^ • Cette épicycloïde est

tangente en son sommet au cercle R,, et ce sommet coïncide avec le point de rebroussemeni de l'épicycloïde proposée.

D'après cela, on voit que la n'^'"" développée est donnée par réqualion élémentaire

C'est une épicycloïde donnée par un cercle dont le diamètre ^J (R — R,), roulant sur un cercle concentrique au

cercle R,, et ayant pour rayon -5— -, elle est tangente en son

sommet au cercle qui a pour rayon tt;^-

Relations entre les rayons de courbure des développées successives. — Si l'on exprime e, e', e." en fonction de «, on aura les équations

I ^ — -— 1 cos«,

(4) \^--=^ R~~^ir^'"'''

«^ R |^cos«.

Si l'on élimine a entre la première et chacune des deux