DIONIS DU SÉJOUR

GOUDIN, 1754-1803.

WARING, 1734-1798.

diées; et de nouveaux efforts pour donner Fintelligence et ranimer le goût de la Géométrie ancienne^ ont été faits par des mathématiciens d'un grand nom, tels que Halley, Stewart, Simson, etc. Quelques questions particulières ont encore été traitées, de loin en loin, par les célèbres analystes Euler, Lambert, Lagrange, Fuss, etc., dans les courts instants de loisir que leur laissaient leurs recherches de prédilection. Mais ces travaux , propres à entretenir la connaissance des doctrines anciennes, ne nous paraissent pas en avoir fait naître de nouvelles ; et les véritables progrès de la Géométrie pure ne datent que du commencement de ce siècle. Géométrie appliquée Mais la GéométHC s'est acquis, à Fépoque qui nous occupe, un autre titre

aux pliéauinenes ,. , i ^ « i •

physiques. à notrc admiratioH, par ses applications aux phénomènes physiques, et par

les grandes découvertes auxquelles elle a conduit Newton, Mac-Laurin, Stewart, Lambert, dans le système du monde. A aucune époque, cette Géométrie appliquée n'a jeté un aussi vif éclat; malheureusement, il a été de peu de durée, et nous devons convenir que, de nos jours, cette science est à peu près inconnue. Le calcul infinitésimal s'est emparé exclusivement de toutes les questions auxquelles elle avait été propre entre les mains de Newton et de ses disciples.

Progrès de la Géomé- § 12. Revcnous à la Géométrie théorique, et essayons de nous rendre

trie pure.

compte, par 1 analyse des principaux ouvrages des géomètres qui Font cultivée pour elle-même, ou qui s'en sont servis comme d'un instrument, dans l'étude des phénomènes physiques, de la nature et de l'étendue des recherches qui ont pu contribuer aux progrès de cette science. HALLET. Le célèbre astronome Halley, d'une grande érudition et très-versé dans

la Géométrie de l'école grecque, lui éleva un magnifique monument par ses traductions, plus fidèles que les précédentes, de plusieurs ouvrages principaux des géomètres anciens. On distingue surtout sa superbe édition du Traité des Coniques d'Apollonius, où se trouve restitué, avec un grand talent, le 8* livre, dont le texte n'a point encore été retrouvé jusqu'à ce jour. A la suite, sont les deux livres de Serenus sur les sections du cône et du cylindre. On doit encore à llalley la traduction, sur un manuscrit arabe, du traité

De seclione rationis, jusqu'alors inconnu; et la divination du traité De sectioAe spatii, rétabli sur les indications de Pappus.

L'objet de ces deux ouvrages était^ comme Ton sait^ de mener par un points |yri$ au dehors de deux droites^ une transversale qui fit sur les deux droites^ à partir de deux points iixes^ deux segments^ dont le rapport dans le premier cas^et le produit dans le second cas^ était donné.

Chacune de ces questions admet généralement deux solutions^ et^ par eonséquent^ conduirait^ en Analyse^ à une équation du second degré. 11 est iatércssant de voir avec quel art Apollonius résout la* première par une moyenne proportionnelle. Ses considérations géométriques correspondent à ro|)ération que nous ferions pour chasser le second terme d'une équation du second degré.

Dans Testime que Newton portait à la Géométrie ancienne , il distinguait particulièrement ce traité d'Apollonius. « Plus d'une fois^ nous dit le savant » Pemberton *, je lui ai entendu approuver l'entreprise de Hugues d'Omé- » rique, de rétablir l'ancienne Analyse, et faire de grands éloges du livre » d'Apollonius, De sectione ralionis, ce livre nous développant mieux la » nature de cette Analyse qu'aucun autre ouvrage de l'antiquité. »

La traduction de Halley est enrichie de plusieurs scholies, qui embrassent, dans des constructions générales et très-élégantes, le grand nombre de casque comporte la question, et qu'Apollonius traite minutieusement, comme autant de formules que le géomètre doit toujours avoir sous la main, dans la résolution des problèmes. Dans un de ces scholies, on voit que le cas le plus général se réduit à mener, par un point doimé, deux tangentes à une parabole déterminée suffisamment par les données de la question. Remarque heureuse, qui se prête à une discussion facile et lumineuse des cas particuliers du problème, et qui a conduit Halley à la connaissance de diverses propriétés de la parabole concernant ses tangentes, telles que celle-ci : Quand «« quadrilatère est circonscrit à une parabole, toute tangente à cette courbe

' Vim of sir Isaac Kewton's philosophy, in-4% 17:28; Iradiiil eu français eu 1755, sous le ùinà'Éléinens de la philosophie newtonienne.

divise deux côtés opposés du quadrilatère en segments proportionnels. Ces diverses propositions ne sont que des cas particuliers de la proposition générale que nous avons appelée propriété anharmonique des tangentes d^une conique. (Voir la Note XVI.)

Halley ne savait pas un mot il'arabe y quand son amour de la Géométrie ancienne lui fît entreprendre la traduction du manuscrit de la Section de raison. Dans sa préface, il fait Thistoire de ce manuscrit enfoui, depuis de longues années, dans la bibliothèque Bodieïenne. Il déplore la perte d'une infînité d'autres ouvrages de l'école grecque, et ne doute pas que licaucoup ne nous seraient rendus, si Ton voulait se donner la peine de les rechercher. Il adresse à ce sujet une prière à tous les savants qui peuvent avoir accès dans les bibliothèques de manuscrits. Nous nous faisons un devoir de rapporter ici, et le sentiment, et les vœux du célèbre Halley, qui doivent avoir une si imposante autorité auprès de toutes personnes éclairées et en position de rendre, de quelque manière que ce soit, quelques services aux sciences mathématiques.

Une édition des Sphériques de Menelaûs, en trois livres, revue sur un manuscrit hébreu, avait été préparée par Halley. Mais elle ne vit le jour qu'en 1758 , par les soins de son ami le docteur Costard, auteur d'une histoire de l'astronomie.

Halley joignait, à une profonde connaissance de la Géométrie ancienne, une parfaite intelligence de la méthode de Descartes. Il en fît usage particulièrement pour perfectionner la construction des équations du troisième et du quatrième degré, par le moyen d'une parabole quelconque donnée et d'un cercle ^

Les éditions qu'il a données des ouvrages d'Apollonius, de Serenus et de Menelaiis, sont très-recherchées des amateurs de la Géométrie *, et suffiraient

' Transactions philosophiques , année 1687, n" 188.

* Tous CCS oiivTiigcs sont Irès-rares, surtout le Iraitc De sectione rationis, qui est encore aujourd liui le seul livre où Ton trouve, avec une traduction plus exacte que celle de Cornmandin, le texte grec de toute la préface du 7" livre des Collections mathématiques de Pappus.

seules pour assurer à Halley une place distinguée parmi les savants qui ont contribué aux progrès des mathématiques , si ses travaux en astronomie ne Pavaient placé à côté des hommes les plus célèbres d'une époque qui a réuni les noms de Dominique Gassini , de Huygens et de Newton.

§ 13. Quoique Newton et Mac-Laurin^ dont nous avons déjà fait connaître les belles recherches sur la théorie des courbes géométriques, n'aient pas écrit spécialement sur la Géométrie des Anciens, ils portèrent une telle estime à cette méthode, qu'ils s'en servirent presque exclusivement dans leurs recherches physico-mathématiques. Nous avons donc encore à jeter un coup d^œîl sur les travaux de ces deux grands géomètres.

Nous citerons de Newton son Arithmétique universelle, et son grand newton. ouvrage des Principes.

V Arithmétique universelle, modèle parfait de l'application de la méthode de Descartes à la résolution des problèmes de Géométrie et à la construction des racines des équations, présentait une foule de questions variées, se rapportant à toutes les parties des mathématiques. Cet ouvrage est trop peu lu de nos jours, parce qu'on oublie sans doute que son illustre auteur, en en faisant le texte de ses leçons à l'Université de Cambridge, l'avait ju^é propre à initier ses élèves dans la science et dans l'art du géomètre.

§ 14. Le premier livre des Principes contient un grand nombre de propositions diverses de pure Géométrie. On y remarque particulièrement de belles propriétés des coniques, et les problèmes sur la construction d'une conique assujettie à passer par des points et à toucher des droites, ou à avoir l'un de ses foyers en un point donné. Ces recherches, nouvelles ^ors pour la plupart, étaient des préliminaires qui suffirent à Newton pour soumetU'e à sa loi de la gravitation universelle tous les phénomènes du ciel, et pour déduire de ce principe unique l'explication, a priori, et le calcul de tous les mouvements des corps célestes. C/est là le plus bel hommage rendu aux recherches des géomètres de l'Antiquité sur les coniques, depuis floe Kepler y avait puisé la découverte des véritables formes des orbites planétaires.

Le peu d'usage que Ton fait maintenant des propositions de Géométrie ^ et des nombreuses propriétés des coniques, par lesquelles il faut passer pour traiter par la méthode de Newton les grandes questions du système du monde, a contribué, indépendamment des avantages que présentait, sous d'autres rapports, la voie analytique, à faire abandonner cette première méthode que Ton a jugée longue et pénible, et qu'on a regardée comme ne promettant rien ou presque rien pour l'avenir. Et ce jugement a acquis chaque jour d'autant plus d'autorité que l'Analyse, cultivée exclusivement, a fait des progrès continus qui permettent de simplifier et de perfectionner, de plus en plus, les premières méthodes analytiques que l'on a substituées à celle de Newton. Celle-ci au contraire^ ayant cessé d'être cultivée, est restée dans l'état où elle était en sortant des mains de son illustre auteur. Et l'on ne songe pas, quand on la met en parallèle avec l'autre, à prendre celle-ci à son origine , et à citer les premiers essais des analystes pour convertir les beaux résultats de Newton en une Analyse d'abord pénible et sans élégance, mais qui, depuis, s'est perfectionnée de jour en jour, par les efforts continus des plus célèbres géomètres. Pourquoi donc, au moins, ne pas tenir compte des perfectionnements que la méthode géométrique, qui peut devenir si souvent intuitive, eut reçus aussi, si elle n'avait pas été abandonnée complètement ?

Un examen attentif des diverses propositions de pure Géométrie, dont il est fait usage dans les Principes de Newton, donnera une idée de ce qu'auraient pu être ces perfectionnements. En effet, on reconnaît que ces propositions, qui paraissent différentes entre elles, et dont chacune a sa démonstration particulière, peuvent pourtant se rattacher toutes à deux ou trois propriétés principales des coniques , dont elles ne sont que des cas particuliers, ou des conséquences faciles. Aujourd'hui donc, un commentaire nouveau des Principes de Newton, fait dans l'esprit et dans les formes de la Géométrie moderne, abrégerait et faciliterait singulièrement la lecture de cet ouvrage immortel.

§ 15. Nous allons voir que les propositions de Newton peuvent dériver,

comme nous venons de le dire^ de deux ou trois seulement des propriétés les plus générales des coniques.

Dans les propositions 19^ 20 et 21 ^ sont résolus tous les problèmes sur la construction d'une conique dont un foyer est donnée et qui doit loucher des droites et passer par des points. Or^ les solutions de toutes ces questions se déduisent aujourd'hui immédiatement des questions analogues sur h cercle assujetti à trois conditions^ soit par la théorie des figures homologiques^ comme Fa montré M. Poncelet^ soit par les transformations polaires^ comme nous Tavons fait. (^Annales de mathématiques, tom. XVIII.)

Les iemmes 17^ 18 et 19 sont la propriété du quadrilatère inscrit aux coniques^ ou théorème ad quatuor lineas des Anciens. Nous avons fait voir que ce théorème se déduit^ avec une extrême facilité^ de la proposition que nous avons appelée propriété anharmonique des points d'une conique; et celle-ci se démontre d'une manière intuitive^ sans qu'il soit besoin de faire usage d'aucune propriété des coniques. {Voir la Note XV.)

Les Iemmes 20 et 21 concernent la génération des coniques par l'intersection de deux droites qui tournent autour de deux pôles fixes.

Dans le premier^ les deux droites mobiles aboutissent respectivement aux points où des transversales^ parallèles entre elles ^ rencontrent deux droites fixes. C'est le théorème que nous avons énoncé en parlant des coniques de De Witt^ et dont nous avons signalé un cas particulier dans un ouvrage de Cavalieri.

Si les transversales^ au lieu d'être parallèles^ concouraient en un point, ce serait dans toute sa généralité le théorème de Mac-Laurin et de Braiken- ^h^y que nous avons cité, comme étant, sous un autre énoncé, le théoi^mede l'hexagone de Pascal, qui se déduit immédiatement, nous l'avons f^t voir (même Note), de la propriété anharmonique des points d'une conique.

Dans le second lemme, les deux droites mobiles sont deux côtés de deux angles de grandeur constante, dont les deux autres côtés se croisent sur une droite fixe. C'est la description organique des coniques , qui a été reproduite

par Newton dans son Enumération des lignes du troisième ordre, et dans son Arithmétique universelle. Nous avons montre (même Note) que ce mode de description y dont les démonstrations qu'on en a données ont toujours été assez longues, se déduit avec une facilité extrême, comme le précédent, de la même propriété anharmonique.

Les lemmes 23, 24 et 2o, et leurs corollaires, sont des cas particuliers de la propriété générale du quadrilatère circonscrit à une conique, analogue à celle du quadrilatère inscrit, et que nous avons appelée projyriété anhar^ monique des tangentes d'une conique. (FoîV la Note XVI.)

Le corollaire 3 du lemme 25 prouve cette belle proposition, démontrée depuis de bien des manières : « dans tout quadrilatère circonscrit à une » conique, la droite qui joint les milieux des deux diagonales passe par le » centre de la courbe. »

Beaucoup d'autres propositions sont des problèmes sur la description des coniques assujetties à cinq conditions, de passer par des points et de toucher des droites. Toutes ces questions se résolvent aujourd'hui, comme l'on sait, avec une grande facilité.

Le lemme 22 sert à changer les figures en d'autres figures du même genre. Dans les propositions suivantes. Newton l'emploie pour transformer des lignes concourantes en des lignes parallèles, et faciliter la solution de quelques problèmes. Nous avons parlé de celte méthode dans notre Iroisième Époque, et nous avons fait voir qu'elle n'est autre qu'une des pratiques de la perspective. Cette remarque nous paraît propre à en faciliter l'intelligence.

§ 16. Dans toutes ces propositions préliminaires, et dans leurs corollaires, Newton a borné ses recherches à ce qui lui était strictement nécessaire pour sa grande entreprise. Mais on voit, par la nature de ces propositions, que s'il eut eu en vue l'accroissement et le perfectionnement de la théorie des coniques, elles l'eussent conduit facilement, par des généralisations naturelles de ses premiers résultats, aux propriétés les plus générales de ces courbes.

Il ne lui aurait point échappé, non plus, que sa méthode pour la transfor-

niation des figures^ s'appliquait Daturellement aux figures à trois dimensions; et^ depuis prés d'un siècle et demi^ nous saurions^ ce que Ton n'a fait que dans ces derniers temps ^ transformer la sphère^ par exemple^ en une surface quelconque du second degré y comme on transforme par la perspective^ depuis Desargues et Pascal^ le cercle en une conique^ pour découvrir et démontrer les propriétés de cette courbe.

Toutes ces généralisations n'entraient point dans le dessein de Newton. Mais elles n'auraient pu échapper aux géomètres qui auraient médité sur la partie purement géométrique du livre des Principes; et cette circonstance prouve combien peu les doctrines géométriques ont été cultivées depuis lors. § !?• C'est dans l'ouvrage de Newton qu'a paru, pour la première fois, la rectification des épicycloïdes. 11 n'avait encore rien été écrit sur ces courbes célèbres, quoiqu'il semble , au rapport de Leibniz, que, dix ans auparavant, Roemer les eût déjà imaginées; et même, d'après La Hire, que la première découverte de ces courbes et de leur usage pour la confectioD des roues dentées, remonte à Desargues, dont le génie, aujourd'hui mieux apprécié, était à la hauteur d'une aussi grande et aussi utile invention. C'est quelques années après que l'ouvrage de Newton avait paru , que La Hire donna son Traité géométrique des Épicycloïdes.

§ 18. Nous citerons encore, du livre des Principes^ les fameuses ovales, imaginées par Descartes pour réunir en un seul point, par la réfraction, les rayons de lumière émanés d'un autre point, comme font l'ellipse et l'hyperbole à l'égard des rayons de lumière parallèles entre eux *, Newton fait voir, d'une manière très-simple, que ces courbes sont le lieu d'un point dont les distances à deux circonférences de cercle sont entre elles dans un rapport constant C'est aussi ce qu'avait montré la construction géométrique ^ces courbes, donnée par Descartes, et ce que Huygens avait conclu imniédiatement , et sans démonstration , de son système ondulatoire , dans son Trmté de la Lumière.

* Celte propriété des coniques, qui repose sur la relation entre le foyer et la directrice, est <ioeaussià Descartes, qui Ta démontrée dans sa Diopiriqiie.

i6i HISTOIRE DE LA GEOMETRIE.

Nous ferons ici^ à ce sujets une obsenation qui se rapporte à la €réométrie de Descartes ^ mais que nous n'avons point trouvé Foecasion de placer plus tôt : la construction géométrique de ses ovales^ qui était suflSsaote pour l'application spéciale que le célèbre philosophe fit de ces courbes à la Dioptrique^ n'était pas propre à les lui faire connaître complétemeot. El ni Roberval^ qui avait donné aussi ^ peu de temps après ^ la constmction de ces ovales et discuté leurs formes^ ni Huygens^ ni Newton^ o^en ont point eu la connaissance complète, sous le point de vue géométrique. En eiïet, une de ces ovales n'est point à elle seule le lieu exprimé par la propriété démontrée par Ne\i1on y ou par Téquation du quatrième degré trouvée par Descartes; mais ce lieu doit toujours être Fensemble de deux ovales conjuguées, inséparables Tune de 1 autre dans leur expression analytique.

G^tte remarque a échappé à Descartes, dans sa Géométrie comme dans sa Dioptrique, ensuite aux célèbres géomètres que nous venons de nommer. Elle pouvait bien être omise dans la Dioptrique, mais elle eut dû, ce me semble, être faite dans la Géométrie. Il est résulté, de son omission, que Tune des formes des courbes en question a échappé à FAnalyse de Descartes: c'est le cas où les deux ovales conjuguées ont un point commun et forment une courbe unique ayant un point double; on trouve que cette courbe est celle qu'on appelle le limaçon de Pascal. Il résulte de là que cette courbe remarquable, qui est tout à la fois, comme Ton sait, une épicycloîde et une conchoïde du cercle, jouit de cette autre propriété, qu'on ne lui avait pas encore reconnue, d'avoir deux foyers, comme les ovales de Descartes.

Dans ces derniers temps, ces ovales ont reparu sur la scène géométrique.

Le célèbre astronome J. Herschel les a appelées lignes aplanétiques ^ à

cause de leur usage en optique. M. Quelelet leur a découvert de singulières

et curieuses propriétés, que nous ferons connaître dans la Note XXI.

MAciAimiN. ^ l*K Mac-Laurin partagea le goût de Ne^lon pour la Géométrie pure,

• SiiHs (tbrrratfon.

et sut rappliquer aussi^ avec la plus grande habileté^ aux recherches philosophiques. Son Traité des Fluxions, où il se proposait^ en établissant le lien et les rapports entre les méthodes d'Archimède et celle de Newton, de démontrer celle-ci avec toute la rigueur de Técole grecque, présente une foule de démonstrations synthétiques, dans des questions diverses de mécanique et de haute Géométrie, où l'Analyse n'eût été ni plus facile, ni plus expéditive. Tout le monde sait avec quelle élégance et quelle facilité il résolut^ par cette voie, la grande question de la fîgure de la Terre, qui suffirait seule pour rendre son nom immortel.

Il fallait connaître l'attraction d'un ellipsoïde de révolution sur des points situés à sa surface ou dans son intérieur. Mac-Laurin sut tirer, de quelques propriétés des coniques, toutes les ressources suffisantes pour la solution de cette question, qui a toujours passé, auprès des plus célèbres analystes, pour t'uQe des plus difficiles. Le jugement porté par l'illustre Lagrange à ce sujet fera mieux apprécier que tout ce que nous pourrions en dire, le mérite du travail et de la méthode de Mac-Laurin. Après avoir dit qu'il est des questions où la méthode géométrique des Anciens a des avantages sur l'Analyse , Lagrange ajoute : <« Le problème où il s'agit de déterminer l'attraction qu'un sphéroïde elliptique exerce sur un point quelconque placé à sa surface ou dans son intérieur, est de cette espèce. M. Maclaurin, qui a le premier résolu ce problème dans son excellente pièce sur le flux et le reflux de la mer, couronnée par l'Académie des sciences de Paris, en 1740, a suivi une méthode purement géométrique, et fondée uniquement sur quelques propriétés de l'ellipse et des sphéroïdes elliptiques; et il faut avouer que cette partie de l'ouvrage de M. Maclaurin est un chef-d'œuvre de Géométrie , qu'on peut comparer à tout ce qu'Archimède nous a laissé de plus beau et de plus ingénieux. Comme M. Maclaurin avait une sorte de prédilection pour la méthode des Anciens, il n'est pas étonnant qu'il l'ait employée dans la solution du problème dont nous venons de parler; mais il l'est extrêmement , ce me semble , qu'un problème aussi important que celui-là n'ait pas été résolu depuis d'une manière directe et analytique,

» surtout dans ces derniers temps où TÀnalyse est devenue d^un usage si » commun et si général. On ne peut^ je crois ^ en attribuer la cause qu^aux » difficultés de calcul que la solution de celte question doit renfermer^ lors-

» qu'on Fenvisage sous un point de vue purement analytique Je me

» propose^ dans ce Mémoire, de faire voir que, loin que le problème dont il » s'agit se refuse à l'Analyse, il peut être résolu par ce moyen d'une manière^ » sinon plus simple, du moins plus directe et plus générale que par la voie » de la synthèse, etc. K »

Cette plus grande généralité consistait à calculer l'attraction dans un ellipsoïde à (rois axes inégaux , au lieu d'un ellipsoïde de révolution, comme avait fait Mac-Laurin. Mais d(\jà d'Alembert s'était proposé cette extension, et l'avait obtenue par de pures considérations de Géométrie ^ en suivant pas à pas la marche tracée par Mac-Laurin ^.

§ 20. Il est une autre partie du travail de Mac-Laurin, dont Lagrange ne |)arle pas encore dans son premier Mémoire que nous venons de citer, et qui conserN ait à la méthode géométrique un véritable avantage sur l'Analyse : (^'élait le fameux théorème des ellipsoïdes dont les sections principales sont décrites des mêmes foyers. Il consiste en ce que les attractions de deux tels ellipsoïdes, sur un même point situé au dehors de leurs surfaces, s'exercent suivantja même direction, et sont proportionnelles aux masses des deux

^ Mémoires de l' Académie de Berlin^ nnn. 1775.

^ Opuscules mathématiques y tom. VI, pag. 165; ami. 1775.

Avant de savoir que d'Alembert, en suivant les traces de Mae-Lauriu, était parvenu, par de pures considérations de Géométrie, à une formule d intégrale simple , pour raltraclion d^un ellipsoïde à trois axes inégaux, sur un point situé n sa surface ou dans son intérieur, nous avions cherché à donner cette même extension à la théorie de Mac-Laurin ; et, en adoptant le mode de décomposition du solide en cônes élémentaires, qui a été employé par Lagrange, nous sommes parvenu, par la Géométrie seule, à la formule de quadrature que l*on obtient en Analyse. Notre procédé consiste à remplacer, par des considérations géométriques, la première intégration que Tonaffectue en Analyse; et cela se fait en remarquant que cette intégration correspond, en Géométrie, à l'évaluation de Taire d'une ellipse, qui est la projection, sur un des trois plans principaux de rcllipsoïde, de rintersection de cette surface par celle d'une cône de révolution autour d\ui axe perpendiculaire a ce plan principal; ce cône ayant même centre que lellip- 80Ïde.

corps. Mac-LauriD D'avail démontré que le cas particulier le plus simple de ce beau théorème^ celui où le point attiré est sur Pun des axes principaux des deux ellipsoïdes (art. 653 du Traite des Fluxions). Alais ce cas particulier présentait d'assez grandes difficultés pour que les efibrls de d'Àlembert y qui y appliquait TAnalyse^ ne conduisissent ce grand géomètre qu'à supposer faux le théorème de Mac-Laurin ^; et pour que Lagrange, qui le démontra quelque temps après ^ bornât sa démonstration au cas particulier en question l D'Alemberl, pour réparer son erreur, en donna aussi trois démonslratious; mais, comme Lagrange, sans aller au delà de Mac-Laurin \ Cest H. Legendre qui, peu de temps après, fît faire un pas à cette question, en démontrant le théorème pour le cas où le point attiré est dans Fun des plans principaux des ellipsoïdes : dès lors il en soupçonna toute la généralité ^, qu'il démontra en effet, quelques années après , dans un Mémoire d'Analyse, qu'on peut regarder comme un chef-d'œuvre de difficulté vaincue ; Mémoire fort beau et très-profond, et qui serait plus riche encore en résultats intéressants, si M. Legendre avait donné la signifîcation géométrique de plusieurs des nombreuses formules par lesquelles il lui faut passer, pour arriver à la conclusion du théorème en question ^

Depuis, on a trouvé diverses autres démonstrations du théorème de M. Legendre , dont une que nous pouvons citer ici, comme rentrant dans la méthode synthétique. Cest celle qui dérive du beau théorème de M. Ivory, par lequel on ramène le calcul de l'attraction sur des points extérieurs, à celui des attractions sur des points intérieurs à l'ellipsoïde. Les différentes démonstrations que l'on a données de ce théorème s'écartent peu de celle même de son célèbre auteur, et l'on y fait usage de quelques transformations de formules analytiques. Il est peut-être à désirer, pour faire entrer ce théo-

* Opuscules mathématiques, loiu. VI , pag. â4!2.

* Mémoires de l'Académie de Berlin, ann. i774 et I77î>.

^ Ofmscules mathématiques, toni. VU, png. 10^; anii. 1780.

* Mémoires des savants étrangers, tom. X.

^ Mémoires de l'Académie des sciences, ann. 1788.

rème dans la théorie géométrique de FatlractioD des ellipsoïdes^ à laquelle il appartient par sa nature^ d'en avoir une démonstration plus synthétique que les premières, c'est-à-dire, tout à fait indépendante des formules de FAnalyse.

La question de Fattraction des ellipsoïdes, restreinte au simple calcul de cette attraction , est maintenant résolue aussi complètement que le permet* tént les bornes de l'Analyse, puisqu'elle se réduit à une formule de quadratures elliptiques, qu'on ne sait pas intégrer en termes finis. Mais cette grande question, envisagée sous d'autres points de vue, est loin d'être épuisée, et donnera lieu encore certainement à bien des recherches et à de belles découvertes K Les travaux tout récents de deux célèbres analystes de France et de Koenigsberg, MM. Poisson et Jacobi, sont une preuve qu'il restait encore beaucoup à faire, et appelleront de nouvelles méditations sur cette matière d'un si haut intérêt.

§ 21. Le problème de l'altraction des ellipsoïdes, considéré indépendamment de son application à plusieurs questions de la philosophie naturelle^

* Par exemple, quoi quon ne suche pas déterminer d'une manière absolue, ni en grandeur ni en direction, l'aitmction d'un ellipsoïde sur différens points, ne pourrait-on pas trouver certains rapports entre ces attractions, ou entre leurs directions?

Mais, sans imaginer de nouvelles questions, qui se présenteraient en foule h l'esprit , il en est une qui, ce me semble, s est offerte d'elle-même, et dont il ne parait pas qu'aucun des géomètres qui ont écrit sur cette matière, se soit occupé. On sait que la formule relative à l'attraction sur un point extérieur contient un coefficient, qui n'est pas connu a priori, mais qui dépend d'une équation du troisième degré, parfaitement déterminée; l'expression géométrique de ce coefllicient est connue; c'est un des axes principaux de Tellipsoïde qui passe par le point attiré, et qui a ses sections principales décrites des mêmes foyers que celles de Tellipsoîde attirant. Mais cette équation du troisième degré est un fait d'Analyse, que l'on ne pouvait prévoir a /iriort d'après la nature de la question, et que Ton n'a point encore expliqué. H annonce que le problème de l'attraction d'un ellipsoïde dérive d'une autre question, d'un énoncé plus général, et qui admet généralement trois solutions. Dans deux de ces solutions, les deux hyperboloîdes è une et à deux nappes, que l'on peut faire passer par le point attiré, de manière que leurs sections principales soient décrites des mêmes foyers que celles de l'ellipsoïde donné, feront la même fonction que l'ellipsoïde qui passe par ce point fait h l'égard de la première solution qui résout la question même de l'attraction.

il n'est pas rare de rencontrer de pareils faits d'Analyse; mais il est toujours intéressant d'en savoir l'origine et la sigiiifi cation. Alors seulement une question peut être i*egardée comme résolue complètement.

appartient à la Géométrie^ et la solution qu'en a donnée Mac-Laurin est Fun des morceaux les plus propres à ranimer le goût et rintelligence de cette Géométrie pure et intuitive^ si méconnue depuis bientôt un siècle. Nous espérons que , par cette raison , on nous pardonnera d'élre entré à ce sujet dans quelques détails^ qui nous ont éloigné de la direction que nous aurions dû suivre dans Fexamen des travaux géométriques de Mac-Laurin : ce sera rentrer dans cette direction que d'indiquer maintenant sur quelles propriétés des coniques ce géomètre avait établi sa solution.

Une seule suffit pour le calcul de Fattraction sur des points situés à la surface^ ou dans Fintérieur de Fellipsoïde^ la voici :

« Etant données deux ellipses semblables^ semblablement placées et » concentriques; par un des sommets de la plus petite^ on lui mène sa tan- » gente^ qui rencontre Fautre ellipse en deux points;

» Par Fun de ces points^ on mène^ dans cette seconde ellipse^ deux » cordes quelconques^ mais également inclinées sur la tangente en question ;

» Par le sommet de la première ellipse, on mène, dans cette courbe, deux » cordes parallèles à celles de Fautre ellipse;

» La somme de ces deux cordes est égale à celle des deux autres cordes. »

Mac-Laurin démontre ce théorème dans le cercle, par la Géométrie élémentaire; et ensuite, en projetant les deux ellipses sur un plan parallèle à la tangente en question , et convenablement incliné pour que les ellipses deviennent en projection des cercles, il en conclut le théorème énoncé ^

§22. Le calcul de Fattraction sur les points extérieurs à Fellipsoïde, n'était pas aussi facile; Mac-Laurin se servit, pour y parvenir, des deux propositions suivantes, dont il n'énonça que la première, mais dont on aperçoit la seconde dans le cours de la démonstration de cette première :

* Ccsl le seul théorème qui servit à Mac-Lauriii pour dcmonlrer celte importante proposition,admise sans preuve par Newton, savoir qu'une masse fluide homogène, tournant autour idle-méme , devait prendre la figure dun ellipsoïde de révolution , datis l'hypothèse de Vat- ^futtion en raison inverse du carré des distances. Et celle voie parut si belle à Clairault , qu'il •Iwndonna, dans sa Théorie de la figure de la Terre, sa méthode analytique, pour suivre celle <klla^Laurin.

« l"" Quand deux ellipses sont décrites des mêmes foyers^ si^ par un » points pris sur un de leurs axes principaux^ on mène deux transversales^ » de manière que les cosinus des angles qu'elles feront avec Fautre axe » soient proportionnels respectivement aux diamètres des deux coniques, » dirigés suivant cet axe^ les parties des deux transversales^ comprises entre » les deux courbes respectivement^ seront proportionnelles aux diamètres » dirigés suivant leur premier axe.

» 2** Quand deux ellipses sont décrites des mêmes foyers, si Ton » mène deux diamètres quelconques^ aboutissant à deux points corres- » pondants des deux courbes, la différence de leurs carrés sera con- » stante. »

Nous appelons points correspondants, ceux dont les distances à chacun des axes principaux sont proportionnelles aux diamètres des deux ellipses, perpendiculaires à ces axes respectivement.

La première de ces deux propositions suffit à Mac-Laurin pour démontrer que les attractions exercées par deux ellipsoïdes de révolution, décrits des mêmes foyers, sur un même point pris sur le prolongement de Taxe de révolution, sont entre elles comme les masses des deux corps. De là, il conclut, au moyen de la seconde proposition, que ce théorème a lieu aussi à regard des points situés sur le plan de Téquateur des deux sphéroïdes, au dehors de leurs surfaces. Ensuite, il observe que sa démonstration de ce second théorème s'applique aux ellipsoïdes à trois axes inégaux, dont les sections principales sont décrites des mêmes foyers, quand le point attiré est sur le prolongement d'un de leurs axes; d'où résulte le célèbre théorème dont nous avons parlé.

D'Alembert, et ensuite Lagrange et Legendre, avaient pensé que Mac-Laurin n'avait fait qu'énoncer son théorème, sans en donner la démonstration; c'était une erreur de la part de ces trois illustres géomètres, car cette démonstration est identiquement la même que celle du cas qui avait précédé, et Tauteur dès lors devait se borner, comme il a fait, à ces seuls mots : l'on prouvera de la même manière, etc. ; et ne pas répéter des raisonnements

qu'il venait de faire quelques lignes plus haut, et auxquels il n'y avait à changer, ni ajouter ou retrancher aucun mot K

§ 23. Les deux propriétés des ellipses décrites des mêmes foyers, que nous avons énoncées ci-dessus, sont dues à Mac-Laurin; ce sont probablement les premières que Ton ait données sur les coniques biconfocales ; de même que son théorème sur Fattraction des ellipsoïdes dont les sections principales sont décrites des mêmes foyers, offre la première circonstance où il ait été question de deux tels ellipsoïdes. Ces surfaces se sont présentées^ depuis quelques années, dans d'autres questions particulières; et elles nous paraissent devoir jouer désormais un rôle important dans la théorie gëoérale des surfaces du second degré. Elles jouissent d'un grand nombre de

* La méprise des trois grands géomètres que je viens de nommer n'a peut-être pas été aperçue, quoiqu'on se soit tant occupé, depuis, de la question de l'attraction des ellipsoïdes. Je n'en fais la remarque ici, que parce qu'elle nous offre une preuve bien certaine de l'abandon où est tombée la Géométrie, dans la seconde moitié du siècle dernier, et du peu de justice qu'il y aurait •ujourd*hui à l'accuser d'impuissance, puisque, loin de la soumettre à de nouveaux essais, on n'a pas même approfondi la nature et l'esprit des belles méthodes qui ont conduit Newton et Nac-Laurio à leurs grandes découvertes. On a préféré, au contraire, après avoir traduit ces méthodes en Analyse, faire honneur à celle-ci des grands travaux de Newton, que ce philosophe aurait revêtus ensuite de la forme géométrique. Supposition gratuite, qui montre qu'on méconnaît le caractère de fécondité de la Géométrie, et la facilité extrême de ses déductions natufclies, et souvent même intuitives, dans les questions où elle peut avoir un premier accès. Mais sans entrer en discussion sur la nature et les moyens de cette méthode, qui demanderait un défenseur habile, il nous suffît de rappeler que, pour attribuer h la méthode analytique les ouvertes de Newton, on est obligé de convenir que ce géomètre, en suivant cette voie, aurait bit usage du calcul des variations, dont l'invention est due à l'illustre Lngrange. Est-il possible ^i'admettre que le grand Newton, d'un esprit si réfléchi et d'une vue si sûre et si étendue, aurait oéconnu assez le caractère et l'immense importance d'une telle découverte, pour la passer sous silence, et dédaigner de s'en servir ensuite dans la lutte si pénible et si passionnée qu'il soutint <^tre Leibniz? Autant valait qu'il ne produisit pas même son Calcul des fluxions. Au reste, en aUribuanl à l'Analyse les découvertes de Newton, on devrait, pour être conséquent et pouvoir en conclure rimpuissanCe de la méthode géométrique, en dire autant des travaux de Mac-Laurin, <I^Stewart, et même de la célèbre formule de Lambert, proclamée par Lagrange lui-même la pins belle et la plus importante découverte de toute la théorie des comètes, quoiqu'elle ait dû le

jour à de simples considérations de Géométrie.

laissons donc à la Géométrie se^ œuvres. L'Analyse n doj^ d assez brillants trophées , elle est •SSCI riche d'avenir, pour applaudir franchement aux anciens succès de sa sœur aînée.

propriétés qui n'ont point encore été remarquées^ et dont nous parlerons dans une des Notes relatives à notre cinquième Époque.

§ 24. Cest en considérant l'ellipse comme section oblique d^un cylindre à base circulaire ^ que Mac-Laurin démontre les propriétés de cette courbe , en les faisant dériver de celles du cercle. Il ne s'est pas borné aux propositions que nous avons citées; mais^ ayant trouvé cette méthode fort expéditive^ il voulut la pousser plus loin que n'avait fait le marquis de Lhospital, qui l'avait déjà enseignée à la suite de son Traité analytique des Sections coniques (liv. VI). En quelques pages seulement^ Mac-Laurin démontra, avec une simplicité extrême, les principales propriétés de l'ellipse. On y remarque une démonstration naturelle, et qui surpasse en brièveté celles de Newton, pour le problème des forces centrales dans l'ellipse, le point attirant étant placé d'une manière quelconque dans le plan de la courbe : on y voit immédiatement que l'attraction est en raison directe de la distance, quand le point attirant est au centre de l'ellipse; et en raison inverse du carré de cette distance, quand le point attii*ant est au foyer de la courbe.

Le Traité des Fluxions, de Mac-Laurin, pourrait donner lieu à beaucoup d'autres remarques concernant l'histoire et les progrès de la Géométrie; mais nous avons déjà dépassé les limites que nous prescrivait la destination de cet écrit ; nous arrêterons donc ici notre aperçu sur les travaux de ce grand géomètre.

R. siMsoN, § 25. Robert Simson, que nous avons déjà eu plusieurs fois l'occasion

de citer, est l'un des géomètres du siècle dernier qui ont le plus approfondi la Géométrie ancienne, et qui ont le plus contribué à en répandre la connaissance. On lui doit un Traité des Sections coniques en cinq livres , écrit dans le style rigoureux d'Apollonius , que l'on commençait à abandonner pour suivre exclusivement la méthode analytique. Cet ouvrage était le premier qui contînt les deux célèbres théorèmes de Desargues et de Pascal. On y trouve aussi le théorème ad quatuor lineas ; mais celui-ci avait déjà paru dans un Traité des Coniques de Milnes ^, qui l'avait emprunté des Principes de Newton.

' Seclionvt» conicaruin elenienta nova methodo demonstrata ; Oxonii, i70â. Cet ouvrage,

Cette circonstance^ que Touvrage de Simson contenait les trois théorèmes principaux que nous venons de eiter^ était la seule qui pût lui donner quelque avantage sur le grand Traité de La Hire ; car^ sous le rapport de la méthode^ celui-ci nous parait^ à plusieurs égards^ infiniment supérieur; il avait été un perfectionnement notable de la méthode des Anciens^ et celui de Simson faisait sous ce rapport un pas rétrograde.

En effets Simson^ à Tinstar de La Hire dans son petit Traité de 1679^ et du marquis de Lhospital ensuite^ considère les coniques sur le plan^ en les définissant^ chacune^ par une propriété spécifique et particulière. Pour la parabole^ c'est Tégalité des distances de chaque point de la courbe au foyer et à la directrice; pour Tellipse^ c'est la somme constante^ et pour Thyperbole^ la différence constante des distances de chaque point de la courbe aux deux foyers. De ces modes de description des trois courbes, Simson déduit les propriétés principales de chacune d'elles, et montre ensuite que ces courbes soQt les mêmes que celles qu'Apollonius formait dans le cône oblique, en se servant du triangle par l'axe.

Ce n'est qu'après avoir traité ainsi en particulier des trois sections coniques, dans les trois premiers livres de son ouvrage, que Simson les considère, dans les deux livres suivants, toutes trois ensemble, d'une manière générale, et démontre un grand nombre de leurs propriétés communes.

Le théorème ad quatuor lineas est la vingt -huitième proposition du livre 4; Thexagramme de Pascal est la quarante-septième du livre 5; et le

imilédo grand Traité de La Hire, coiumc Taiitour Tavouc dans sa préface, eut un grand succès ft plusieurs éditions. On considérait les coniques comme sections d'un c^ne à base circulaire, psr un plan tout à fait arbitraire, sans se servir du triangle par Taxe. Mais la métliode nous y panit moins heureuse que celle de La Hire, en ce quVIle consiste à démontrer d'abord en Particulier certaines propriétés de l'hyperbole, qui servent de fondement pour passer h celles <>el'(41ipse.

Les démonstrations, du reste, sont purement synthétiques, et d'une grande simplicité; quoique Itt proportions , sans cesse répétées, sous la forme ancienne, qu'il serait plus commode et plus ntionnel de remplacer par celle d'une égalité de rapports, en rendent aujourd'hui la lecture

Ihéorème de Desargues est démontré dans les propositions 12 et 49 du même livre. Simson n'a pas connu les rapports intimes qui lient ces trois théorèmes entre eux, et qui n'en font, pour ainsi dire, que des expressions diiïérentes d'une seule et unique propriété générale des coniques; mais il a su apercevoir toute la fécondité des deux derniers, car il a fait voir que toute la théorie des pôles se déduit de l'un ; et après avoir tiré de l'autre six corollaires, il ajoute qu'ils contiennent des démonstrations générales de plusieurs propositions du premier livre des Principes de Newton,

Il est à regretter que Simson n'ait pas mis à profit cet aperçu heureux , pour comprendre, sous un seul énoncé général, et dans une seule démonstration, une foule de propositions partielles et restreintes, dont il avait donné auparavant autant de démonstrations diiïérentes. C'était la seule manière de simplifier la théorie des coniques, d'en faciliter et d'en étendre la connaissance et les usages, et de lui préparer de nouvelles acquisitions.

§ 26. Nous ne ferons que mentionner ici le célèbre Traité des Porismes, où Simson a fait connaître la nature de ces propositions, qui avaient été jusqu'à lui une énigme indéchiffrable pour les plus savants géomètres : nous en avons parlé longuement à l'article d'EucIide et dans la Note Ilf.

La Section déterminée, rétablie par Simson, fait partie du même volume que les Porismes.

Ce géomètre a aussi rétabli les Lieux plans d'Apollonius *, avec plus d'exactitude et de fidélité que n'avaient fait Schooten et Fermât.

11 avait préparé une traduction nouvelle des Œuvres de Pappus, qu'on a trouvée dans ses manuscrits, qu'il avait légués au collège de Glascow : il est à regretter qu'elle n'ait pas été publiée; car c'était une entreprise moins facile qu'on n'a peut-être pensé alors, et qui exigeait une profonde instruction dans la Géométrie ancienne. Personne n'était plus capable que le savant Simson de remplir cette tâche avec intelligence et habileté. On doit s'étonner que ses compatriotes n'aient pas recueilli un tel travail; et qu'en cette cir-

* ApoUonii Pergœi locorum planorum, libri II rcstituli} in-4". Glosguœ, i749.

constance^ le noble exemple de Milord Stanhop^ à qui fut due la publication des Porisines et de la Section déterminée, n'ait pas eu d'imitateur dans la pairie de Newton, où la Géométrie ancienne a toujours compté de dignes et célèbres admirateurs.

§ 27. Matthieu Stewart, disciple de Simson et de Mac-Laurin au collège de m. stewart, Glascow, puis à l'Université d'Edimbourg^ reçut de ses maitres le goût de la Géométrie ancienne , et lui dut, comme eux, sa célébrité. Le premier de ses ouvrages, intitulé : Quelques théorèmes généraux, cTun grand usage dam les hautes mathématiques (écrit en anglais), in-8°, 1746, le plaça aussitôt dans un rang distingué parmi les géomètres; et lui procura, peu de temps après, la chaire de mathématiques devenue vacante par la mort de Mac-Laurin. La nature de ses fonctions et la direction de ses premières études le portèrent à continuer de cultiver particulièrement la méthode géométrique, et lui firent concevoir le projet de l'appliquer aux questions les plus difficiles de l'astronomie physique, agitées alors parmi les géomètres, et qui, suivant eux , u'étaient accessibles qu'à la plus sublime Analyse. C'était continuer les méthodes de Newton et de Mac-Laurin, dans les problèmes du système du monde, devenus, par les progrès naturels de la science, plus nombreux et plus compliqués qu'au temps de ces deux grands géomètres. Dans cette vue, Stewart mit au jour, en 1761, l'ouvrage intitulé : Tracts physical and mathematical , etc., c'est-à-dire : « Traités de physique et de mathéma- » tiques, contenant l'explication de plusieurs points importants de l'astrono- » mie physique , et une nouvelle méthode pour déterminer la distance du » Soleil à la Terre, par la théorie de la gravité. » Une théorie très-étendue des forces centripètes, le calcul de la distance du Soleil à la Terre, et le problème si difficile des trois corps, où il s'agissait de calculer l'action réciproque du Soleil, de la Terre et de la Lune, étaient les questions principales que Stewart résolut dans une suite de propositions qui n'exigeaient d^autres connaissances mathématiques que celles des éléments de la Géométrie plane et des sections coniques. L'ordre et la clarté de ces propositions, la simplicité de leurs démonstrations, et la nature des questions difficiles

i74 HISTOIRE DE LA GEOMETRIE.

qu'elles résolvaient^ méritèrent à Stewart de grands éloges^ et le firent estimer Tun des plus profonds géomètres de Tépoque, Cependant^ nous devons dire que son calcul de la distance du Soleil à la Terre était erroné. La cause de Terreur fut reconnue et expliquée d'abord par Dawsoo eo 1769 ^y puis en 1771^ par Landen ^. Elle provenait^ non de la méthode en elle-même^ mais de quelques quantités négligées à tort^ dans le but de la simplifier. On a faii depuis ^ de cette circonstance^ un argument contre la méthode géométrique; mais il suffit^ pour le réfuter^ de rappeler que de telles fautes ont échappé aux plus célèbres analystes^ et qu'elles ont été communes en astronomie surtout^ où l'Analyse ne procède que par voie d'approximations successives.

§ 28. Nous avons encore à citer de Stewart un ouvrage de pure Géométrie, intitulé : PropoSitiones geometricœ, more Veterum denionstratœ, ad Geometriam antiquam illustramlam et promovmdam idoneœ. Ëdim.^ 1763, in-8°.

Il nous faut entrer dans quelques détails, pour faire connaître cet ouvrage, ainsi que celui des Théorèmes généraux, qui l'avait précédé de dix-neuf ans. Peut-être, à raison de la rareté de ces deux livres, aimera-t-on à en trouver ici l'analyse, ainsi que l'énoncé des principaux théorèmes qu'ils contiennent

Le livre des Théorèmes généraux contient soixante-quatre propositions , dont cinquante seulement ont le titre de théorèmes; des quatorze autres, trois sont au commencement de l'ouvrage , et servent pour les démonstrations des théorèmes, et les onze autres le terminent; celles-ci sont, pour la plupart, des propriétés du cercle.

Des soixante- quatre propositions, les huit premières seulement sont démontrées; on y trouve les cinq premiers théorèmes. L'auteur annonce, dans une courte préface, que, pour démontrer tant de théorèmes si généraux ,

* Four Propositions , etc, c'est -à-dirc, Quatre propositions pour prouver que la distance du Soleil, déterminée pnr M. Stewart, est erronée.

* Animadversions on d' Stewarts compu talion of the stm's distance from the earth; îii-8\ London.

et de si grande difficulté^ il lui aurait fallu plus de temps qu'il ne pouvait en consacrer à ce travail. Je ne sais si y dans la suite^ Stewart a restitué les démonstrations de ses théorèmes ^ ou si on les a trouvées dans ses papiers^ et quel usage on en a fait.

Les deux premières propositions expriment des propriétés générales de quatre points^ dont trois sont en ligne droite^ et le quatrième placé arbitrairement. Dans la seconde de ces propositions^ le quatrième point peut être pris sur la droite où sont situés les trois autres. Cette proposition mériterait d'être plus connue qu'elle ne nous parait Fôtre. En voici Ténoncé :

Etant pris en ligne droite trois points A, C, R, et U7i autre point quelcofique D, eti dehors ou dans la direction de la droite, on aura

dâ'.bc-*- db'.ac — dc'ab = ab.ac.bc.

Cest cette proposition dont nous avons dit que les huit lemmes de Pappus sur les LieUrX plans d'Apollonius peuvent dériver comme corollaires ou conséquences faciles. Peu de temps après qu'elle avait paru dans l'ouvrage de Stewart^ Robert Simson en a fait un usage utile dans un appendice à ses Loca plana restituta, et un autre géomètre célèbre, Th. Simpson, l'a aussi démontrée et s'en est servi, sous le titre de lemme, pour résoudre plusieurs problèmes, dans ses Exercices choisis pour les jeunes étudiants en mathématiques ^ Plus tard, Euler l'a aussi démontrée comme lemme, pour inscrire à un cercle un triangle dont les trois côtés passent par trois points donnés ^. Nous trouvons enûn que le célèbre physicien et géomètre John Leslie l'a aussi démontrée, et s'en est servi dans le troisième livre de son Analyse géométrique '.

* Select exercises for young proficients in the mathematicks ; in-8% i752.

Les deux premières parties de cet ouvrage sont un recueil de nombreux problèmes d'Algèbre et de Géométrie, résolus très-élégamment. Elles ont été traduites en français, sous le titre d'Élé" menU d'analyse pratique , ou application des principes Je l'Algèbre et de la Géométrie à la solution d'un très-grand nombre de problèmes numériques et géométriques; in-8", 1771.

' Mémoires de l'Académie de Pétersbourg^ ann. 1780.

> Geometrieal analysis, Edinburgh, 1809; in-8^ Seconde édition en 1821

Par ces citations on voit que cette proposition^ à peu près inconnue de nos jours ^ mériterait bien de prendre place dans les éléments ou au moins dans les compléments de la Géométrie K

Les cinquante théorèmes de Stewart peuvent être compris^ à peu près tous^ dans les quatre suivants^ qui sont les plus généraux^ et dont la plupart des autres ne sont que des cas particuliers :

* Quand le point D est pris sur la mcmc droite que les trois points fixes , le théorème de Stewart exprime une relation générale entre quatre points quelconques situés en ligne droite. Nous avons reconnu que cette relation, ainsi que d'autres concernant aussi quatre points en ligne droite, dérivent d une relation générale entre cinq points situés en ligne droite.

Soient A, B, C, D, E, ces cinq points, on aura :

Eâ'.bc.cd.db-+-EB'.cd.da.ac- Ec*.da.ab.bd-êd'.ab.bc.ca = o.

La manière de former les termes de cette équation est manifeste. Pour déterminer leurs signes, on divisera tous les termes par le produit ÂB.BC.CA. L'équation prend la forme :

— t DB.DG t DA.DC • DA.DB ^t

EA. hKB. EC. =ED.