COTES

iiS HISTOIRE DE LA GEOMETRIE.

Cette somme sera égale à celle des valeurs inverses des segments compris sur la même droite fixe, entre le même point et ceux où cette droite rencontre la courbe.

§ 6. Ce second ihéorème est une généralisation importante de celui de Newton sur les asymptotes. L'un se* transforme dans l'autre par la perspective des figures.

Ainsi, deux des trois théorèmes de Newton sur les courbes géométriques se trouvent généralisés par ceux de Cotes et de Mac-Laurin. Le troisième, qui concerne les segmente faits sur des transversales parallèles, a reçu une généralisation semblable dans la Géométrie de position^ où les transversales concourent en des points fixes. Garnot a même donné une autre généralisation plus étendue et plus féconde de ce théorème^ en le considérant comme cas particulier d'une belle proposition générale relative à un polygone quelconque, tracé dans le plan d'une courbe géométrique.

§ 7. Dans le théorème énoncé ci-dessus, Mac-Laurin considère le cas où le point fixe, par lequel on mène des transversales, est pris sur la courbe; et, au moyen d'une propriété du cercle , il transforme l'équation qui exprime le théorème en une autre, où entre une corde du cercle osculateur à la courbe au point fixe. De là il conclut deux autres théorèmes , qui lui servent à construire le cercle osculateur, et à trouver l'expression de la différentielle du rayon de courbure.

Cette construction géométrique du cercle osculateur, sur la figure méme^ et sans le secours du calcul des fluxions, ni même de l'Analyse de Descartes^ parait être restée inaperçue dans l'ouvrage de Mac-Laurin; car nous ne voyons pas qu'on en ait jamais parlé. Nous croyons pourtant qu'elle méritait d'y être remarquée, parce que ce problème avait paru jusque-là exiger absolument l'emploi de l'Analyse.

Mac-Laurin suppose connue la direction de la normale au point où il détermine le cercle osculateur. Nous nous étonnons qu'il n'ait pas eu l'idée de construire aussi d'une manière purement géométrique, et sans calcul , cette

normale. Ce problème était du même ordre, et plus facile que celui du cercle osculateur. Nous avons trouvé, de Tune et de l'autre, une construction simple, qui dérive du troisième théorème de Newton. Nous ignorions alors que le cercle osculateur eût déjà été construit : du reste notre solution diffère complétemeni de celle de Mac-Laurin, puisqu'elle repose sur une autre propriété des courbes géométriques.

§ 8. Les quatre théorèmes généraux dont nous venons de parler font l'objet de la première section de l'ouvrage de Mac-Laurin. Dans les deux autres sections sont les applications de ces quatre théorèmes aux coniques et aux courbes du troisième degré.

Les diverses propriétés de la division harmonique des sécantes dans les coniques, et le théorème sur le quadrilatère inscrit, qui comprend la théorie des pôles (celui que nous avons déduit de Thexagramme de Pascal), se trouvent dans la deuxième section. Le théorème de l'hexagramme y est seulement énoncé, Mac-Laurin l'ayant déjà démontré ailleurs de diverses manières *.

La troisième section contient un grand nombre de propriétés curieuses des courbes du troisième degré. La plus considérable, d'où se déduisent la plupart des autres, qui sont relatives aux points d'inflexion et au point double, est celle-ci :

Quand un quadrilatère a ses quatre sommets et les deux points de concours de ses côtés opposés sur une courbe du troisième degré, les tangentes à la courbe, menées par deux sommets opposés, se coupent sur cette courbe. Mac-Laurin avait déjà fait connaître ce théorème, qu'il avait énoncé dans son Traité des Fluxions (art. 401), en observant que celui sur le quadrilatère inscrit aux coniques, dont nous venons de parler, n'en était qu'un cas particulier : ce qu'on voit aisément en considérant la conique et la droite qui joint les points de concours des côtés opposés au quadrilatère, comme représentant une ligne du troisième degré.

* Trannactions philosophiques, n«439,ann. 1735, et Traité des Fluxions, n»» 52Î2 et 623.

Le lïiéorème de Pascal pourrait être aussi considéré comme un corollaire d'une propriété des courbes du troisième degré, plus générale que celle de Mac-Laurin, et dont voici Ténoncé :

Quand un hexagone a ses six sommets et deux des trois points de concours de ses côtés opposés sur une courbe du troisième degré ^ le troisième de ces points de concours est aussi sur la courbe ^

§ 9. On a encore de Mac-Laurin, sur la théorie des courbes, un fragment d'un Mémoire qu'il avait écrit en France, en 1721, comme supplément à sa Géométrie organique, çt dont l'impression avait été commencée, mais qui n'a point été mis au jour. Ce fragment fut adressé, eh 1732, à la Société royale de Londres , et se trouve dans les Transactions philosophiques pour l'année 1735. On y remarque le théorème général suivant, qui en est la partie principale :

5/ un polygone, de forme variable, se meut de manière que tous ses côtés passent respectivement par autant de points fixes donnés , et que tous ses sommets , moisis un y parcourent des courbes géométriques des degrés m, n, p, q...., le sommet libre engendrera une courbe qui sera en général du degré 2mnpq...; et qui se 7'éduira au degré sous-double mnpq...., quand tous les points seront en ligne droite.

Si toutes les lignes directrices sont droites, la courbe engendrée par le sommet libre du polygone est une conique; et si le polygone est un triangle, le théorème alors n'est autre que l'hexagramme de Pascal. Ce théorème avait déjà été donné par Newton, pour le cas où l'un des trois points par où devaient passer les trois côtés du triangle mobile était situé à Finfini (Icmme 20 du 1^*^ livre des Principes). Mais c'est à Mac-Laurin qu'on doit son énoncé général, et d'avoir aperçu, dans ce mode de description des

^ Pour démontrer ce théorème, il suffît de regarder les trois côtés de rang impair de Fhexagone comme formant une première ligne du troisième degré, et les trois côtés de rang pair comme en formant une seconde. Par les neuf points d'intersection de ces deux lignes on pourra faire passer une infinité de courbes du troisième degré; mais la proposée passe par huit de ces neuf points; il s*ensuit donc, par une propriété générale des courbes du troisième degré, qu*elle passe par le neuvième.

coniques 9 le beau Ihéorème de Pascal, qui était alors ignoré; V Essai sur les coniques, qui en contient Ténoncé, n'ayant été retrouvé qu'en 1779, par les soins de M. Tabbé Bossut ^

Depuis, Mac-Laurin démontra ce théorème directement pour le cercle, d'où il le conclut, par la perspective, pour toute espèce de coniques. ÇVoir le Traité des Fluxions^ chapitre XIV, dans lequel Mac-Laurin démontre les propriétés principales de Tellipse, on la considérant comme section d'un cylindre oblique à base circulaire.)

§ 10. Braikenridge fut, dans la description des courbes de tous les degrés, un digne émule de Mac-Laurin ; et la théorie de ces courbes lui est redevable de plusieurs belles propositions fondamentales , relatives principalement à leur description par l'intersection de droites qui tournent autour de pôles fixes; propositions qu'il exposa dans son traité intitulé : Exercilalio Geometriœ de desauplione linearum curvarum (in-4% 1733), et dans uu Mémoire qui fait partie des Transactions philosophiques, année 1733. Depuis, plusieurs autres géomètres appliquèrent avec succès la Géométrie de Descartes à la théorie générale des courbes géométriques.

Nicole, à l'imitation de Stirling, qui avait démontré les propositions seulement énoncées par Newton dans son Enumération des lignes du troisième degré ^ avait aussi commencé une explication des principes qui avaient guidé ce grand géomètre, et la démonstration de son importante et curieuse proposition, non démontrée par Stirling^ sur la description de toutes ces courbes par l'ombre des cinq paraboles divergentes ^.

L'abbé de Bragelongne, qui, dès 1708, avait démontré, le premier, les beaux théorèmes de Newton sur la description organique des coniques ,

BRAIKENRIDGE.

MCOLK.

RHAGELONT.NFm IOH8l7li.

' Il serait possible, il csl vrai, que Mac-Laurin, qui résida en France vers 1721, ait eu connaissance do Touvragc de Pascal; mais le tliéorcinc de Thexagonc ressortait si naturellement de la description des coniques par le triangle mobile, qu'il nous paraîtrait étonnant qu'il eût écbappé i la pénétration de Mac-Laurin, qui avait profondément médité sur tout ce qui concerne la description des courbes, ainsi qu'il nous l'apprend lui-même, par sa lettre communiquée à la Société royale de Londres, le 21 décembre 1732. {Traits, philosoph., année I75Î).)

* Mémoires de V Académie des sciences y année 1731.

et (les courbes du troisième et du quatrième degré ayant des points doubles ^ entreprit rénumcration et Fexamen des formes et des affections des courbes du quatrième degré. Travail immense et diflieile^ dont les premières parties seulement ont été publiées, la mort de l'auteur nous ayant privé des suivantes ^.

DECLA, L'abbé De Gua , dans un excellent ouvrage intitulé : Usage de l'Analyse

17H-I786. ^f^ Descartes (in-12, 1740), donna le moyen de déterminer les tangentes, les asymptotes et les points singuliers (multiples, conjugués, d'inflexion et de rebroussement), des courbes de tous les degrés, et fit voir, le premier, par les principes de la perspective, que plusieurs de ces points peuvent se trouver à l'infini; ce qui lui donna l'explication a priori d'une analogie singulière entre les différentes espèces de points et les différentes espèces de branches infinies, hyperboliques ou paraboliques, que peuvent présenter les courbes; analogie à laquelle le calcul l'avait déjà conduit.

Le but que s'était proposé cet habile géomètre , était de démontrer que l'Analyse de Descartes pouvait être employée, avec autant de succès que le calcul différentiel, dans la plupart des recherches relatives aux courbes géométriques. Il ne reconnaissait l'utilité de l'Analyse infinitésimale que pour la solution des problèmes de calcul intégral, et de ceux qui concernent les courbes mécaniques. Ce sont en effet les seuls pour lesquels il paraît impossible de s'en passer, et ce sont même les seuls que Newton ait résolus par cette voie.

EULER, Euler, dans son Introcluctio in analysin infinitorum (2 vol. in-4°, 1748),

1707. 1783. exposa les principes généraux de la théorie analytique des courbes géométriques , avec cette généralité et cette clarté qui caractérisent les écrits de ce grand géomètre ; et, étendant ce genre de recherches à la Géométrie à trois

• Journal des Savans, 50 septembre 1708.

* La première partie de celle éiiumcralion a clé publiée dans les Mémoires de l* Académie des sciences, années 1730el 1731 ; la seconde partie n'a pas paru : l'analyse s'en trouve dans V Histoire de l'Académie pour 1752.

dimeDsions^ discuta^ pour la première fois^ Féquation à trois variables qui reoferme les surfaces du second degré.

Dans le même temps Cramer donna ^ sous le titre : Introduction à l'Analyiedes lignes courbes algébriques (in-4**, 1750), un traité spécial, le plus complet, et encore aujourd'hui le plus estimé, sur cette vaste et importante braoche de la Géométrie.

Peu après, parut le Traité des Courbes algébriques (in-12, 1756) de DioDis du Séjour et Goudin, où se trouvaient résolus, par TAnalyse seule de Descartes, et avec clarté et précision, les problèmes sur les aiïections des courbes, leurs tangentes, asymptotes, rayons de courbure, etc.

Ou a encore, de Goudin, un Traité des propriétés communes à toutes les cowrbes, qui a pour objet de transformer une équation quelconque d'une courbe, en une autre qui ait des coordonnées différentes. C'est une suite de formules, à trois et à quatre variables, dont chacune exprime une propriété différente des courbes en général ^

Nous citerons enfin Waring, qui, dans plusieurs écrits, a porté, plus loin que ses prédécesseurs, ses découvertes dans la théorie des courbes ^.

Ce sont là, je crois, les derniers perfectionnemens notables que la science des courbes dut à la Géométrie des Anciens et à l'Analyse de Descartes.

§ 11. Les progrès, dans les autres parties de la science de l'étendue, ont été moins marqués et moins satisfaisants pendant l'intervalle de temps que nous venons de parcourir, que ceux qu'elle a faits dans la théorie générale fe courbes géométriques. Cependant , les coniques ont continué d'être étu-

' On y trouve, en parliculier, quarante-cinq équations différentes de Fellipse, en prenant soit lccen(re,8oil le foyer, pour origine des coordonnées.

Cet intéressant ouvrage de Goudin a eu trois éditions, dont In dernière est de 1803; on a joint h ttlle*€i, comme aux deux premières, un Mémoire sur les éclipses de Soleil, et un précis sur les sorbes algébriques ; et, de plus qu'aux deux premières, un Mémoire sur les usages de Tellipse li^ns la trigonométrie.

' Outre plusieurs Mémoires écrits en anglais, dans les Transactions philosophiques j de 1763 > 1791, Waring a donné, sur les courbes géométriques, les deux traités intitulés : Miscellanea ^nalyiieade œquationibus algebraïcis et eurvarum proprielalibuSy in-4% 1702; et Proprietates jtometriearutn eurvarum y in-4*, 1772.

CRAXER, 1704- 175t.