CHAPITRE IV

quatrièihe époque.

caIcui infinitc»imai. g \^ GinquaDtc SUS après que Descartes avait mis au jour sa Gémiiétrie,

une autre grande conception préparée par Fermât el Barrow, le Calcul infinitésimal de Leibniz et de Newton, prit naissance (en 1684 el 1687).

Cette sublime invention, qui remplaçait avec un avantage inmiense les méthodes de Cavalieri, de Roberval, de Fermât, de Grégoire de Saint- Vincent, pour les dimensions des figures et les questions de maxima et mihhnay s'appliqua aussi, avec une facilité si prodigieuse, aux grandes questions des phénomènes de la nature, qu'elle devint presque exclusivement l'objet des méditations des plus célèbres géomètres. Dès lors, la Géométrie ancienne el les belles méthodes de Desargues et de Pascal , de La Hire et de Le Poivre, pour l'étude des coniques, furent néjçligées.

L'Analyse de Descartes, seule des grandes productions de notre deuxième et de notre troisième Époque, survécut à cet abandon général. C'est qu'elle était le véritable fondement des doctrines de Leibniz et de Newton, qui allaient envahir tout le domaine des sciences mathématiques.

Cependant, quelques géomètres, dans les premiers temps, et à leur tête Iluygens, quoiqu'il sut apprécier toutes les ressources de l'Analyse infini-

tésimale^ Mac-Laurin^ profond commentateur du Traité des Fhixions de Newton, et Newton lui-même, furent fidèles à la méthode des Anciens, et surent pénétrer dans les mystères de la plus profonde Géométrie, pour résoudre, avec son seul secours, les plus hautes questions des sciences physico-mathématiques.

Quelques autres géomètres ensuite, tels que Stewart, Lambert, dignes admirateurs de ces grands hommes, marchèrent sur leurs traces et continuèrent leurs savantes méthodes. Mais enfin Tattrail de la nouveauté et les puissantes ressources que présentait l'Analyse infinitésimale, tournèrent tous les esprits vers d'autres idées et d'autres spéculations. De sorte que, si l'on peut dire parfois que la Géométrie d'Huygens et de Newton, après avoir posé les véritables fondements de nos connaissances positives, devenait insuffisante pour continuer son œuvre , il est juste de convenir aussi que des disciples lui ont manqué ; car je ne sache pas que , depuis trois quarts de siècle, on ait fait de nouvelles applications de cette méthode; et c'est aujourd'hui par tradition et seulement sur parole, que, légèrement peutêtre, on parle de son impuissance et des limites qui en restreignent pour toujours les usages.

§ 2. Nous ne pouvons entreprendre ici d'analyser tous les travaux des grands géomètres que nous avons nommés ; cette tâche n'entre point dans notre cadre et serait au-dessus de nos forces. Nous ne devons citer que ceux de ces travaux qui se rapportent à cette partie de la science de l'étendue, qnenous avons appelée Géométrie des formes et des situations; qui prend son origine dans V Analyse géométrique des Anciens; qui, pendant deux mille fins, s'est exercée sur l'inépuisable théorie des sections coniques, et à laquelle enOn Descartes a soumis, d'un trait de plume, l'innombrable famille des courbes géométriques.

Nous allons présenter d'abord un aperçu rapide des découvertes successives des principales propriétés de ces courbes; puis, en revenant sur nos pas, nous parlerons des progrès que la Géométrie a faits dans diverses autres parties.

iU HISTOIRE DE LA GEOMETRIE.

Propriété» généraiM § 3. La Géométrle analytique de Descartes était un instrument universel ,

det courbes geonie- ^ •/ i 7

iriquts. éminemment propre à l'étude des courbes géométriques; et ce philosophe

en avait niontré fusage et toute la puissance dans la solution des questions les plus diverses. Mais ce furent Newton et Mac-Laurin qui, les premiers, rappliquèrent à la recherche des propriétés générales et caractéristiques de ce genre de courbes ; et c'est à ces deux illustres géomètres et à leur célèbre contemporain Cotes, que Ton doit la découverte des premières et plus importantes propriétés des courbes géométriques. NEWTON. Newton, dans son Enumeratio linearum tertii ordinis (anno 1706), mo-

dèle admirable de haute Géométrie, fit connaître les trois propriétés suivantes, qu'il présenta comme extensions des propriétés principales des coniques ^

La première concerne leurs diamètres ; elle consiste en ce que : étant iiienées, dans le plan d'une courbe géométrique, des transversales parallèles entre elles, et étant pris sur chacune d'elles le centre des moyennes distances de tous les points oit elle rencontre la courbe, tous ces centres se trouvent toujours en ligne droite. C'est cetle droite qu'on appelle diamètre de la courbe correspondant, ou conjugué, à la direction des transversales.

La deuxième propriété générale concerne les asymptotes, et consiste en ce que : quand une courbe a autant d'asymptotes qu'il y a d'unités datis le degré de son équation, sous quelque direction qu^on tire une transversale, le centre des moyennes distances des points oh elle rencontre les asymptotes est le même que celui des points oh elle rencontre la courbe.

Ou, en d'autres termes, la somme des segments compris entre chaque branche de la courbe et son asymjHote, est la même de part et d'autre du diamètre conjugué à la transversale.

Enfin, la troisième propriété générale est celle du rapport constant des produits des segments compris sur deux transversales, parallèles, respectivement, à deux axes fixes. On l'énonce d'une manière générale, en disant

I Proprietatts secttonum conicarum compelunt curvis superiorum generum.

que : si par un jmnt quelconque , fjris dam le plan d'une courbe géomé-

trique, on mène deux transversales parallèles à deux axes fixes, les pro-

duits des segments compris sur ces deux droites , entre le point par lequel

eUes sont méfiées et la courbe, sont entre eux dans un rapport constant ,

qwl que soit ce point.

11 est aisé de reconnaître que ces trois belles propriétés^ communes à toutes les courbes géométriques^ sont une généralisation de trois propositioDS de la théorie des coniques.

§ 4. L'objet principal de Fouvrage de Newton était Ténumération des ligues comprises dans Féquation du troisième degré à deux variables, où il en reconnut soixante-douze espèces diiïérentes^ auxquelles Stirling en ajouta quatre.

A la suite de cette énumération^ Newton donna cette belle et curieuse proposition^ qui range ces courbes en cinq grandes classes principales, savoir: « Qu'ainsi que le cercle, étant présenté à un point lumineux, » donne par son ombre toutes les courbes du second degré , de même les » cinq paraboles divergentes donnent par leur ombre toutes les courbes du » troisième degré. »

L'ouvrage est terminé par la description organique des coniques au moyen de deux angles, mobiles autour de leurs sommets, dont deux côtés se coupant toujours sur une droite , les deux autres engendrent, par leur intersection, une conique; et ce mode de description est étendu aux lignes du troi- ^ème el du quatrième degré qui ont un point double.

Il est fâcheux que Newton se soit contenté d'énoncer ces belles découvertes, sans démonstration ni aucune indication de la méthode qu'il avait suivie. Stirling, peu d'années après, suppléa à ce défaut en rétablissant, avec les développements préliminaires nécessaires, les démonstrations des propositions de Newton, relatives à Ténumération des lignes du troisième degré. Les autres parties de l'ouvrage ont été, depuis, démontrées par divers géomètres. Le beau théorème sur la génération de toutes les courbes du troisième degré par l'ombre des cinq paraboles divergentes, qui avait

paru run des plus difficiles, la été par Glairault ^ Nicole -, Murdoch ^ et le Père Jacquier ^. Mais il nous semble que les considérations analytiques, dans lesquelles ces géomètres ont puisé des preuves suffisantes de la vérité du théorème de Newton , n'en ont pas pénétré la nature ni Torigine. Aussi, un autre théorème semblable, c'est-à-dire, un autre mode de génération de toutes les courbes du troisième degré par Tombre de cinq d'entre elles, qui a une conncxité intime avec celui de Newton , a-t-il échappé aux géomètres qui ont écrit sur celte matière. Ce théorème consiste en ce que : jmrmi toutes les courbes du troisième degré, il en est cinq qui ont un centre ^ ; et ces cinq courbes y par leur ombre projetée sur un plan, donnent naissance à toutes les autres.

Ce nouveau théorème et celui de Newton reposent, l'un et lautre, sur une même propriété des points d'inflexion, qui nous parait en être la véritable origine, et pouvoir être utile pour une classification purement géométrique dos courbes du troisième degré, basée sur leurs diiïérentes formes. Nous donnerons Ténoncé de cette propriété dans la Note XX. ^Aii iHiN. t^ î). Mac-Laurin, inspiré par les belles découvertes de Newton, produisit,

sur les courbes géon)étriques, deux écrits d'une haute importance. Dans le prenn'(u*, consacré h la description organique des courbes géométriques ^, lautiuir apprend à décrire de diverses manières , par l'intersection de deux angles mobiles, dont le mouvement est déterminé convenablement, toutes l(*H courbes géomélri(|ues. Ses démonstrations, traitées par la méthode des coordonnées, n'olTrent pas toujours un degré de simplicité satisfaisant; mais le deuxième écrit de Mac-Laurin, intilulé : De linearum (jeometricarum proprielalibus fpneralibus tractatus, est d'une élégance et d'une précision admirables.

* .Uihnourmlt' TAf iith^iii**' *I*'H Hvli'ncen, niuh 1731.

' ihùl.

» \viihmi fii'HVHiH vuvvaruni pvr vmbras; in-8". Loiid., 174G.

* tHi'Hunli tli pi'rMiii'Uivit: Appondicc, in-8*. Roihîc, 1753. » Cl' HiMil. iliiii'» IViiiiiiH^nitiiHi <los Moixniilc-(lou/o espèces de Ncwloii, les cinq courbes clas-

. <ir , Moiii Wn n" *27, ns, Nî), «14, 7tî, cl rcprëscnlces par les figures 57, 47, 67, 70 et 8i. " fii'unirh'iiinn/iuilnit mivo (IvHrrIplin lineunun curvarum universalis, in-4% 1719.

IWin-nUi.

Tout cet ouvrage repose sur deux théorèmes, qui sont deux belles propriétés générales des courbes géométriques. Le premier est celui du célèbre Cotes, que son ami^ le savant physicien R. Smith, trouva dans ses papiers et communiqua à Sfac-Laurin. On peut Ténoncer de cette manière : Si, autour d'un point fixe, on fait tourner une transversale qui rencontre une courbe géométrique en autant de points A, B.... qu'elle a de dimensions, et qu'on prenne sur cette tramversale, dans chacune de ses positions, un poifit M tel que la valeur inverse de sa distance au point fixe soit moyenne arithmétique entre les valeurs inverses des distances des points A, B... r/ ce point fixe , le point M aura pour lieu géométrique une droite.

Mac-Laurin a appelé le segment compris entre le point fixe et le point M, moyenne harmonique entre les segments compris entre le point fixe et la courbe * ; et M. Poncelet a appelé le point M , le centre des moyennes harmoniques des points A, B...., par rapport au point fixe 2. Ce géomètre a fait voir que, quand le point fixe est à Tinfini, le point M devient le centre des moyennes distances des autres points A, B...., d'où il résulte que le théorème de Cotes est une généralisation du théorème de Newton sur les diamètres des courbes.

Le second théorème dont se sert Mac-Laurin, qui lui est du, est celui-ci :

Que, par un point fixe pis dans le plan d'une courbe géométrique, on méfie une transversale qui rencontre la courbe en autant de points quelle a de dimensions; qu'en ces points on mène les tangentes à la courbe; et que, par le point fixe, on tire une seconde droite de direction arbitraire, mais qui restera fixe : les segments compris sur cette droite, entre le point fixe et toutes les tangentes à la courbe, auront la somme de leurs valeurs inverses constante, quelle que soit la première transversale menée jmr le point fixe;

* Mac-Laurin dit qu'une quantité est moyenne harmonique entre plusieurs autres, quand sa valeur inverse est moyenne arithmétique entre les valeurs inverses de ces quantités. [Traité des Courbes géométriques, % 28.)

^ Mémoire sur les centres des moyennes harmoniques ; Journal de M. Crelle, tom. HI.