ORIGINE ET DÉVELOPPEMENT DES POLYGONES ÉTOILES
Boèce, dans le premier livre de sa Géométrie, qui est une traduction de propositions prises des quatre premiers livres d'Euclide, ne donne, pour chaque théorème ou problème, que son énoncé et la figure qui s'y rapporte.
Sa dernière proposition prise d'Euclide est le problème d'inscrire, à un cercle, un pen-
* Voir le Mémoire de M. Delambre , sur rArithmétiqne des Grecs.
Du reste, on ne doit peut-être pas sëtonner de trouver dans Boëee cette figure; car U parait, comme nous allons le montrer ci-dessous, qu'elle a été connue dans FAntiquité, particulièrement de Pythagore; de plus, on la retrouve, au XIIP siècle, dans le coaimentairc de Campanus sur Euclidc; et pendant trois ou quatre cents ans, la théorie des polygones étoiles, qu'on appelait alors polygones égrédiensy a été cultivée et avait même pris de Texiension. Mais ceUe théorie, depuis, s'est perdue et est restée ignorée, parce que, sans le concours de l'Analyse algébrique, elle n'offrait qu'un intérêt de curiosité et n'apportait aucune utilité réelle en Géométrie. Mais l'illustre géomètre qui l'a créée de nouveau, nu commencement de ce siècle, et dont elle porte le nom, lui a donné une importance qu'elle ne peut plus perdre, en montrant son véritable caractère scientifique, et le lien analytique qui l'unit nécessairement, et d'une manière indissoluble, aux polygones anciens *. Néanmoins celte théorie peut faire honneur au Moyen âge, où l'on a si rarement l'occasion de signaler quelques traces de génie, et quelques germes d'innovations fécondes. C'est pourquoi nous allons rapporter ce que nous avons trouvé, à ce sujet, dans l'histoire d'une époque dont il nous reste de trop rares documents.
Mais disons d'abord sur quelle autorité nous avons avancé que le pentagone étoile avait été considéré dans l'Antiquité, particulièrement par Pythagore.
Nous trouvons, dans V Encyclopédie d'Àlstedius *, au 15" livre, qui traite de la Géométrie, immédiatement après la construction du pentagone régulier ordinaire, le passage suivant :
« Pentagonum etiam ita scribitur^ et à superstitiosis nolatur hocnomine iesus. » (Ici se trouve figuré le pentagone étoile, avec les lettres i, e, s, w, «, placées à ses cinq sommets.)
« 5î pentagono ita consiructo addas lineam ex svperiori angulo in oppositum ang^i-^ » lum ductam, fiel illa figura, quam vacant sanitatem Pythagorae; quia Pythagorasy » hac figura delectatus, adscribebat singulis prominentibus angulis has quinqtie litteras » ^i 7> '> 6, a. Germani vocant ein Trudenfus : quia sacerdotes veteres Germanorum ei » Gallonim vocabantur Druidœ : qui dicuntur calacos (peut-être calceos) hujus figurœ » gestasse, »
Kircher, dans son Arilhmologia ^ (pars V, De Magicis amuletis), parle, dans le même sens , du pentagone étoile, qu'il appelle penthalpha, parce que deux côtés contigus forment» avec un autre côté qui les coupe, la lettre A. Il désigne ses sommets par les lettres^, y,£,9, a. Voici le passage de cet auteur : « In quibus (sigillis magicis) nil frequenlius occurrii, » quàm pentalpha et hexulpha; est autem pmtalpha nil aliud, quàm linearis figura in » quinque A diductum, quibus Grœci uyiOa^ id est salutem et sanitatem exprimebant; quo
» Voir article 1 5 du Mémoire sur les polygones et les polyèdres ; par M. Poinsol. (Journal de t École poty/echnique ; X* CMer, i IV.)
* Encyclopœdia universa. Herhons, 1620, in-4«. — hem secunda aucta, ibid., 1630, iii-fol., 2 vol. — Item LuKduni, 1649,in-fol., 2 vol.
3 Arithmologiat sive de abditis numerorum mysteriis, quâ origo, antiquitas , el fabrica numerorum expo^ nitur, elc. Romse, 1665, in-4».
wardin, qui, le premier, a étendu la théorie du pentagone étoile aux polygones d'un plus grand nombre de côtés, et qui a fondé la véritable doctrine des polygones étoiles.
L'ouvrage dans lequel nous la trouvons, a pour titre : Geometria spectêlativa Thome Bravardini, recoligcns omnes conclusiones geometricas studentibus artiunij et philosophiœ AristoteliSy valde necessarias^ siinul cum quodam tractatu de quadrature circuit; noviter editio. Parisiis, apud Reginaldum Chauldiere, in-fol., vingt feuilles, sans date. La première édition de cette Géométrie était de 1496 ' ; plusieurs autres ont paru en 1505, 1508, etc. ^. Nous ne connaissons que celle que nous venons de citer.
Après avoir traité des polygones réguliers ordinaires, qu'il appelle figures simples, Bradwardin consacre un chapitre aux polygones étoilésy qu'il nomme figures à angles égrédients. Il dit que ces polf/gones sont formés par le prolongement des cotés d'un polygone simple^ jusqu'à leur rencontre deux à deux; et il ajoute qu'il n'a pas vu qu'il ait été parlé de ces nouvelles figures par d'autres géomètres que par Campanus , qui en a traité en peu de mots et accidentellement.
Voici l'analyse de cette partie de l'ouvrage de Bradwardin.
Le pentagone est la première figure à angles égrédients. La somme de ses angles est égale à deux droits. La somme des angles des autres polygones à angles égrédients va en augmentant de deux droits, comme dans l'ordre des figures simples.
Cela s'accorde avec la formule S = 2 (m — 4) , qui donne la somme des angles du polygone égrédient, de m côtés.
Les polygones égrédients du premier ordre donnent lieu , par le prolongement de leurs côtés jusqu'à leur rencontre deux à deux, aux polygones égrédients du second ordre; comme les polygones simples ont formé les polygones égrédients du premier ordre.
L'heptagone est la première figure h angles égrédients, du second ordre; il provient de l'heptagone à angles égrédients du premier ordre; celui-ci est la troisième figure du premier ordre.
Pareillement le pentagone égrédient, première figure du premier ordre , avait été formé du pentagone simple, troisième figure de l'ordre des polygones simples. Cette analogie conduit Bradwardin à énoncer ce principe général : la première figure d'un ordre est formée par le prolongement des cotés de la troisième figure de l'ordre précédent.
Enfin l'auteur termine en disant qu'il serait trop long de parler des angles de ces figures; mais qu'il croit, sans pouvoir l'assurer, que la première figure de chaque ordre a la somme de ses angles égale à deux droits, et que , dans les autres figures , cette somme va en augmentant toujours de deux droits, en passant d'une figure à la figure suivante.
Les figures, représentées en marge de l'ouvrage, sont le pentagone, l'hexagone, l'heptagone et l'octogone du premier ordre; l'heptagone, l'octogone et le nonagone du second ordre, et enfin le nonagone, le décagone et le dodécagone du troisième ordre.
Ueux siècles après Bradwardin, Charles de Bouvelles, dont on ne cite ordinairement (|u'une prétendue solution de la quadrature du cercle, a reproduit, dans diverses éditions
* Hollbrunner» Hisloria Matheseos^ p, 5^.
* Moutuda , Histoire dê$ Mathématiques, 1. 1*', p. 573.
d^uri Traité de Géométrie S la théorie des polygones égrédienîs; mais moins complètement que n*avait fait Bradwardin. On trouve, dans son ouvrage : le pentagone égrédient, quil a appelé aussi saillant, et dont il prouve que la somme des cinq angles est égale à deux droits ; rhexagone égrédient, composé de deux triangles; l'heptagone égrédient, provenant du prolongement des côtés de Theplagone ordinaire; Theptagone plus égrédient, formé parle prolongement des côtés de Theptagone égrédient, et dans lequel lauteur prouve que la somme des angles est égale à deux droits.
On a fait mention de cette théorie dans l'extrait de la Géométrie de Bouvelles, inséré dans les Appendices de la Margarita philosophica ^.
Ces premières notions sur la théorie des polygones étoiles ont passé inaperçues dans les nombreuses éditions de cet ouvrage, comme dans celles de la Géométrie de Bouvelles, dont on n*a parlé qu*au sujet et sous Tinspiration d*une fausse solution de l'inscription de Fheptagone régulier au cercle, et d'une prétendue quadrature du cercle, empruntée du cardinal Nicolas De Cusa.
On trouve, dans les figures de la Perspective de Daniel Barbaro', le pentagone, Thexa- ^ne et les deux heptagones étoiles. Mais il ne parait pas que Tauleur ait eu Fintention de produire ces nouveaux polygones; il a voulu seulement montrer que les polygones réguliers ordinaires donnent lieu, de deux manières, à d'autres polygones qui leur sont semblables. MoB première est de prolonger leurs côtés jusqu'à leur rencontre deux à deux (comme pour former le polygone de seconde espèce) : les points de rencontre sont les sommets d'un second polygone , semblable au proposé. La seconde manière est de tirer toutes les diagonales allant de chaque sommet au deuxième ou au troisième sommet après lui; elles forment) par leurs intersections, un autre polygone, semblable aussi au proposé. Mais, dans oes deux modes de construction, on forme aussi un polygone étoile, qui se trouve être la partie la plus remarquable de la figure.
Kircher, que nous avons cilé déjà ci-dessus au sujet du pentalpha et de Vhexalpha, a f4Bit usage, dans un autre ouvrage^, de l'heptagone du second ordre (ou troisième espèce) |:x>ur rendre sensible l'explication comprise dans un passage remarquable de Dion Cassius, ^ti sujet des sept jours de la semaine, que les Egyptiens ont consacrés aux dieux dont les 3«pt planètes portaient le nom. Ces planètes étai(*nt, dans l'ordre de leurs distances à la erre : Saturne, Jupiter, Mars, le Soleil, Vénus, Mercure et la Lune. Kircher les suppose
* GeomUria introdttctionis libri sex, brevisculis annolationibus exptanati ^ quitus anneclunlur HheUidê 9xuli quadrature, et de cubicalione spherm, et introduclio in perspectivam Caroli Boviiti. Paris, 1503, io-fol.
Cet ouvrage, moins Vintroduclio in perspectivam , a été reproduil en français, sous le titre : Livre singulier utile , touchant l'art et pratique de Géométrie, composé nouveliemenl en français, par maître Charles d$ '^^uvelles, chanoine de Noyon, Paris, 1542, in-4o. D^autres éditions ont paru en 1547, 1551, 1557 et 1608. BooTelles a composé beaucoup d'autres ouvrages, où il s'esl montré philosophe, théologien, historien , orateur, et canoniste.
* Pages 1!231, 1233 et 1235 de Pédiliou de 1535. « Pentagonus uniformis dicitur, cujus latera non se mutuo ^ércidunt. Egrediens verô, cùm ejus latera se invicem sécant. Hexagonus..., »
-^ La pratica delta perspettiva di monsignor Daniel Barbaro, Venise, 1569, in-fol.
* Ars magna luds et umbrœ in decem libros digesta. Romae, 1646, in-fol., pages 217 et 537.
rangées dans cet ordre sur une circonférence de cercle; el, en passant successivement de la première à la quatrième , de la quatrième à la septième, de celle-ci à la troisième, etc., il trace une Ggure quil appelle heptagone (c*est Theptagone de troisième espèce), dont les sommets consécutifs désignent les sept jours de la semaine, dans leur ordre naturel. Ainsi Saturne répond au samedi, le Soleil au dimanche, la Lune à lundi. Mars à mardi. Mercure à mercredi, Jupiter à jeudi et Vénus a vendredi. La formation de cet heptagone, dit Kircher, est une belle propriété du nombre sept.
Les ouvrages dont nous avons parlé jusqu'ici, bien que leurs auteurs aient joui d'une certaine célébrité, ne sont plus guère connus depin's longtemps; parce qu*en effet ik ne se recommandaient point par ces productions du génie qui immortalisent les œuvres et leurs auteurs, où Ion aime à rechercher encore, après des siècles, les pensées des inventeurs et les traces de leurs efforts. Il n'y a donc rien d'étonnant que le polygone de Boèee, celui de Campanus, et la théorie de Bradwardin, soient inconnus aujourd'hui. Mais nous avons à citer maintenant, dans l'histoire de cette théorie, un nom célèbre, un ouvrage mémorable , une de ces découvertes rares qui font la gloire des temps modernes, enfin des considérations analytiques qui, il y a deux siècles, auraient du faire une impression profonde sur l'esprit des géomètres. Mais Kepler a devancé son siècle; car c'est de lui qu'il s'agit, et de l'ouvrage de V Harmonique du monde S et de la belle proposition sur le rapport des carrés des temps des révolutions aux cubes des distances au Soleil, et de cette autre, d'un genre tout différent, qu'une même équation détermine les diverses espèces de polygones d'un même nombre de côtés. On observera sans doute, aujourd'hui, qu'aucune conception nouvelle ne s'était jamais présentée dans des circonstances en apparence plus favorables pour assurer rapidement à l'auteur une gloire durable. Cependant la savante théorie de Kepler est tombée dans l'oubli; et, de son livre immortel, il n'est resté que l'énoncé de sa grande loi des mouvements des corps célestes ; encore a-t-elle été méconnue, et peut-être dédaignée, par ses contemporains, parmi lesquels on nomme à regret et Descartes et Galilée; encore a-t-il fallu que, près de quatre-vingts ans plus tard« Newton l'expliquât, la fit comprendre et lui donnât la vie ^i La théorie des polygones, qui a guidé Kepler dans ses longues et pénibles spéculations, a été encore moins favorisée; la simple curiosité ne s en est pas mêlée; rien n'a pu la sauver d'un oubli complet : oubli qui nous rappelle cette triste réflexion que fait Bailly, précisément au sujet des lois de Kepler : « C'est donc en vain qu'on découvre des vérités ; on parle à ses contemporains , ils n'écoutent pas! » Non, ce n'est pas en vain : mais trop souvent les vérités nouvelles ne sont que pour l'avenir.
Harmonicea Mundi libri V. Lincii AuBtriae; 16J9, in-fol.
Kepler a prévu, eu quelque sorte, que les découveries qui lui avaient coulé dix-sept ans de travail, et de travail coniinu, ne seraient comprises qu'après un long intervalle de temps :
* Le sort en est jeié, dit ce grand homme, avec Taccent de Penthousiasme, j'écris un livre qui sera lu ptr " <*^>iix de l'âge présent ou par la postérité, il n'importe : qu'il attende son lecteur pendant cent ans; Diea • n*a-t-il pas attendu six mille ans le contemplateur de ses œuvres? > (Jacio in aleam ^ Ubrumque scribo, seu [n'ofêenlibuê, $eu posteris iegendum; nihil interest : expeetat ilie suum (ectorem per annos centum; si Dtus ip9ë jter annorum $exa millia conUmplatorem prœalolatus e$l! Habmoniocs Mcnoi, liber V; p. 179.)
L*ouvrage de Kepler est en cinq livres. Le premier, qui a pour titre : De figurarum regulariuntj quœ proporiiones harmonicas pariunl, or tu, classibus, ordine et di/ferefUtis, causé, scienliœ et demonstrationis y est consacré à la théorie générale des figures régulières, et comprend en particulier celle des polygones étoiles.
Dans le préambule, Kepler reproche à Ramus d avoir critiqué le 10^ livre d'Euch'de, et d*avoîr voulu le rejeter de la Géométrie. Il se propose de le compléter, en traitant des polygones réguliers qui ne sont pas géométriquement inscriptibles au cercle, et en montrant ce qui les distingue de ceux qu on sait inscrire. Il promet d'écrire sur cette partie de la Géométrie en philosophe, et d'une manière plus claire, plus aisée et plus populaire qu'on ne Ta fait jusqu'alors.
Ce livre commence par de nombreuses définitions , indispensables pour comprendre louvrage, mais dont nous ne rapporterons ici que les deux ou trois suivantes.
Les figures régulières sont celles qui ont leurs côtés égaux et leurs angles égaux.
On les distingue en deux classes. Les unes sont primaires et radicales : ce sont les polygones réguliers ordinaires; et les autres sont étoilées; celles-ci sont formées par les prolongements des côtés d'une figure radicale.
Inscrire une figure dans le cercle, c'est déterminer, par une construction géométrique (c'est-à-dire au moyen de la ligne droite et de la circonférence), le rapport de son côté au diamètre du cercle.
Ensuite Kepler rappelle plusieurs propositions du 10" livre d'Euclide, dont il se servira. £t il commence, à la Proposition 35, à traiter des différents polygones réguliers. Il considère d'abord ceux qui sont géométriquement inscriptibles au cercle.
On remarque, quant aux polygones étoiles, le pentagone de seconde espèce, l'octogone et le décagone de troisième espèce, le dodécagone de troisième et de cinquième espèce, les peniédécagones de deuxième, quatrième et septième espèce, et l'étoile de vingt-quatre ^ïôtés, de cinquième, septième et onzième espèce.
Passant aux polygones qui ne peuvent pas être construits géométriquement, il démontre ^ue l'heptagone ordinaire et ses deux étoiles sont de ce nombre. Alors il a recours àl'Ana- Byse, pour lui reprocher bientôt de n'être pas plus habile, et de ne rien lui apprendre. Ce pascontient plusieurs aperçus analytiques qui auraient du préserver l'ouvrage de l'oubli.
« On m'objectera, dit-il (pag. 34), l'art analytique, appelé Algèbre par l'Arabe Geber,
et cossa par les Italiens : car les côtés des polygones de toute espèce paraissent pouvoir
être déterminés par cette méthode.
» Par exemple, pour l'heptagone, Juste Byrge, qui dans ce genre a imaginé des choses
très-ingénieuses et même incroyables, procède ainsi.... etc. »
Kepler cherche, par des considérations géométriques, l'expression du côté de l'heptaone régulier inscrit au cercle, en fonction du rayon ; et il parvient à cette équation :
7 — 14y -♦- 7iïy — i vj œquè valent figuras nihili ; * Kepler ne dit pas si cette idée de polygones éloilés est de lui, ou s*il Ta emprantée de quelque ouvrage anlé-
ou, suivant nos symboles actuels,
où X est le rapport du côté de riieplagone au rayon du cercle.
« La valeur de la racine d*une telle équation, dit-il, est unique ; car il y en a deux pour » le pentagone, trois pour Theptagone, quatre pour le nonagone, et ainsi de suite. »
II ajoute que (pour riieplagone) les trois racines sont les côtés de trois heptagones différents, qu'on peut concevoir inscrits au même cercle.
Voilà rinterprélation bien nette des trois racines de Téquation qui donne le côté de rheptagone régulier inscrit au cercle. Voilà la notion analytique qui unit nécessairement la théorie des polygones étoiles à celle des polygones des Anciens.
Kepler exprime encore, plus loin, ce même principe en des termes remarquables; car, en avouant les difficultés que fait naître la fécondité même de l'Analyse, il reconnaît tout ce que cette méthode a de beau.
« Jusqu'ici, dit-il, le côté d'un polygone, et celui d'une étoile du même nom, avaient » eu chacun une description propre et sure. Dans l'Analyse algébrique, ce qu'il y a surtout » d'admirable (quoique ce soit là précisément ce qui embarrasse le géomètre), c'est que » la chose demandée ne peut pas être donnée d'une seule manière. Mais, encore bien » que ce ne soit pas démontré généralement, poursuivons ce que nous avons commencé » plus haut, qu'il y a autant de nombres qui satisfont à l'équation, qu'il se trouve, dans » la figure, des cordes ou des diagonales de longueurs dilTérentes ; comme, dans le pen- » tagone, deux ; dans l'heptagone, trois ; dont un pour le côté, et les autres pour les dia- » gonales. C'est pourquoi, enfin, tout ce qui est énoncé du rapport du côté de la figure » au diamètre, est commun aux rapports de toutes ses autres lignes au même diamètre. »
Kepler reproduit ces mêmes considérations dans la proposition suivante, où il démontre (|ue la division d'un arc en trois, cinq, sept, etc. parties, n'est pas possible géométriquement. « Plusieurs lignes, dit-il, répondent à la question, et d'une propriété com- » mune à plusieurs choses on ne peut rien conclure de spécial et de particulier à l'une » d'elles. * »
Le second livre, intitulé : />(» figurarum regtdarium cofigruentid, traite encore des polygones réguliers, puis des polyèdres. Kepler passe en revue les différentes manières d'assembler dos polygones, soit de même espèce, soit d'espèces différentes, pour remplir exactement une surface plane , et pour former des polyèdres réguliers.
I Au milieu do a'9 cousiiloralions maihômaUques . si justes et si profondes, ou trouve quelques réflexions qui aunonceni rusago hixarro «M cliiuK^riquo que voul faire, de ses savantes spéculations sur les polygones, le génie de Kepler, domini^ par l«*s idiH's pythagoriciennes et platoniciennes sur les propriétés cosmographiques des nombres : tel est ce i^iitsage qui termine la Pro|H>sition 45' : « Il est donc prouvé que les côtés de ces •• ligures doivent rester inconnus . et sont de leur nature introuvables. Et il n'y a rien d'étonnant en ceci, çtie » Cf* qui ne peut se rennmtiyr tians r.Aixhéiype du monde^ ne puisse être exprimé dans la conformation » de ses parties. «
r.e dont de pareilles idées qui ont conduit Kepler à Tune des plus grandes découvertes que Ton ait jamais faites!
le côté du pentagone régulier inscrit au cercle, en donnait la diagonale *; mais ôeUe Interprétation géométrique de la racine étrangère ne suffisait pas; il fallait la rapprocher de renoncé même de la question, pour y voir non pas seulement une diagonale , mais le côté d'un second pentagone. Celle idée, qui nous parait si simple aujourdliui, et qui complète la solution analytique de la question, a échappé à Bernoulli, à Euler, à Lagrange, et n'est venue que de nos jours à Pesprit d'un géomètre.
La doctrine des polygones égrédients, de Bradwardin, a été vivement combattue par un auteur du XVII'' siècle, Jean Broscius, dans un ouvrage iniitulé : Apologia pro Aristoiele et Euclide contra P. Rammn et alios. Dantisei, 1652, in-4®. Elle n'avait rien à redouter d'aucune attaque, qui n'anrail du servir même qu'à la propager, et à en répandre la connaissance. Cependant, par un hasard singulier, cet ouvrage de Broscius est peut-être le dernier qui ait traité de ces polygones, qui depuis sont tombés entièrement dans l'oubli, et qui n'ont même réveillé aucun souvenir, au commencement de ce siècle, quand M. Poinsot les a créés et remis sur la scène.
Voici ce que contient louvrage de Broscius sur ces polygones.
D'abord il reprend fortement Ramus pour s'être servi du pentagone étoile, comme exemple d'une figure, autre que le triangle, où la somme des angles était égale h deux droits. « Ce qui prouve, dit-il, l'ignorance de Ramus en Géométrie. Car cette figure est » un décagone qui a cinq angles rentrants et cinq angles saillants, et la somme de ces » angles est égale à seize droits. »
Broscius cite l'ouvrage de Bradwardin, et prouve qu'on peut former une infinité de figures dites à angles égrédients^ de sept, neuf, onze, etc., côtés, dans lesquelles, comme dans celle de Ramus, la somme des angles soit égale à deux droits. Bradwardin n'avait fait que soupçonner cette belle proposition, sans la démontrer; et Charles de Bouvelles ne l'avait appliquée qu'à riicptagone égrédient de troisième espèce. Broscius va plus loin; il considère les figures de différentes espèces pour un même nombre de côtés, et donne la somme de leurs angles.
Il trouve qu'il y a trois espèces d'heptagones, y compris l'heptagone ordinaire, dans lesquels la somme des angles est 10, 6 et 2 droits;
Trois espèces d'octogones, dans lesquels la somme des angles est 12, 8, 4 droits;
Six espèces de figures à quatorze angles égrédients (y compris le polygone ordinaire de quatorze côtés), dans lesquelles la somme des angles est égale à 24, 20, 16, 13, 8 et
4 droits;
Sept espèces de figures à quinze angles égrédients, dans lesquelles la somme des angles est égale à 26, 22, 18, 14, 10, 6 et 2 droits.
Ces résultats s'accordent avec la loi trouvée par M. Poinsot, d'après laquelle la somme
' CeUe remarque avait déjà été faite probablement, un siècle et demi auparavant, par Stifel; car on trouve, dans son Algèbre, les expressions du côté et de la diagonale du pentagone régulier, en fonction du rayon du cercle circonscrit (voir sou Arilhmetica intégra, fol. 178 v»). En supposant qu'il n'ait point obtenu ces expressions par la résolution de Téqualion du secoud degré, leur forme a dû lui montrer que les carrés faits sur ces lignes sont les racines d'une semblable équation; car ce géomètre, très-habile algébrisie pour son temps, était Tort exercé dans la résolution des équations du second degré.
chez un seul peuple, les Arabes de Bagdad et de Cordoue. Cesi à eux que nous aTons dû la connaissance d(*s ouvrages grecs qu1ls avaient traduits pour leur usage, et qu*ils nous ont transmis, longtemps avant qu*ils nous parvinssent dans leur langue originale. Jusqu'à ces derniers temps, on a pensé que celait là la seule obligation que nous eussions aux Arabes; et Ion a négligé de rechercher et d étudier leurs propres ouvrages, pensant que Ion n'y devait trouver rien d original, ni d'étranger aux doctrines et à Férudition grecques. C'est une erreur sur laquelle on revient aujourd'hui, surtout depuis que l'on connaît les ouvrages hindous, et qu'on sait que les Arabes y ont puisé les principes du calcul algébrique, qui les distingue essentiellement des ouvrages grecs. Mais il y a trop peu de temps que celte erreur est détruite, et les ouvrages arabes nous sont encore inconnus. Un assez grand nombre existent depuis plusieurs siècles en Europe, la plupart dans leur tangue originale et quelques-uns en latin, ayant été traduits dans le XII** et le XIII* siècle. Faisons des vœux pour que leur importance soit appréciée et pour qu'ils ne tardent pas à sortir des bibliothèques où ils sont restés enfouis : alors seulement on pourra songer à une véritable histoire scientiGque des Arabes. Pour le moment, il n'est possible de réunir que quelques faits principaux et quelques données éparses, qui ne permettraient pas déjuger, avec confiance, de la part que cette grande et illustre nation a prise dans l'œuvre de la propagation et du perfectionnement des sciences mathématiques, et où n'apparaiirait pas dans un jour suffisant le caractère que ces sciences ont reçu du mélange des éléments grecs et hindous qui les ont constituées. Mais ce caractère se montre dans les ouvrages des Européens au XV' siècle, ouvrages imités de ceux des Arabes; et c'est là pour le moment que nous pourrons l'étudier et le reconnaître avec évidence.
Le goût et l'ardeur des Arabes pour les sciences se développèrent rapidement au VIII* siècle, où commença le règne des Abbassides. Ces princes, nobles imitateurs des Ptolémées d'Egypte, firent de Bagdad le centre de tous les talents du monde ^ Ils recueillirent avec activité toutes les lumières qu'ils purent trouver chez les nations que les successeurs du Prophète et les Ommiades avaient subjuguées. Les Arabes s'approprièrent ainsi des sciences toutes faites ^, dont ils devinrent les seuls dépositaires, quand, par suite d'une fatalité attachée à l'espèce humaine, elles déclinaient et se perdaient chez les peuples qui les avaient créées et perfectionnées pendant des siècles. Les Grecs surtout, et les Hindous ^ furent tributaires dans ce contingent scientifique. Telle est l'origine des sciences, de la Géométrie particulièrement, chez les Arabes.
Les Eléments d'Euclide paraissent être le premier ouvrage qu'ils traduisirent, sous le
' Libri, Histoire des sciences mathématiques en Italie, tom. I«% pag. 1 17.
* « On ne peut point douter que les Aiiibes n'aient eu depuis la foudation du Khalifat et rétablissement de lear empire , une grande estime pour les arts et pour les sciences, puisqu'ils ont traduit eu leur langue tous les meilleurs livres grecs, hébreux, chaldéens et indiens. » (D'Herbelol, Bibl. orientale^ au mot Elm [science']).
^ On lil , dans la Bibl. orientale de D'Herbelot.zu mut ketab (qui signifie Traité)^ les titres d'un grand nombre d*ouvrageft que les Arabes avaient traduits ou imités des ouvrages indiens, sur toutes les parties des sciences miibématlquet et philosophiques.
i^igne d^Almansor, dans le VIII" siècle. Bientôt après on dut, aux encouragements éclairés du calife Al Mamoun (qui commença à régner à Bagdad, en Fan 814), la connaissance des ouvrages d*Archimède, d'Apollonius , d'IIypsicle,de Ménclaûs, de Théodose, et de TAlma- Seste de Ptolémée.
Dés lors les progrès des Arabes dans les sciences furent rapides, et le IX"" siècle compta
des Géomètres habiles et d'un savoir très-étendu.
Trois frères, Mohammed, Ilamet et Ilasen, fils de Musa ben Schaker, furent célèbres,
piar les traductions qu'ils donnèrent de divers ouvrages grecs et hindous, et par leurs
propres écrits sur toutes les parties des sciences mathématiques, dont plusieurs nous
sont fiarvenus. Des Tables astronomiques, que Mohammed ben Musa avait dressées dans
te Mystème indien^ furent longtemps célèbres dans TOrient. Mais un ouvrage beaucoup
plus précieux et plus important à nos yeux, est son Traité d'Algèbre, le plus ancien qui
fùc oonnu jusqu'à ces derniers temps, où ceux des Hindous nous sont parvenus. C'est
dans cet ouvrage que nous avons puisé nos premières connaissances algébriques , d'abord
par l''entremise de Léonard de Pise, qui avait été s'instruire en Arabie, ensuite en
rayant nous-mêmes à notre disposition, et en le traduisant au XIII" siècle. De là, on a
rdé Mohammed ben Musa comme l'inventeur de l'Algèbre ^ et son nom est resté, à
titre, en grande réputation chez les Géomètres européens. Cependant son ouvrage.
* Cardan dit, au commencement de son Ars magna : Hœc ars olim à Mahomete, Mosis Arabia/iliOf inilium siswnjf^^t, EUnHm hujus rei locuples teslis Leonardus Pisanus.
11 v^pëte la même chose dans son Traité De sublUilate (liv. 16 ), où il place Mohammed ben Musa après Arclijrias, et le neuvième parmi les douze plus grands génies de la Terre. Huic Mahomelus Moisis fiUus Arabs, ^•Q^i>raiicœ ut ita dicam artis invenlor, succedit. Ob id inventum ab artis nomine cognomen adeptus est.
^drtatea attribue aussi, à Mohammed ben Musa, Tinvention de PAigèbre, qu'il appelle, dans le tilre delà ■>»»•«- jIq jYaité général des nombres et des mesures : Anlica pratica speculaliva del arte magna, detta in
^^ Algebra et Almucabala, over regola délia casa , trovala da Maumelh^ figlio de Moise arabo, la quale se P«*o cf tre la perfetta arte del calculare, etc.
On avait attribué d*abord Tinvention de TAIgèbre à Geber, autre Géomètre arabe. Ainsi , Stifel, célèbre algé-
^^*^ ^lemand , contemporain de Cardan, écrit au proresseur Milichius : Tuo quoque consilio usas , Algebram
'****• J^rsuoêisti bonis rationibus à Gebro astronome, aulore ejusy ila esse nuncupatam) multis exemplis
. ^^^^<ttam scripsi (Arithmelica intégra, pag. 2i6 \o); et appelle souvent PAIgèbrc, Régula Gebri. Celte opiuion
. **^ «ocore partagée au XVI !• siècle (voir Kepler, Harmonices JUundi , lib. I, prop. 45)-, mais comme
^*^vait pas d*autre fondement que la ressemblance des mois , elle n'a pu se soutenir, surtout quand ou a
"Hi 1^ Yfjig étymologie du mot Algèbre, qui provient de la double dénomination Algebr v Almocabelah,
^ »e servent toujours les Arabes, et qui siguilie opposition et comparaison. Celle dénomination, que nous
j^*'^ remplacée par le seul mot Algèbre, se rapporte assez bien aux équations , dont le mécanisme est le fonde-
J** <i« toute la science.
1 autres écrivains, à la tète desquels ou trouve Regiomonlanus et Scheubel , avaient regardé Diophante comme PreiK^l^r inventeur de TAlgèbre, et celte opinion a prévalu généralement; parce qu'en effet, Diophaui
Diophante avait
^^ ^"^nde antériorité sur les Arabes. Mais aujourd'hui la question de priorité est entre les Grecs et les Hindous.
^^ikl^gupla est postérieur de deux siècles à Diophante, mais la perfecliou de son ouvrage annonce certaine-
^ ^ue l'Algèbre avait déjà une existence très-ancienne dans l'Inde.
'^> ainsi que le dit Peleiier dans son Algèbre , c'est là une de ces choses qui, loin de devoir leur invention à
^^^^m auteur, n'ont pris règle, forme et ordre qu'après un long temps de circulions, d^inter missions et de
^^Uetlês exercitations desprit.
auquel, ne fût-ce que par reconnaissance , étaient si légitimement dus les honneurs de Timpression, est resté manuscrit, et depuis trois siècles dans Toubli, quand pour la première fois, en 1831, M. Rosen Ta publié en arabe et en anglais. M. Libri vient aussi de reproduire, dans le premier volume de son Histoire des sciences en Italie, Tune des traductions latines que Ion conservait à la Bibliothèque royale. Celle-ci n*est pas aussi complète que le manuscrit dont s'est servi M. Rosen. La partie géométrique, entre autres, ne s'y trouve pas.
On sait que Mohammed ben Musa avait tiré des Indiens une partie de ses connaissances mathématiques ^ Nous devons penser que c'est d'eux qu'il reçut T Algèbre. Son ouvrage présente des points de ressemblance certains avec les leurs, et nullement avec celui de Diophantc. Mohammed y fait usage, comme les Indiens, de considérations géométriques, pour mettre dans tout son jour la certitude des opérations de l'Algèbre; on distingue surtout la manière dont il démontre, par cette méthode, les règles pour la résolution de l'équation du second degré, dont il considère trois cas ^. L'ouvrage contient
' Casiri, Bibliotheca Arabico-Bispana, pag. 427-428. — Colbbrooke, Brahmegupta and Btuucara Algebra ;
Dissertation, pag. lxxii. — F. Rosek, Algebra of Mohammed ben Musa. Préface, pag. vtii.
' Ces trois cas , dont Pauieur ne donne que des exemples numériques , soûl exprimés par les trois équations
littérales :
ax* -♦- 6a: — c = 0,
ax* — bx — c = 0,
ax* — 6a: -♦- c = 0 .
Le quatrième cas que peut présenter Téquation générale du second degré est
flur* -4- 6a:-t-cc=0,
oii tous les termes sont positifs. Mohammed n'en parle pas, parce que les racines, dans ce cas, sont toiycark négatives.
Dans les autres équations il ne prend que les racines positives^ et laisse de côté, comme insignifiantes, les racines négatives.
Dans la troisième, ax^ — 60; + c = 0, oti les deux racines
a: = — =fc--»^6«-4ao 2a 2a
sont positives (supposé qu'elles soient réelles), Mohammed dit qu'on les calcule Tune et Taulre, mais qae, dans chaque cas, il faut s'assurer qu'elles répondent à la question. On essaie d'abord la première, qui provient da signe plus; et si elle ne convient pas, la seconde, qui provient du signe moins, conviendra certainement. {When you meel toiih an instance which refers you to this case, try its solution by addition, and if thaï do notserve^ then stibtraction certainly witl, page 11.)
Les Indiens admettaient aussi les deux racines , dans les cas oh elles convenaient toutes deux {BiJa'-GanitQ^ §§ 130, 139), et en rejetaient une, comme absurde, dans d'autres cas {ibid,, §§ 140, 141). Par exemple dans cette question : L ombre d'un gnomon qui a ii doigts de hauteur, étant diminuée du tiers de VhypO' ténuse, devient 14 doigts : quelle est Nombre? On est conduit, pour déterminer Tombre, à une équation da second degré , dont les deux racines sont positives et égales à j et à 9. La première convient parce qu^étant plus grande que 14, elle peut, étant diminuée du tiers de Thypoténuse, devenir égale à 14; mais la seconde, étant plus petite que 14, doit êU'e rejetée, dit Bhascara, à cause de son absurdité {by reason ofits incongruity).
Lucas di Borgo suit en tout point Mohammed ben Musa; il considère trois cas aussi; il donne U soin-
aussi, comme ceux des Indiens, une partie géométrique sur la mesure des surfaces.
On y remarque les trois expressions y > I/IO et Ijqôô ^" rapport approché de la cir-
cooférence au diamètre, qui, comme nous lavons dit, ont été connues des Indiens '; et
les trois nombres 13, H et 15 pris pour les côtés d'un triangle, que nous avons trouvés
aussi dans les ouvrages de Brahmegupta et de Bhascara.
L*ouvrage de Mohammed est beaucoup moins étendu que ceux-ci; il ne traite pas comme eux des équations indéterminées du second ni du premier degré. Nous en trouvons la raison dans la préface de Tauteur, qui nous apprend qu'il a composé ce Traité succinct, à la demande du calife Al Mamoun, pour faciliter une foule d'opérations qui se présentent dans le commerce des hommes et dans les besoins de la vie.
Ce passage suffirait pour nous prouver que les Arabes possédaient alors des ouvrages plus étendus et d'un ordre plus élevé, si nous ne savions pas qu'en effet ils connaissaient les savants ouvrages des Indiens, et qu'eux-mêmes ont écrit sur la résolution des équations du troisième degré, comme nous le dirons plus loin.
Quoi qu'il en soit, c'est un fait bien remarquable et digne de la méditation des savants de ■"Europe, qu'un traité d'Algèbre, regardé comme élémentaire au IX' siècle chez les Arabes, et en quelque sorte comme manuel pratique à l'usage du peuple, a été, sept cents ans après, VArs magna des Européens, et la base et l'origine de leurs grandes découvertes dans les sciences ^.
^^ de chacun dans une strophe de qualre vers latins; puis il la juslilie par des considérations géouié-
*^^«s. Quant au cas où les deux racines sont positives, il reconnaît qu'elles peuvent convenir Tune et
^^^e dans certaines questions, mais que dans d'autres Tune seulement salisfail. {Siche luno e lallro modo
**^fkê tri Ihema. Ma a le volte se hane la verita a luno modo. A le volte a lallro, El perche se cavando la radiée
^*tia rémanente de la mila de le rose non salisfacesse al Ihema. E lu la dilla H (radice) agiongi a la mita
^ '^ C€>se, e haverai el quesito : et mai fallara che a uno de li doi modi non sia salisfallo et quesilo, cioe
*^&n^ndola, overo cavandola del dimeccamento de le cose, elc. (Summa de Arilhmeticay etc. Dislinclio 8,
■^^•^tus5,art. iî.)
^*^^ rapports manifestes, qui ont lieu entre l'ouvrage de Mohammed ben Musa et ceux des Indiens, d'une pari ,
^^^•ui de Lucas di Borgo.de l'autre, montrent bien l'origine de l'Algèbre des Kuropéens, el l'influence directe
. , ^^ ouvrages arabes ont eue sur les progrès et le caractère des sciences mathématiques à la Renaissance. Tel
^ '^objet de cette Note.
* . " fwrall que le rapport ^ôImô^tS^^»*'**^^ *^s^ **^ ^^^ Indiens, et qu'ils l'avaient trouvé en calculant le
-^ ^ ^U polygone régulier de 768 côtés. Gl* Indiani, corne apparisce da un libro dei Bramini, inlitolato Ajin-
^ . .5* "^ , avean trovato con ingegnosissimo metodo Geomelrico, mediante Cinscrizione di un poliyono regolare
j^ * y^ iatif che la circonferenza del circolo sta al diamelro corne 59i7 a 12^. {Saggio sulln storia délie mole-
^ ''^î^c», opéra del sig. P. Franchimi; Lucca, 1821 ; in-8».) Th. Simpson est parvenu de lui-même au rapport
J- ^^» par rinscription du polygone de 768 côtés; il a obtenu même le rapport plus approché =:rz;r.' Voy. ses
^ "- cte Géom.) Sa méthode est très-simple; je ne sais pour(|uoi l'on n'en "J Usqu'ici nous n'avions connu , des Arabes , que le Traité d'Algèbre de
parle jamais.
-^ — , ^ .. -..w«*,x^«..«, ,.v.. <i.(..^.^. M"» i^ -.«.»!. V. c^.n^w... v.^ Mohammed ben Musa. (Vest le seul du
1^ ^ ■■^ dont les Géomètres du XVI* siècle, Lucas di Uorgo, Cardan, Pelelier, Tartalea, Sievin, etc., aient parlé. Mt * ^^«lucoup d'autres auteurs arabes ont écrit sur l'Algèbre; on trouve les noms de plusieurs d'entre eux , et les ^ <ie leurs ouvrages, dans la Bibliothèque orientale de D'Herbelot, au mol Gebr; et au mot Ketab (pag. 966, ^^îolonoe; 967, !'• col.; édit. in-fol. de 1697).
•^'^Jsleun ouvrage, traduit de l'arabe en anglais, à Calcutta, en 1812, qui traite de l'Arilhmélique, de la Mrieet de rAlgèbre,et dont je m'étonne que l'on ne parle pas. depuis quelques années qu'on s'occu|ie
Mohammed avait écrit, sur ics triangles plans ou sphériques, un Traité qu'on dit exister encore sous le titre : De figuris plants et sphœricis.
On possède aussi un ouvrage de Géométrie qu'il a composé, probablement en commun avec ses deux frères, Hamet et Hasen, car il a pour litre : Verba filiorum Moysi, filii Schaket^, Mahumett, Hameti, Hasen. Dans cet ouvrage se trouve démontrée la formule de Taire du triangle, en fonction des trois côtés; et l'application en est faite au triangle qui a pour ses côtés les trois nombres 13, 14 et lo, comme chez les Indiens. La démonstration est celle que Fibonacci et Jordan Nemorarius ont donnée au XIII" siècle, et que Lucas di Borgo et Tartalea nous on fait connaître. Elle parait appartenir aux Arabes, car elle est différente de celle de Héron d'Alexandrie.
Les trois fils de Musa ben Schaker ont écrit beaucoup d'autres ouvrages, dont on trouve l'indication dans la Bibliofheca Arabico-Hispana de Casiri (tom. 1"% pag. 418).
Alkindus, l'un de leurs plus célèbres contemporains, que Cardan met, comme Mohammed ben Musa, au nombre des douze plus puissants génies du monde ', a aussi écrit sur toutes les parties des Mathématiques. Cardan cite avec éloge son traité De régula sex quantitatum ^. Nous avons dit, dans la Note VI, quel était l'objet de cette règle des six quantités, qui s'eflectuait par le calcul ou par une construction géométrique déduite du théorème de Ptolémée.
Alkindus avait écrit sur l'Arithmétique des Indiens {De Arithmeticà indicày, et sur l'Algèbre (De quantitate relativà, seu Algebra), Nous ne citerons pas ses autres ouvrages, qui sont extrêmement nombreux. Une partie doit se trouver encore dans les bibliothèques d'Espagne. Plusieurs, sans doute, ofTriraient de l'intérêt 3.
(l'étudier rbisloire des sciences chez les Indiens et les Arabes. Nous trouvons le titre suivant de cet ouvrage, que nous ne connaissons pas encore, dans le catalogue de la Bibliothèque de Itf. Langlès, art. 552, The khoolasut-oolhisab, a compendium of arilhmelic and geometry; in the arable language, by Buhae-oodd-deen , of Amool in Syria, wilh a translation info persian and commenlary, by the laie Muoluioee Huoshun Ulee of Juonpoôr : ta tvhich is added a Ireatise on algebra by Nu jm-ood-den Ulee khan, head Quazee^ to the Sudr Deewanee and Nizamut Udalul. Revised and edited by Tarinee Churun Mitr, Muoluwee Jan Ulee atid Ghoolam Ukbur. Calcutta, Pereira, 1812, gi'and in-S».
M. Libri vient de mellre au jour un ouvrage d'Algèbre , traduit de l'original arabe en latin, et resté manuscrit à la Bibliothèque royale, sous le titre : Liber augmenti et diminutionis t^ocatus numeratio divinationis, ex eo quod sapientes Indi posucnint, quem Abraham compilavit , et secundum librum qui Indorum dictas est, composuit.
Cet ouvrage est précieux sous plusieurs rapports. D'abord, il est essentiellement différent de celui de Mohammed ben Musa; car il roule uniquement sur les règles de fausse position , simple et double. Et, ensuite, il nous apprend que ces règles viennent des Indiens. On les avait attribuées jusqu'ici aux Arabes, sur Tautorité de Lucas di Borgo, qui les a appelées règles (ïHelcataym « e vocabulo Arabo. •> (Summa d^ Arith., etc., Distinctio septima , tractâtus primus.)
Mais, dans d'autres ouvrages du même temps, on les appelle Régula falsi, seu augmenti et decrementi , comme le compilateur Abraham (voir Algorilhmus de integris, minutiis vulgaribus, ac proportionibus , cum annexis de tri, falsi, aliisque regulis. Liptxck, 1507, in-i».)
» De subtilitate libri XXI, lib. XVI.
« Ibid., lib. XVI. — Practica arithmetice, cap. XLVI. — Opus novum de proportionibus numerorum^eic. Propositio quinta.
3 Tel serait son Traité d'Arithmétique indienne. Car il est assez singulier que , depuis si longtemps qu'on
Thébît ben Corah, disciple de Mohammet ben Musa, fut aussi un Géomètre célèbre,
qui embrassa les Mathématiques dans toute leur étendue. Parmi les nombreux ouvrages
qu'il a laissés, et dont on trouve le catalogue dans Casiri, il en est un dont le titre : De
probtefnntibus algebricis geometricâ ratione comprobandis ^ aurait dû piquer vivement
la curiosité des Géomètres; car il annonce que Thébit avait appliqué TAIgèbre à la Géo-
mécrie. G est sans doute le titre de cet ouvrage qui a fait dire à Montucla que : « Thébit
• a écrit sur la certitude des démonstrations du calcul algébrique, ce qui pourrait donner
• lieu de penser que les Arabes eurent aussi Tidce heureuse d'appliquer TAIgèbre à la » Géométrie. » Cette conjecture est devenue pour nous un fait certain, constaté déjà par VA Igèbre de Mohammed ben Musa, et dont on trouve une preuve plus convaincante encore daïïiÊS un autre ouvrage dont on doit la connaissance récente à M. L.-Am. Sédillot.
dct ouvrage est un fragment d'Algèbre (trouvé dans le manuscrit arabe n® 1104 de la Bibliothèque royale), où les équations du troisième degré sont résolues géométrique-
RV. Sédillot nous apprend qu avant de passer h la solution de ces équations, Tauteur dovi ne celle du problème des deux moyennes proportionnelles, qu'il résout par deux paraboles, et dont il se sert pour la solution de certaines équations. Le géomètre arabe se il-il aperçu que toutes les équations du troisième degré peuvent se résoudre par les moyennes proportionnelles, et la trisection de l'angle; ce qui est, comme on sait, unc5 des découvertes qui ont fait honneur à Viète? Il construit les racines des équations de la forme 7? — ax — 6 = 0, par un cercle et une parabole. Mais nous pensons qu'il ne s'agit que d*équations numériques, les seules qu'on trouve dans les ouvrages arabes et les Modernes jusqu'à Viète, à qui est dû le pas immense qu'il fallait franchir pour ^'er à ridée et à la considération d'équations littérales.
otjtefois, malgré cette restriction dans les spéculations algébriques des Arabes, nous P^Mvons dire que non-seulement ils ont possédé l'Algèbre, mais qu'ils ont connu aussi *•*•! d'exprimer graphiquement les formules, et d'en présenter aux yeux la signification; ^'"^ si beau et si précieux, que Kepler regrettait de ne pas savoir *, et qui a été l'une des ■^cles conceptions de Viète.
■^1 avait toujours pensé que les Arabes n'avaient pas été au delà des équations du >^d degré. On fondait celte opinion sur ce que Pibonaeei et Lucas di Borgo s'étaient
^^^ Iq question do rorigiue dtMiotre système de luiinéralion, et qu'on ne {>eul s'accorder sur la signitication du ^^^^*<e de Boèce et de la lettre de Gerherl qui s'y rapportent , on n'ait pas, au lieu de raisonner sur la forme des ^^■*«^s, qui nécessairement a dû varier, comparé ces deux pièces avec les Traités d'Arithmétique (jue les Aral>es ^^ <:»nl laissés, et dont aucun, je crois, n'a été ni traduit , ni publié dans le lexle original.
Kepler, ne pouvant traduire graphiquement la propriété que représente ré<|uation du second degré qui
le rapport du côté du pentagone régulier au rayon du cercle circonscrit, s'exprime ainsi : Quomodo affec-
reprœsenlabo? quo actu geometnco? NuUo alio id doceoik faccre , quàm u^surpando proportionem ^
quœro : principium petilur. Miser calculator, deslitutus omnibus y eometriœ prœsidiis, hmrens inter
a numerorum, frustra cossam suam respectât. Hoc unum est discrimen inter cossicas et inier geome-
determinationes. (Uarmonices nun di , liber 1 ; pag. 37.)
arrêtés à ce point de la science K Monlucla, le premier, la mise en doute, et a pensé que les Arabes pouvaient bien avoir traité des équations du troisième degré; il se fondait sur le titre Algebra cubicn, seu de problematum solidorum resolutione, d'un manuscrit apporté de rOrient par le célèbre Golius, et qui se trouve dons la Bibliothèque de Leyde \ Le fragment d'Algèbre trouvé par M. Sédillot confirme la conjecture de Montucla, et en fait Tun des points les plus importants de Thistoire scientifique des Arabes.
Mais nous devons dire que rien ne nous autorise encore h penser qu'ils aient connu la résolution algébrique des équations du troisième degré, c'est-à-dire l'expression des racines de ces équations. Le titre du manuscrit de la Bibliothèque de Leyde semble, au contraire, indiquer qu'il y est question de leur construction géométrique par les lieux solides (les sections coniques), comme dans celui de la Bibliothèque royale de Paris.
La Trigonométrie est l'une des parties des Mathématiques que les Arabes cultivèrent avec le plus de soin, à cause de ses applications à l'Astronomie. Aussi leur dut-elle de nombreux perfectionnements, qui lui donnèrent une forme nouvelle, et la rendirent propre à des applications que les Grecs n'auraient pu faire que très-péniblement.
Les premiers progrès de la Trigonométrie datent d'Albategnius, prince de Syrie \ qui florissait vers l'an 880 et qui mourut en 928. C'est ce grand Astronome, surnommé le Ptolémée des Arabes, qui eut rheureuse et féconde idée de substituer aux cordes des arcs, dont les Grecs se servaient dans leurs calculs trigonométriques, les demi-cordes des arcs doubles, c'est-à-dire les sinus des arcs proposés, c Ptoléméc, dit-il , ne se servait des cordes entières que pour la facilité des démonstrations; mais nous, nous avons pris les moitiés des arcs doubles ^. »
Albategnius est parvenu à la formule fondamentale de la Trigonométrie spliériquc : eos. fl = cos. b COS. c -h sin. b sin. c cos. A, dont il a fait diverses applications ^.
On trouve dans ses ouvrages la première idée des tangentes des arcs, et l'expression > dont les Grecs ne se sont pas servis. Albategnius la fait entrer dans les calculs
sinus
cosinus
de Gnomonique et l'appelle ombre étendue. C'est la tangente trigonométrique des Modernes. On voit qu'Albategnius avait des Tables doubles, qui donnaient les ombres corres|>ondant aux hauteurs du Soleil, et les hauteurs correspondant à des ombres ; c'est-à-dire les tangentes des arcs, et les ares correspondant à des tangentes. Mais ses Tables étaient calculées pour le rayon 12, tandis que celles des sinus l'étaient pour le rayon 60; ec qui prouve qu'il n'a pas eu la pensée d'introduire ces tangentes dans les calculs trigonométriques ®.
I Fil>onacci résout bien quelques équations d'un degré supérieur, mais qui se réduisent au second.
* Histoire des Mathématiques, tom. I**", pag. 383.
^ Le nom propre de ce géomèlre est Mohammed hen Geber; il fut surnommé al Balani, parce qu*il étail né à Balan, ville de la Méso{>otamie, et de ce nom les Modernes ont fait celui de Albategnius.
* Delambre, Histoire de l^ Astronomie dii*Moyen âge, pag 12.
•' /6id, pag. 21, 164. Ou sait que la formule correspondante, cos. A = sin. Usin. C cos. a — cos. B cos r, <>st due à Vièle, qui Ta doiméeen 1593, dans son Variorum de rébus malhcmalicis responsorum . liber octavus. c Delambre, Histoire de t* Astronomie du Moyen âge, |>ag. 17.
célèbres s'en oceupoient. C'est à cet art que se rapportaient sans doute deux ouvrages d'AIkinduSy intitulés : De horologium sdathericorum descriptione ; et De horolog. hori- $ontali prcBitantiore, et les deux suivants, de Thébit ben Corah : De horametrià seuhoris diurnis ac nacturnis; et De figura linearum quas gnomometrum (styli apici» umbra) percurriL Ce dernier titre semble annoncer que Thébit se senait de la considération des sections coniques dans la construction des cadrans. >ous allons voir cette méthode pratiquée savamment par un autre géomètre arabe du XIII** siècle. Maurolycus en a eu la première idée chez les Modernes, et elle a donné ù son ouvrage un Ciiractère d'originalité qui lui a fait honneur.
L'écrivain arabe auquel la Gnomonique parait le plus redevable, est Aboul Hbassan Ali, de Maroc, qui vivait au commencement du XIII'' siècle; son ouvrage avait pour titre: Livre qui réunit les commencements et les finsy parce qu'il se compose de deux parties distinctes, dont la première traite des calculs et la seconde des instruments et de leur usage. M. Sédillot, dont les sciences mathématiques et les langues orientales déplorent la perte récente (en 1832), a fait une traduction de cet ouvrage, qui a été mise au jour par les soins de M. L. Am. jSédillot, son fils, sous le titre : Traité des instruments astronomiques des Arabes (2 vol. in-4% Paris, 1834).
Cet ouvrage est un Traité complet et très-détaillé de la Gnomonique des Arabes. Il contient plusieurs choses nouvelles, qui sont de l'invention d'Aboul Hbassan.
On y trouve, pour la première fois, des heures égales, dont les Grecs n'avaient point fait usage. Il parait que cette innovation, qui a été conservée chez les Modernes, est due à l'auteur lui-même, car il dit: « Ceci fait partie des choses inusitées que nous donnons dans cet ouvrage, comme le résultat de nos méditations et de nos réflexions. » (Liv. 3, chap. XIV). Il expose, dans le plus grand détail , la construction des lignes d'heures temporaires (appelées aussi heures antiques, inégales^ , judaïques).
Dans les chapitres XXVI et suivants, intitulés: Détermination du paramètre et de Vare principal des parallèles, en quelque lieu que ce soit, Aboul Hbassan se sert des propriétés des sections coniques pour décrire les arcs des signes. Il calcule les paramètres et les axes de ces courbes, en fonction de la latitude du lieu, de la déclinaison du Soleil et de la lieutcur du gnomon.
Cette partie de l'ouvrage prouve que le géomètre astronome Aboul Hhassan, était un homme de mérite. Il ne donne pas la démonstration de ses règles, mais elle devait se
* Ces heures étaient égales entre elles pendant un même jour, mais leur durée changeait d'un jour à Faatre, parce qu'elle était toujours la douzième partie du temps compris entre le lever et le coucher du Soleil. Les lignes qui marquaient ces heures étaient des courbes très-peu différentes de la ligne droite, ainsi que Ta reconna M. Delambre, par le calcul. (Histoire de l'Astronomie ancienne, t. Il , pag. 481.) Mais hi nature de ces lignes n*est pas encore connue ; elle peut faire le sujet d'une belle question d'Analyse, qui se réduit à ceci :
Que sur une demi-sphère on suppose tracés des arcs de cercle dans des plans parallèles entre eux, et inclinée sur le plan du grand cercle qui sert de base à la demi-sphère; que ces arcs parallèles soient divisés dans un rapport donné ; les points de dicision formeront une courbe à double courbure, située sur la demi-sphère ; que par cette courbe on fasse passer un cône ayant son sommet au centre de la demi-sphère : la section de ce cône par un plan sera la ligne dune des heures égales.
Télat de généralité et d'abstraction que présentent celles du Traité en question. Ajoutons que les Grecs avaient écrit sur la Géodésie dès les premiers temps de Técole d'Alexandrie, comme nous le voyons par un ouvrage de Héron Tancien, mis au jour par M. VenUiri; et que, s'ils n'avaient pas eu leur Traité De divisionibus super ficierum , ceùt été une lacune que ne peut faire supposer la perfection qu'ils donnaient à leurs ouvrages.
L'Optique a été traitée chez les Arabes par un grand nombre d'auteurs , dont le plus célèbre est Alhasen. Son ouvrage, qui nous est parvenu S se recommande par des considérations de Géométrie , savantes et étendues. On y remarque surtout la solution d*un problème qui dépendrait, en Analyse, d'une équation du quatrième degré. Il s'agit de trouver le point de réflexion sur un miroir sphérique, le lieu de l'œil et celui de Fobjet étant donnes. Ce problème a occupé de célèbres Géomètres modernes, tels que Sluze, Huygens, Barrow, le marquis de Lhospital, R. Simson. Ce dernier l'a résolu très-simplement, par de pures considérations de Géométrie. {Sectionum conicarum libri F. Appendix, pag. 223.)
On a pensé que l'ouvrage d'Alhascn était imité du Traité d'Optique de Ptolémée. C'a été l'opinion de Montucla. Mais Delambrc, quoiqu'il fut généralement porté en faveur des Grecs, ne l'a pas partagée. Il a même pensé qu'il se pouvait qu'Alhasen n'eût pas eu connaissance de l'ouvrage de Ptolémée, parce que le sien lui est très-supérieur*. Quoi qu'il en soit, l'ouvrage d'Alhascn fait honneur aux Arabes, et nous devons le regarder comme ayant été l'origine de nos connaissances en Optique. Vitellion, géomètre polonais, Tun des plus savants du Xllh siècle, y a puisé utilement pour la composition de son Traité d'Optique, le premier qu'ait fait paraître un géomètre européen.
On doit à M. L. Am. Sédillot la connaissance récente d'un ouvrage original des Arabes, intitulé Traité des connues géométriques, par Hassan ben Haithem \
Ce géomètre florissait vers l'an 1009, et mourut au Caire, en 1038. Il a composé un commentaire de l'Almageste, et un autre sur les définitions qui sont en tête des Eléments d'Euclidc.
Son Traité des connues est divisé en deux livres : « Le premier, dit-il, comprend des » choses tout à fait neuves et dont le genre même n'a pas été connu des anciens Géomè- » très, et le second contient une suite de propositions analogues à celles qui ont été Crai- » tées dans le livre des Data, mais qui ne.se trouvent pas dans cet ouvrage d'Euclide. »
Sous le titre de Prolégomènes, l'auteur se livre à une discussion métaphysique sur ia
* Imprimé à B&le en 1572, avec la troisième édilion de TOptique de Vilellion, sous le titre : Opticœ thésaurus, Alhazeni Arabis libri septem, nuncprimum editi, Ejusdem liber de crepttsculis el nubium ascensionibusJtem Vitellionis Thuringo-Poloni libri decem^ à Fr. Risnero, in-fol.
• Histoire de C Astronomie ancienne, p. 412 du tome II. ? Nouveau journal asiatique, mai 1834.
La copie sur laquelle M. Sédillol a fait celte traduction est du 3 juin 1144; elle se trouve, avec six autres opuscules sur les Mathématiques , dans le manuscrit arabe, n** 1104 de la Bibliothèque royale. M. Sédillot promet de faire connaître ces pièces , dont une, qui est le fragment d'Algèbre sur la résolution des équations du troisième degréy dont nous avons parlé plus haut, sera Fun des monuments les plus précieux de Thistoire des sdenoes chez les Arabes.
définition des connues, leurs divisions et subdivisions, et la nature des quantités auxquelles elles se rapportent.
Ces préliminaires, dit M. Sédillot, qui caractérisent Tesprit des érudits du temps de Hassan ben Haithem, permettent d'apprécier assez exactement la philosophie mathématique des Arabes.
Mais le savant traducteur ne nous fait connaître que le commencement de ces prolégomènes, et nous ne voyons pas bien quelle peut être l'application de ces distinctions subtiles 4IUX propositions de Géométrie qui forment le corps de Touvrage; sans doute elles portaient sur la forme même que Fauteur a donnée aux énoncés de ces propositions ; mais snontraient-elles l'utilité de cette forme inusitée, et le caractère scientifique ainsi que la '^raie destination de ces propositions? C'est là ce qu'il nous importerait de savoir.
Cette forme est la même que celle des Données d'EucIide , de sorte que ce Traité est «jne imitation et une continuation du livre des données du géomètre grec; mais avec c^ette différence que les propositions du premier livre « choses tout à fait neuves, et cdont le genre même n'a pas été connu des Anciens, » roulent sur des propositions lo- ^[zaies, tandis que toutes celles d'EucIide étaient des théorèmes ordinaires, où tout est déterminé.
Ainsi, dans les Données d'EucIide, Tobjet d'une proposition était de démontrer que Celle chose (point, droite, ou quantité), devant résulter de telle construction ou de telles onditions, était parfaitement connue; et de déterminer la valeur et la position de cette hose.
C'est là aussi l'objet des propositions du premier livre des connues de Hassan ben Haidiem; mais il y a dans chaque question une indétermination de condition, résultant de I9 considération d'un lieu géométrique.
Ces propositions sont de deux espèces.
Dans les premières, il s'agit de démontrer (|ue tel lieu, formé par la succession de points éterminés par telles conditions, est parfaitement connu, ei de donner la construction irecte et immédiate de ce lieu.
Voici l'énoncé d'une proposition de cette espèce :
« Lorsque, de deux points connus de position, on mène deux lignes droites qui se coupent i un point, oit elles forment un angle connu y et qu ensuite on jyrolonge directement une s deux lignes, si le rapport de celte ligne à son prolongement est connu, son extrémité ra sur une circonférence de cercle connue déposition. » (Proposition 7 du !•' livre.) Dans toutes ces propositions, le lieu géométrique est la ligne droite ou circulaire. Elles raissent prises, en général, des Lieux plans d'Apollonius. Dans les propositions de la seconde espèce, ce n'est pas le lieu géométrique qu'il s'agit d^ déterminer, mais quelque autre chose qui s'y rapporte, et qui doit être commune à une i Infinité de points ou de lignes, à cause d'une indétermination dans les conditions de construction. Exemple :
« Lorsque deux cercles connus sont tangents, et que l'un est dafis l'intérieur de l'autre, •« l'on mène au petit cercle une tangente dont l'extrémité (autre que le point de tangence)
9oit terminée à la circonférence du grand cercle, et qu'on joigne par une droite cette exiré^ mité au point de tangence des deux cercles , le rapport de celte dernière ligne à la tangente est un rapport connu. » (Proposition 19.)
Cette dernière proposition et celles de son espèce sont, comme on le voit, dans le genre des Porismes d'Euclide, entendus suivant la doctrine de R. Simson.
Les premières, qui sont différentes, parce que la chose à déterminer est le lieu géométrique, répondent à Tidée que nous nous étions faite sur la nature et la vraie destination de ces porismes, avant de connaître cet opuscule du géomètre arabe. (Voir Note III.)
Cet ouvrage est le seul, jusqu'à ce jour, qui nous ait présenté de l'analogie , ou du moins une apparence d'analogie, avec le célèbre Traité des Porismes d'Euclide. Cette circonstance lui donne du prix à nos yeux; et la découverte de cet opuscule, qui vient confirmer en quelque sorte l'opinion du savant géomètre Castillon, qui pensait qu'au XIII* siècle le Traité d'Euclide existait encore en Orient, nous permet du moins d'espérer de trouver encore, parmi les nombreux manuscrits arabes, restés jusqu'ici inconnus au fond des bibliothèques, quelques traces de cette doctrine des porismes. Nous ne savons si c'est à cette théorie que se rapporte un ouvrage de Thébit ben Corah, que nous trouvons indiqué, sous le titre suivant, dans le catalogue des manuscrits orientaux de la Bibliothèque de Leyde : Datorum sive determinatorum liber continens problemata geometrica. Cet ouvrage, par son titre et par le nom de l'auteur, se recommande à l'attention des Géomètres qui possèdent la langue arabe.
Toutes les propositions du second livre des connues sont dans le genre, mais différentes de celles d'Euclide; elles appartiennent, comme celles-ci, à la Géométrie élémentaire (à la ligne droite et au cercle); mais plusieurs offrent un degré de plus de difficulté. Elles sont de celles qu'on propose aujourd'hui, comme exercices, aux jeunes étudiants qui possèdent déjà les éléments de la Géométrie. Nous citerons les suivantes :
Lorsqu'on a un triangle dont les côtés et les angles sont connus, et qu'on mène une ligne du sommet à la base, si le rapport du carré de la ligne au rectangle formé sur le$ deux segmefits de la base est un rapport connu, la ligne menée sera connue de paeitian. (Proposition 15.)
Lorsque, sur la circonférence d'un cercle connu de grandeur et de position, on prend deux points par lesquels on mène deux droites qui se rencontrent en un autre point de cette cir^ conférence , si le produit des deux droites est connu, chacune de ces droites sera connue de grandeur et de position. (Proposition 22.)
Lorsqu'on a deux cercles connus de grandeur et de position, et qu'on mène une droite tangente aux deux cercles, cette droite est connue de grandeur et de position. (Propositions 24 et 25, dernières de l'ouvrage.)
« Toutes ces choses, dit en terminant Hassan ben Haithem, sont d'une utilité majeure pour la résolution des questions géométriques, et n'ont été dites par aucun des anciens Géomètres. »
Cet ouvrage mérite, par sa nature, d'être placé entre les Données el les Porismes d*£ulide, et les Lieux plans d'Apollonius, d'une part, et les ouvrages de R. Simson et de
