AB'.BC'.CA ==AC'.CB'.BA

ou AB'.BC.C'A' = AC.C'B'.BA',

ou AB.B'C'.CA' = AC'.CB.B'A',

^ ou AB.B'C.C'A' = AC.C'B.B'A'.

Ainsi, chacun de ces quatre équations (B) exprime Yinvolution des six points, et suffit pour que les trois autres aient lieu.

(6) Les équations (B), se déduisent facilement des équations (A), par voie de multipli-

cation; et, réciproquement , celles-ci se déduisent, aussi aisément, des équations (B). Mais puisque chacune des sept équations constitue, à elle seule, Finvolution de six points , il faut que d'une quelconque on puisse aussi déduire celles du même groupe; c*est-à-dire d'une des trois équations (A) les deux autres, et d'une des équations (B) les trois autres. C'est en elTet ce que l'on peut faire par le calcul, en transformant les différents segments de l'équation proposée en d'autres qui se prêtent à la démonstration cherchée. Mais cette sorte de vérification a posteriori est longue, exige des tâtonnements, et n'a rien d'élégant.

Aussi l'on se sert , pour montrer que l'une des sept équations (A) et (B) comporte les six autres, de cette propriété géométrique des six points : on peut faire passer, par ces six points, les quatre cotés et les deux diagonales d'un quadrilatère. C'est ainsi qu'ont fait MM. Brianchon et Poncelel.

Mais nous avons trouvé que la notion du rapport anharmonique de quatre points procure une démonstration encore plus simple et plus directe, et conduit à beaucoup d'autres relations qui auront, comme les équations (A) et (B), leur degré d'utilité. Nous traiterons de cet objet dans la seconde partie de celte Note.

(7) Les équations (A), entre huit segments, sont faciles à former. La nature des relations (B), dans chacune desquelles n'entrent que six segments, ne parait pas aussi facile, au premier abord, à saisir ni à exprimer. Mais cependant voici une règle que, croyons-nous, l'on pourra retenir sans efforts de mémoire.

Qu'on prenne trois points A, B, C, appartenant aux trois couples; chacun d'eux fera deux segments avec les conjugués des deux autres; on aura ainsi six segments : le produit de trois de ces segments, qui n'ont pas d'extrémité commune, est égal au produit des trois autres.

(8) Considérons un quatrième système de deux points conjugués D, D^ et supposons que ces points forment une involution avec les quatre points A, A' et B, B'; on aura l'équation