GÉOMÉTRIE CHEZ LES OCCIDENTAUX, AU MOYEN AGE

Pendant que les Arabes fournissaient une rapide et brillante carrière dans les sciences, les Européens étaient plongés dans l'ignorance. Ainsi, après Isidore de Séville, qui est le dernier que nous ayons nommé dans notre aperçu sur les travaux des Latins, peu d'écrivains, jusqu'au XII' siècle, nous ont laissé quelques traces, non-seulement de la culture, mais de quelques connaissances des sciences. Vers cette époque, un premier mouvement intellectuel s'opéra en Europe, et de nombreux efforts furent faits pour y transporter les sciences anciennes de la Grèce, conservées et cultivées par les Arabes. Ce mouvement se reproduisit avec une nouvelle énergie vers le milieu du XV'^ siècle; et, favorisé alors par la connaissance que l'on eut des manuscrits grecs, prépara les grandes découvertes du XVP siècle, d'où date l'immense supériorité des Modernes sur les Anciens, dans les sciences mathématiques.

Nous allons jeter un coup d'oeil rapide sur les travaux qui se rapportent à la Géométrie pendant cet intervalle de huit cents ans. viii«MEu.K. Au commencement du VHP siècle, Bède eut une grande érudition pour son temps,

INOTES. ((03

Cl écrivit sur beaucoup de matières différentes. Ses ouvrages qui se rapportent aux Mathématiques sont : l"" deux Traités sur la Musique tiiéorique et pratique; S"" différentes pièces sur TAstronomie, où Ton distingue un petit écrit De circulis sphœrœ et polOj un de Gnomonique y sous le titre De mensurâ horologii, et un De astrolabio, où il se sert de constructions graphiques; S** et enfin quelques pièces sur l'Arithmétique. L'une d elles, intitulée De arilhmeticîs numeriSy est un extrait, extrêmement succinct, de quelques définitions prises des Traités d*Ariihmétique d'Apulée et de Boèce, dont les noms sont cités par Bèdc. Une autre, De loquelà pergeslum digitorutHy montre à compter par les doigts et leurs articulations. Ce livre a été emprunté et reproduit par divers auteurs.

Une troisième, qui nous parait offrir aujourd'hui le plus d'intérêt dans le volumineux recueil des œuvres de Bède, est le Traité De numerorum divisioney auquel on a fait jusqu'ici si peu d'attention, (|ue les écrivains qui en ont rendu compte se sont mépris sur son contenu ^ Ce Traité est précisément le même que celui qui fait suite à la F^etire de Gerbert à Constantin, où généralement on a cru voir l'exposition de notre système de numération. Est-il de Bède ou de Gerbert? Nous avons déjà soulevé cette question, en parlant du passage de la Géométrie de Boèce relatif au même système de numération, et dont ce Traité nous a semblé être une imitation et un développement : du moins l'un et l'autre roulent sur la même matière, et ont, à notre sens, la même origine ^. Du reste on trouve, dans les manuscrits anciens de Bède, les chiffres arabes comme dans ceux de Boèce. {Wallis, de €Llgebrà tractatus^ cap. IV.)

Enfin, les œuvres de Bède contiennent un livrjc De arilhmeticis propositionibus, où l'on trouve d'abord différentes manières de deviner un nombre qui a été pensé ; et ensuite un sssez grand nombre de questions arithmétiques, ad acuendos juvenes , est-il dit, et qui prouvent l'intention d'entretenir la culture des Mathématiques. Mais on voit dans quel état déplorable elles étaient tombées, par les règles dont l'auteur se sert pour calculer l'aire ^u triangle et du quadrilatère. Nous avons rapporté ces règles en parlant des ouvrages de Srabmegupta.

* Montucla, Histoires des Mathématiques, t. I, p. 495 : a Bède fut auteur d'un livre d'arithmétique intitulé numeris; et d'un aulre, De numerorum divisione, par lequel on voit combien dans son temps cette opéra-

jon était embarrassée. • — Delambre, Histoire de P Astronomie ancienne , 1. 1, p. 321 « Dans ce chapitre {Delà ivision des nombres), Bède enseigne à se servir des doigts et de leurs articulations , pour faciliter les divisions les multiplications. »

* Noos nous empressons de réparer ici une erreur que nous avons faite, en disant, précédemment, que l'on i^ayait point encore remarqué que la Lettre de Gerbert se trouvait dans les oeuvres de Bède. Nous ne nous étions

aperçu alors que la remarque eu avait été faite par Andrès, dans son ouvrage DeiC origine, de progressi, e

ilo stato attuale dogni litteratura; Parme, 7 vol. in-4«', 1782-1 799 ;oii il s'exprime ainsi : Maèda osservarsi,

ià che non vedo riflettulo ne da matematici, ne da crilici^che taie letlera riportata fra le Gerberziane è quella

affatto , che si ritrova nelle opère di Beda al principio del libro De numerorum divisione ad constan-

tum; ne io voglio décider e se sia da riporsi fra le opère di Gerberto owerfra quelle di Beda (t. IV, p. 53).

Mais Andrès ne parle que de la Lettre même, et non du Traité qui lui fait suite; Traité qu'il n'a connu que

^ns les œuvres de Bède, et qu'il n'a pas su être le même que celui qu'on altribue à Gerbert.

Nous ajouterons enfin que ce célèbre historien, qui a commenté longuement le passage de Boèce , pour prouver ii'il ne peut en aucune manière s'appliquer k notre système de numération (t. IV, pp. 41-45), n*a pas remarqué analogie avec le Traité De numerorum divisione en question.

Le livre De arithmeticis propositionibus a élé revendiqué pour Aleuin , et compris dans ses œuvres. La question de propriélé ici est sans intérêt.

Aleuin, disciple de Bède, fut, comme lui, un prodige d*érudition dans son temps. Nous nous bornerons ici à dire qu'il a écrit sur les sept arts libéraux, et en particulier sur TAstronomie. 11 ne nous est parvenu de ces ouvrages que les parties qui traitent de la Grammaire et de la Rhétorique; on reconnaît qu'elles sont imitées des écrits de Cassiodore. La célébrité qu'Alcuin a conservée provient surtout de la part qu'il a prise dans la fondation des Universités de Paris et de Pavic, et dans les eiïorts de Gharlemagne pour résister au torrent des ténèbres qui se répandaient sur l'Europe, et pour rallumer le flambeau de la science.

Mais la scolaslique prenait naissance, et l'élément religieux qui lui servait de base fut tout-puissant et occupa exclusivement les esprits. Aussi, chose très-remarquable dans l'histoire, aux efforts mêmes de Gharlemagne succéda précisément l'époque de la plus profonde ignorance. Elle dura près de deux siècles. X* SIÈCLE. Pendant ce temps l'histoire ne prononce guère que le nom de Gerbert (qui devint pape en 999 et mourut en 1005), et de quelques-uns de ses disciples. Ce moine, à l'exemple des sages de la Grèce qui avaient été s'instruire en Egypte, alla aussi s'instruire en Espagne, seul point de l'Europe où les sciences, importées de l'Orient, fussent cultivées par les Sarrasins. De retour en France, il répandit avec ardeur ses connaissances. Elles tenaient du prodige aux yeux de ses contemporains, au point qu'il fut accusé de magie. Mais cela montre combien l'ignorance était profonde alors, car on doit convenir que l'ouvrage de Gerbert sur la Géométrie et ses Traités de la Sphère, de TAstrolabe et des Cadrans solaires, ne roulent que sur les matières les plus élémentaires de la science, et ne comportent que des connaissances très-superflcielles. Le contraste que ces ouvrages présentent avec l'état avancé des sciences, à cette époque, chez les Arabes de Sévilie el de Gordoue, fait douter que ce fut d'eux que Gerbert ait reçu ses connaissances, comme on a coutume de le répéter d'après Guillaume de Malmesbury. On y reconnaît plutôt, surtout dans sa Géométrie, une imitation et un commentaire des ouvrages de Boèce, qu'un reflet du savoir et des méthodes arabes ^ dont nous ne trouverons les premiers germes , en France, qu'au XII" siècle.

* Cette observation s*accorde avec celle de Goujel, qui dit que le voyage de Gerbert en Espagne est réel , mais que le motif qu*on en donne ne Test pas (De Vélat des sciences en France depuis la mort de Charhmagne jusqu'à celle du roi Robert, pag. 55).

Andrès, au contraire, qui a attaché une grande importance historique aux connaissances et aux travaux de Gerbeit, leur attribue une origine arabe, en supposant toutefois que ce n*étaient pas précisément les SarrasîDi qui avaient été les maîtres de Gerbert, mais bien les chrétiens espagnols, leurs disciples, qui ne pouvaient enseigner aussi que les sciences el les méthodes des Arabes. • Quesie ragioni mi fanno congetturare non «enaa qualche probabilità , che quel dotio e grande uomo chefu Gerberto tutto egli sifece solto la disciplina de' eriUiani spagnuoli, sensa avère avuto bisogno di mewiicare il soccorso dalle scuole de^ Saraceni. Ma quaniunquê spagnuoli fossero i maeslri di Gerberto , arabica pur era la dottrina , ch'ei trasse dalle Spagne e communicà aile Gallie ed all'Italia. La scienza favorita di lui era la maiematica; e la matematicay que ei $9peva m Ispagna, tutta venive délie scuole e da' libri de Saraceni. Se veroè, che Gerberto délia Spagna aile suuoh Europee recasse Varithmetica arabica, colla quak focili divenivano moite operazionifehe nettanUtO fMfjfJQ

3015 ISOTES.

A la suite de la Géométrie, est un petit écrit intitulé : Gerbef^ti epistçla ad Àdolboldum de causa dwersitatis arearum in trigono œquilalero geometricè arithmelicève expenso. Gerbcrt explique que la formule géométrique, ^l'^ 3, de Taire du triangle équilatéral, est exacte, et que la formule arithmétique, ^^^^, ne Test pas, et qu'elle n'est qu'approximative. Dans son explication Gcrbert conmiet une erreur, car c'est la formule ^-j^-^Y^qui devait résulter de son raisonnement; et celle-ci est véritablement approximative. Car si on la rend homogène) en y introduisant l'unité de mesure linéaire, que nous appellerons ô, elle devient "*"^°^'^; et celle-ci approche d'autant plus de l'expression ^1^3, qui est l'aire exacte du triangle, que S est plus petit.

On voit, par cette analyse de la Géométrie de Gerbert, qu'elle est dans le genre des écrits de Boèce et de Bède; et qu'on n'y peut reconnaître l'origine arabe qu'on a attribuée légèrement, et sans critique, aux connaissances scientifiques de l'auteur.

H parait que Gerbert a beaucoup écrit sur l'Arithmétique, particulièrement sur un système de numération, différent du système latin alors en usage; et c'est pour cela principalement que son nom est resté célèbre dans Thistoire des sciences. Nous avons parlé, au sujet du passage de la Géométrie de Boèce, du Traité De nnmerorum dimsioncy qu'on lui attribue ^ ; et, en remarquant que cette pièce se trouve dans les deux éditions que l'on a des œuvres de Bède, nous avons eu la pensée qu'elle pourrait être de ce dernier. Mais Gerbert et ses disciples ont laissé plusieurs autres écrits sur le même sujet, qui prouvent qu'ils avaient alors une grande connaissance des procédés du calcul dans ce système de numération, qu'ils appelaient le système de V Abaque. Les écrits de Gerbert, qui la plupart se trouvent dans la Bibliothèque du Vatican, sont intitulés : l"" Gerberti scholastici Abacus covipositus; 2» De nvmeris; 3° Regulœ Abaci; 4" Fragmentum Gerberti regulœ de Abaco; 5° Gerberti arithmetica. Le premier, Abacus composituSy existe dans plusieurs autres bibliothèques. Pez ayant trouvé ù sa suite, dans la Bibliothèque de l'Abbaye de S*-Emeran, à Ratisbonne, une autre pièce intitulée : G. Liber subtilissimtis de Arithmetica ^ l'a attribuée, à cause de l'initiale ti, à Gerbert. Dans ce manuscrit de Ratisbonne, le Traité de VAbaais porte aussi le nom d'Algorismus; il est adressé à lempereur Otiion III K La Bibliothèque de Leyde possède deux manuscrits provenant de Seahger et de Vossius, dont le premier est intitulé. : LibeUus multiplicatiunum, in quo epistola Gerberti ad Constautinum de doctrinâ Abaci; et le second : Gerberti de Divisionibus cum notis ad illas.

(GaTALOGUS BlBLlOTHECiE UMVERSITATIS LUGDUNO-BATAViE , pag. 341 Ct 390.)

Quant au Traité De numei^orum divisione, il est assez singulier qu'il ne se trouve sous ce litre dans aucun des grands dépôts littéraires; du moins on ne le cite dans aucun cata-

Gerbcrt qui existent à la Bibliothèque royale de Paris (u»* 7185 et 7577 c), nous n'avons vu que les chimret romains, et les signes par lesqut Is les Latins représ« niaient les fractions. Ces signes ont été rapportes lidètement par Pez, dans son édition de la Géométrie de Gerl)ert.

* Le premier éditeur des letiies de Gerbert a rapporté, à la suite de la 161 « et dernière lettre, les premièret lignes de ce Traite. Le second éditeur, en conservant la It^ttre, en a supprimé ces premières lignes.

* Gerberti Abacus seu Algorismus ad Ottonem imp, (Voir Thésaurus anecdotorum navissimus^ t. I| DIsser- ' tatioisagogica, p. xxxviii.)

logue»8ous ce titre, disons-nous. Cette circonstance avait contribué à nous luire supposer

que ce Traité pourrait être de Hède, tout en reconucnissant que le procédé de calcul sur

lequel il roule éiait familier à Gerbert ^ Quel quen soit Fauteur, nous persistons à le

regarder comme imité du passage de Boèce sur le même sujet, et A penser qu'il roule sm*

fin système de numération qui ne diiïère du nôtre qu'en un seul point, remploi du zéro

nui y a été introduit postérieurement, et a permis alors de supprimer les colonnes. Dans

celle manière de voir, il ne resterait a résoudre, au sujet de cet Abacxis, que la question de

savoir si cette innovation heureuse, l'emploi du zéro, a été un perfectionnement direct du

sjrslème même de VAbaquCy ou bien si les Européens Font prise dans TArithmélique arabe,

vers le XI* ou le XII- siècle.

Plusieurs contemporains de Gerbert, qu'on regarde comme ayant été ses disciples, ont

écrit sur l'Arithinctique pratiquée dans le système de Y Abaque, Tels sont Adalbolde,

«e d'Utrecht, Heriger, abbé de Laubes, et Bernelin.

II reste du premier, dans la Bibliothèque du Vatican, un écrit intitulé : Alboldi ad Ger-

'imâtn scholasticum de Axtronomiày seu Abaco 2. On trouve, dans le tome III dti The-

"•^«««rtM anecdotorum novissimus de Pez (2** part., p. 86), un autre écrit d'Adalbolde inti-

*■-■ l« : Libellus de ralione inveniendi crassiludinem »phœrœ, où il donne, pour le volume de

'a sphère, la formule D' ^j » D étant le diamètre, qui a pour base le rapport d'Archimède.

*^^r^s son calcul numérique Adalbolde se sert, comme Gerbert dans sa Géométrie, des

«tères romains qui exprimaient les fractions ^i^'^» etc.

ériger comihenta VAbacus de Gerbert, dans un écrit qui se trouve dans la Bibliothèque L^yde, sous le titre : Ratio Abacisvcundiivi divum Hcrigerum ^,

emelin avait écrit sur la Musique, la Géoniéti*ie et l'Arithmétique, un ouvrage inscrit

s la BibltQthèque du Vatican, sous le titre : Birnelini Abaci, Musica, Arithmelica et

^letria ♦; et un autre Traité en quatre livres. De Abaco et muuei^is, que Vignier, dans

ibliothèque historiale, assure que le célèbi'c jurisconsulte Pierre Pithou avait possédé ^.

M)eux exemplaires de cet écrit , qui se trouvent à la Bibliothèque royale de Paris, sous d'autres titres, portent

m de Gerbert, ajouté, il est vrai, à une époque rapprochée : le premier est intitule Haiionea numéro-

Abaci (manuscrit n<* 66i0); ei le second, TracUitus de Abaco (u<* 71h9 A). Nous sup|K)sons qu'une partie

vnanuscrits dont nous avons rapporté les titres ci-dessus, |>articulièrenieut ceux de la Bibliothèque de

^^e, ne sont aussi que ce même Traité De numerorum dîvisione.

Jfontfaucon, Bibiiotheca bibliothecarum manuscriplorum nova^ t. I, p. 87. Histoire littéraire de la France, t. Vil, p. 200.

Nontfaucon, ibid., t. 1, p. 24 : on voit, à la page 110, que la Bibliothèque du Vatican i>osscde d'autres pièces ^ïnéme auteur, sous le tHre : Dernelinus junor de Abaco et alia plurima.

Noos allous rapporter ce passage de Vignier, auquel il ne paiait pas qu*on ait fait attention , et qui cependant importance hi>torique qui n*est point à dédaigner; car il nous prouve (|u'au XVJ« siècle on regardait nos rps, et notre système de numération, comme dérivant, sinon du système même de V Abaque, du moins de la origine que lui ; ce passage vient à Tappui de Pinterprétation que nous avons donnée de VAbacus de Boèce : GfTlM'rt, dit Vignier, eut encore un autre sien compagnon ou disciple es sciences géométri(|ues et matliélatiques nommé Dernelinus, qui comi>osa quatre livres De Abaco et numeris. Desquels se |>eult apprendre ^Nrigine de <*.hiffrc dont nous usons aujourd'hui es comptes d'arithmétique. Les<|uels livres M. Savoye Pithou

On voit, dans le lonie Xll de V Histoire littéraire de la France^ écrit en 1773, qu alors un exemplaire de cet ouvrage se trouvait dans TAbbaye de Saint- Victor, de Paris. La préface avait pour litre : Incipit prœfalio libri Abaci quem junior Bernelinus edidit Parisiis •. C'est peut-être encore à ce Traité de TAbaque que se rapporte une autre pièce de Bemelin qui se trouve dans la Bibliothèque de Leyde, à la suite de VAbacus de Gerbert, sous le titre : Scolica (Scholia probablement) Bernelini Parisiis ad Amelium suum édita de minutiis.

On cite encore un moine nommé Halber qui, dans le même temps, a aussi écrit sur VAbacus de Gerbert. (Histoire littéraire de la France, t. VII, p. 138.)

Il serait bien utile, pour éclaircir enfin les questions historiques relatives à lorigine et a l'introduction en Europe de notre Arithmétique, et particulièrement à ce système de V Abaque, qui tient une grande place dans Thistoire littéraire du X'' siècle, et qui probablement n était que renouvelé, après plusieurs siècles d'oubli, des ouvrages de Boèce, et de quelques auteurs du même temps ^, qui eux-mêmes le tenaient de Técole de Pythagore, ainsi que le dit Boèce ^, il serait utile, dis-je, que Ion mit au jour les différentes pièces de (ierbert et de ses disciples, dont nous avons rapporté les titres ci-dessus, et que Ton fît attention, dans les bibliothèques de manuscrits, aux pièces semblables que cerlaîneraent on y devra découvrir.

xr SIÈCLE. Au XI"* siècle, Hermann Contractus se fit un nom par différents écrits sur les Malhé* matiques, dont un sur la Quadrature du cercle, et un sur l'Astrolabe. Celui-ci, en deux livres, qui traitent de la construction et de Fusage de l'Astrolable, a été imprimé dans le tome m du Tliesaurus novissimus de Pez. Wallis dit, dans son histoire de l'Algèbre, qu'un passage d'un manuscrit ancien, de la Bibliothèque Bodiéienne, l'autorise à penser que

'> m'a assuré avoir eu sa bibliothèque, et recognoistre en iceux un sçavoir et intelligence admirable de la science ^ qu'ils traitent. Et pour ce qu'avec ceux là furent encore fort renommés au même temps en la France plusieurs »> autres grands personnages, in cause de leur grand sçavoir es mêmes sciences philosophiques et matbématiqaes , - comme, etc. » (Bibliothèque hisloriale, 3 vol. in-fol.; Paris 1588; second vol. p. G4i.)

* Il existait, dans la Bibliothèque de TAbbaye de Saint-Viclor, un autre Traité de V Abaque, que Montfaucoti inscrit sous le tilre : Badulphi Laudunensis de Abaco (Bib. bib. t. II, p. 1374.)

* Par exemple nous sommes porté à croire que Victorius, mathématicien contemporain de Boèce, avait aussi écrit sur ce système, ou du moins avait laissé des calculs qui s'y rapportaient; et que c'est à ce sujet que Gerbert et ses disciples citent souvent le calcul de Victorius et sa brièveté, car il ne paraît pas que cela doive s*entendre du nouveau canon pascal que Victorius avait calculé.

' Il n'est pas rare de trouver, dans l'Iiistoire des sciences, des idées, des principes, des théories même, qui ont paru et disparu ainsi , plusieurs fois et à de longs intervalles, avant de trouver un sol préparé pour y jeter de profondes racines ei prendre une existence durable. Les polygones étoiles nous offrent un exemple de pareilles intermissions. Considérée d'abord dans l'École de Pythagore, et oubliée pendant dix siècles, r^/ot/cr pentagonale reprend naissance dans la Géométrie de Boèce; oubliée encore pendant six siècles, elle doit une nouveUevieà Campanus; un siècle après elle produit la théorie des [K)\ygones égrédients; deux siècles plus tard, le nom et les travaux mémorables de Kepler semblent devoir assurer un rôle brillant et durable à cette théorie, qui pourtant i*etombe dans un oubli complet pendant deux siècles, pour reprendre enfin Pexistence impérissable que lui assurent les considérations analytiques qui l'unissent à la théorie des polygones ordinaires.

Hermann Contractus eonnaissail notre système de numération ; et il le met , après Gerbcri, en léte des auteurs qui ont écrit sur ce sujet *.

Le XII" siècle se dislingue par quelques efforts conire rignorance générale. Plusieurs xn* siècle. Européens, suivant Texemple de Gerbert, quittent leur pays pour aller s'instruire au loin. On distingue parmi eux Adhélard, ou Athélard, et Gérard de Crémone. Le premier

visita TEspagne» TEgypte et TArabie, et, à son retour, traduisit de Tarabe plusieurs ouvrages^ au nombre desquels se trouvent les Eléments d'Euclide. C'est la première traduction que Ton ait eue, en Europe, de cet ouvrage, que Ion ne connaissait que par l'extrait très-restreint, et qui se bornait à quelques énoncés de propositions, que Boéee en avait donnés, dans le premier livre de sa Géométrie. Adhélard avait joint, à sa traduction, des Commentaires sur les propositions d*Euclide. Cet ouvrage est resté manuscrit ^

M. Jourdain attribue à Adhélard un Traité de TAstrolabe et une doctrine de VAba(iue ^. {l^echerches sur les traductiom d'Àristole, pag. 100.)

Gérard de Crémone (1114-1187) alla résider pendant longtemps à Tolède, pour y apprendre Tarabe et y faire de nombreuses traductions, qu'il rapporta dans sa patrie. Elles s'étendaient sur toutes les parties des sciences qui florissaient parmi les iMaures trEspagne. On y distingue TAImageste de Ptolémée, le Traité des crépuscules d'Alliazen

* Bujuêce Hermanni mentionem reperio in quodam Bibliothecœ Bodleianœ M S O, ubi dicilur quod ab Her- 'mawM etProdocimo didicerint Abkcvu , hoc est (alio nomine) Algorishuh.

Uermann Gootraclus passe, aux yeux de quelques tiistoriens , de Brucker particulièrement, pour avoir cultiv«'

^les premiers la langue arabe, et Tail les premières traductions latines d'Âristote. Mais M. Jourdain, en remontant

<àla source de cette opinion, croit qu'elle est erronée, ou du moins quelle n*est pas justiGée; il pense que It*

traité de TAstrolabe, d'Hermann, n*est pas une version d'un ouvrage arabe, mais bien composa d'après de>

itériaox déjà publiés. (Recherches sur Vâge et Porigme des traductions latines dAristote, |). 156)

Je rapproche ce sentiment de M. Jourdain du fait cité par Wallis, parce qu*on en tire une induction favorable

Popinion que j'ai déjà émise souvent, à savoir que tous les écrits sur VJbaquCt tels que ceux de Gerbert et de

disciples, émanent de la même source que celui de Boèce,et ne proviennent point directement des ouvrages

irabes empruntés des Sarrazins d'Espagne.

* n se trouYe, dans la bibliothèque des Dominicains de Saint-Marc, à Florence, sous le titre: EuelidisGeomelria Commenlo Adelardi; et dans la Bibliothèque Bodléienue sous celui de: Euclidis elementa cum schoiiis et

^riiagrammatis latine reddita per Adelardum Bathoniensem. La Bibliothèque royale de Paris en jK)ssède aussi ^ine copie (n^ 7213 des manuscrits latins). Une autre, qui a appartenu à Regiomontanus, se trouve dans la ttfldiothéque de Nuremberg.

' Nous ne savons sur quelle autorité M. Jourdain se Tonde au sujet de celte doctrine de V Abaque, ni si elle

^^JKurtait précisément sur le système de VAbacus de Boèce et de Gerbert. Ce point historique est d'une grande

'importance, parce que tous les travaux d'Adhélard ont eu pour objet de faire connaître les ouvrages philoso-

^jhiques et mathématiques des Arabes, dont il reconnaissait hi haute supériorité sur les doctrines de la scolas-

"^.iqiie da temps; et nous serions porté à croire que, s'il a écrit sur T Arithmétique , ce serait sur l'Arithmétique

^Knèroe des Arabes, qui reposait bien sur le même principe de la valeur de position des chiffres que le système de

^ ^Abaque, mais qui en différait, suivant nous, par l'u-sage du zéro. Peut-être Touvrage d'Adhélard élablissait-il

^a transition du système de PAbaque à celui des Arabes , et montrait-il- l'identité des deux systèmes, dont le second

^^éanmoins était d'une application pratique plus facile , et a remplacé le premier, en prenant le nom ù'Algorismus.

^i>t ouvrage d'Adhélard |H)urrait donc être très- précieux, comme résolvant peut-être la question, encore irré-

^Milue, de la véritable origine, parmi nous, du système de numération eu usage depuis cinq ou six siècles.

et le livre De scientihy d'Alfarabius ^ M. Jourdain pense que c'est aussi à Gérard de Crémone que Ton doit le Traité de Perspective d'Alhazcn. (Recherches critiques sur les traductions latines d'Aristote, pag. 128.) Un Traité d'Ariihinétique, qui se trouve dans la Bibliothèque Bodlêionney sous le titre Algorismus magistri Gerardi in infegris et minutiis\ serait-il aussi de Gérard de Grénione, qui , en ciïet, en rapportant d'Espagne, une partie des connaissances scientifiques des Arabes, n'a pu négliger leur ingénieux système de numération, à moins que déjà il ne fût bien connu des hommes qui se livraient à IVtude des sciences, ainsi que nous serions porté à le penser, en voyant, dans le siècle suivant, le grand nombre d auteurs qui ont écrit sur ce système de numération , ou qui s'en sont servis dans leurs ouvrages.

Trois autres hommes, contemporains d'Adhélard et de Gérard de Crémone, travaillèrent aussi à faire connaître les ouvrages mathématiques répandus chez les Arabes. Ce sont Platon de Tivoli (Plato Tiburtinus), le juif Jean de Scville, connu sous le nom Johannis Hispalensisy et Rodolphe de Bruges {Braghensis).

Le premier traduisit, de larabe, les Sphériques de Théodose, vers Tan 1120 (imprimé en 1518); de Thébreu, un Traité de Géométrie de Savosarda '; et divers autres ouvrages.

Jean llispalensis traduisit les Ëléments astronomiques d'Alfraganus (en 1142, suivant G. J. Vossius et plusieurs auteurs), et divers ouvrages sur TAstrologie, au nombre desquels est un Traité d'Albumasar, qui se trouve en manuscrit dans la Bibliothèque Maglia" becchi sous le litre : Liber introductorii major is in magislen'o scientiœ Astrorum, editione Albuniazar et inlerpretatione Joliannia IJispalvnsis ex arabico in latinum. Cette version parait avoir été faite en Tan 1 171, car elle se termine par ces mots, scriptus est liber iste anno domini nostri Jesu ChnsliUH. Elle est précieuse, en ce qu'elle contient des Tables astronomiques en chiffres arabes ^. Ce sont peut-être les plus anciennes qui aient une date certaine. Jean llispalensis a aussi laissé un Traité d'Arithmétique arabe, sous le titre A' Algorismus, Cest, jusqu'ici, le plus ancien Traité d'Arithmétique qui porte ce nom, que nous trouverons dans tous les ouvrages du XII' siècle. Ce Traité conmienee ainsi : Incipit protogus in libro Algorismi de praclicà Arilhmeticœ, qui editus est à Magistro Johanne Uispalensi. Il est très-complet; il comprend les sept opérations : addition, soustraction, dtiplation, médiation, multiplication, division et extraction de racines, d*abord pour les nombres entiers, puis pour les fractions. On trouve à la suite, sans interruption, et de la même écriture, sous le litre : Excertionvs de libro qui dicilur Gebra et

I Fabricius a formé une promière liste des traductions attribuées à Gérard de Crémone. (Bib. med. et infimœ lai., t III,|).1 15.) M. Jourdain en a donne une seconde, presque double L'ouvrage d'Alfarabius n*y est pas compris. Ost M . IJbri qui l'a trouvé dans un manuscrit de la tiiblioltièque royale, sous le tilrn : Liber Atfarabii , de êcienttis, translatas à magistro Gherardo Cremonensi^ tu Tultdo, de arabico in latinum. {Histoire des sciences mathématiques en Italie, t. I, p. 172.)

• Heilbronner, Htst, Math,, p. 601.

5 Liber Emltadorum a Savosarda judœo in hebraïco compositus^et a Platane Tiburtino in Latinum «tmonem translatus. (lu Hibliothecà S. Marci Dominicorum Florentine.) M. Libri doit donner, dans le second Tdanie de son Histoire des sciences mathématiques, une analyse de cet ouvrage im|)orlant.

* Targioni, Helazioni di alcuni Viaggi, etc., t. II, p. 67.

Mucabala *^ un morceau d^Algèbre^ qui parait en faire partie. C'est la résolution des équalions du second degré. On y résout plusieurs questions telles que celles-ci : Quel est le nombre qui, ajouté à 10 fois sa racine, donne 39? Quel est le nombre qui, ajouté à 9, égale 6 fois sa racine?

Cet ouvrage, qui parait être resté ignoré jusqu'ici, est précieux ^, comme étant le plus ancien Traité d'Ariihméiique arabe et d'Algèbre qui soit connu. On avait regardé, jusqu'ici, celui de Léonard de Pise comme étant le plus ancien.

On doit à Rodol^ibe de Bruges la connaissance du Planispbére de Ptolémée, qu'il traduisit de l'arabe, sur une version commentée par un auteur nommé Alolsem. Le texte grec ne nous est pas parvenu. L'ouvrage de Kodolpbe de Bruges a été imprimé pour la première fois en 1507, à la suite de la Géographie de Ptolémée (Rome, in-folio); puis en i536 \ Commandin en a donné, en 1558, une traduction plus correcte, accompagnée d'un Commentaire qui est, en grande partie, un Traité général de Perspective; ouvrage écrit d'un style géométrique assez facile qu'on ne rencontre pas, généralement, dans les nombreux Traités de Perspective qui ont paru dans le XVP et le XVli" siècle.

Le Xlil" siècle marque une ère nouvelle dans l'histoire des sciences. Il prépare leur xiii* siècle. rétablissement, en répandant la connaissance usuelle du système de numération arabe, de l'Algèbre, et de plusieurs ouvrages importants de l'Ecole grecque. Cette époque est presque féconde en écrivains; on y trouve Jordan Memorarius, Léonard Fibonacci de Pise, âaero-Bosco, Campanus de Movarre, Albert le Grand, Vincent de Beauvais, Roger Bacon, Yitellion, dont les noms sont restés célèbres et honorent le Moyen âge.

Campanus traduisit, sur un texte arabe, et accompagna de Commentaires les treize livres •^es Ëléments d'Euclide et les deux qu'on a attribués a Hypsicle ^. C'est cet ouvrage qui a ^ervi a répandre en Europe la connaissance de la Géométrie. H a été imprimé pour la remière fois en 148!2, et a eu plusieurs autres éditions. Pendant longtemps encore, après

renaissance des sciences, il a joui d'une grande estime, et les Commentaires de Cam-

nus ont été consultés par les géomètres qui ont écrit sur les éléments de la Géométrie,

* Le manuscrit dit Exceptiones de libro qui dicitur Gleba et Mutabilia; mais cela provient probablement du copiste.

' Les copies en doivent être très-rares, car les catalogues de mauuscrils n'en indiquent aucune.

^ Avec le Planisphère de Jordan, et difTéreiites autres pièces concernant l'Astronomie» sous le titre générai : ^phœrmcUque aslrorum cœieslium ratio, tialura et motus; Valderus, Basileae, 1536, in-4o.

M. Delambre, dans son Histoire de r Astronomie ancienne (t. il , p. 456), a donné, à la traduction latine de -^Kodolpbe de Bruges, la date de 1544, au lieu de 1144. Celte erreur a été cause que ce célèbre Astronome s'est "^iiStooué qu'une iraduciiou faite en 1544 se trouvât dans un ouviage imprimé eu 1536

* Quelques bisiorieus ont pensé que cet ouviage de Campanus n'était autre que la traduction d'Adbélard, à liielle Cam|>anus avait joint des Commentaires. Voici comment s'exprime Audrès à ce sujet : Set {Campano) m ttadusse corne si dice comunemcnte ; certo iUustro con comenti l'Euclide, tradotto primo daiC Arabo in

Utw dalV Ingtfse Atelardo Golho. corne ha fatto pedere il Tiraboschi {DelV origine, de progressif e detto

"^mtaio attuaU dogni Ulteratura. Parie 1, cap. IX). Le litre .sui\ani, d'un exemplaire manuscrit de l'Euclide de

^dampauus, qui se trouve à la Bibliuihèque royale de Paris, sous le n« 7il3, vient contirmer cette opinion :

-^uclidis phitosopht socralici incipit liber Elementorum artis geometricœ translatas ab Arabico in Latinum

Adêtardum Gothum Bathoniensem , sub commenta Magistri Campani Novarriensis (MS. du XIV* siècle).

(els que Zamberti, Lucas di Borgo, Peictier du Mans, Glavius, etc., et par les Algébristes qui ont trailé des quanlités incommensurables, comme Stifel, dans son Arithmetka intégra.

Nous avons dit, en parlant du passage de Boèce où nous avons cru apercevoir le pentagone étoiléy que cette figure a été considérée expressément par Campanus, dans son Commentaire sur la 32" Proposition du l*"' livre d'Euclide, et que ccst là que Bradwardin, dans le siècle suivant, a pris Tidée de ses polygones égrédientSy dont il a donné une théorie assez étendue.

On trouve, à la fin du 4" livre, deux propositions de Campanus ^ dont la première a pour objet la trisection d'un angle; et la seconde, Tinscription, dans le cercle, du nonagone régulier. Ce second problème dépend de celui de la trisection de Tangle; et la solution que Campanus donne de celui-ci est remarquable par sa simplicité : elle se réduit, en . pratique, à la construction d'une conchoïde de Nicomède. En voici le principe : Que du sommet de Fangle, comme centre, avec un rayon arbitraire, on décrive une circonférence de cercle, qui rencontrera les deux côtés de Tangle en deux points a, b; que Ion mène un demi-diamètre perpendiculaire au premier côté; que par le point b on mène une droite, de manière que sa partie comprise entre ce demi-diamètre et la circonférence du cercle ' soit égale au rayon; et enfin que, par le sommet de Tangle, on tire une parallèle à cette droite : cette parallèle opérera la trisection de Fangle.

Campanus ne dit pas comment on déterminera la direction de cette droite issue d*un point de la circonférence, et dont la partie, comprise entre le diamètre et Tautre partie de la circonférence, doit être égale au rayon. Peut-être était-ce là un problème dont il avait donné ailleurs la solution. On voit qu'elle peut s'elTectuer, comme nous l'avons dit, par une concboïde de INicomèdc. Ce problème a eu quelque célébrité vers la fin du XVII" siècle, parce qu'ayant été proposé publiquement avec deux autres, dans le Jotimal des Savam (août 1676), il a été résolu par Viviani dans son ouvrage intitulé : Enodatio problemaium universis geometris proposilorum à CL et R, D. Claudio Comiers , canonico Ehredunensi^ collegialis ecctesiœ de Ternant Prœposito dignissiwo. Prœmissis, hornm occasioney tentai mentis variis ad solulioncm illustris veterum problemaiis de anguli trisectione (Florentiae, 1677, in-4°). Viviani fît voir, par une démonstration géométrique très-simple, que les trois points où la conchoïde rencontre la circonférence du cercle, et qui répondent aux trois solutions du problème de la trisection de l'angle, sont sur une hyperbole équilatère.

On sait que la section d'une droite, en moyenne et extrême raison, joue un grand rôle dans la théorie des quantités incommensurables du 10" livre d'Euclide, dans son 13" livre, et dans la théorie des corps réguliers. Les nombreuses propriétés de cette division d'une droite n'ont point échappé à Campanus, qui les a signalées comme étant admirables, et dérivant de quelque principe digne de l'attention des philosophes ^. C'est cette

' Dans l'édition de 1537 (Basic, in-fol.), qui comprend tous les ouvrages d'Euclide qui nous sont parfeous, ces deux proiK)sitions sont placées à la lin du volume.

' MirahUis Uaque est potentia lineœ secxmdum proportionem habentem médium duoque extrema divisœ, Cui

su NOTES.

ait mis ce dernier au nombre de ceux qui ont écrit sur les cinq corps réguliers. Les historiens des Mathématiques ne parlent de lui qu'au sujet de ses cinq livres d'ÊUmmU des coniques, et de ses Lieux géométriques , dont Viviani, comme on sait^ a donné une divination.

Du reste, il n'est pas étonnant qu'Aristée ait écrit sur les cinq corps réguliers ; car cette théorie a été fort cultivée, et en grand honneur dès la plus haute antiquité des sciences chez les Grecs. Pythagore en avait fait le principe de sa Cosmogonie, dans laquelle les cinq corps réguliers répondaient aux quatre éléments et à TUnivers S C6 qui a fait qu'on les appelait les cinq flgures mondaines {figuras mundanœ ^). Platon adoptait ces idées ^ et avait aussi cultivé cette théorie ^, sur laquelle Théatète,run de ses disciples, passe pour avoir écrit le premier ^. Ensuite, on trouve donc Aristée, puis Euclide, Apollonius et Hypsicle^. Ce dernier cite, dans ses deux livres, Isidore le Grand, son maître, de qui il avait appris ce qu'il savait sur cet objet. Ces cinq corps réguliers ont joué un si grand rdle dans l'Antiquité, par suite des idées pythagoriciennes et platoniciennes, qu'on les r^ardait comme étant le but final auquel étaient destinées et l'étude et la science des Géomètres ^.

Pappus nous apprend ^ qu'Archimède a cherché à étendre cette théorie, et que, ne pouvant former plus de cinq polyèdres réguliers, il en avait imaginé d'un nouveau genre, qu'on a appelés semi-réguliers : leurs faces étaient , comme dans les cinq premiers , des polygones réguliers, mais non tous semblables entre eux. Ces nouveaux corps étaient au nombre de treize. Pappus en a donné une description très-claire, que Kepler a reproduite,

' Le cube représentait la terre; le tétraèdre , le feu; roctaèdre, Tair; ricosaèdre^reau; et le dodécaèdre, rtlnivers. (Plutarque, Placit. philos. ^ liv. 11, cap. VI.)

' Proclus, Commentarius in Euclidem tXib. 11, cap. IV. — Kepler, Harmonices mundi, liber secondas, p. S8.

" Timée, S' partie. — Plutarque, Platonicœ questiones.

^ Pappus y Collections mathématiques, livre 5, à la suite de la proposition 17. — Proclus, m Euclidem, lib. 11, cap. IV. •

'^ Theatetuiit Atheniensis, Archytœ sodaliSy Geometrica auxit, primusque de quinque solidis traciavit ui hurtiun et Proelus produnt, (Heilbronner, Historia matheseos, p. U9.)

* On nN*Ht pas d'accord sur Tépoque où a vécu Hypsicle, que les uns placent dans le deuxième siècle de notre ère, v,i Um uutrrn dans le deuxième siècle avant J.-C, un peu après Apollonius. C'est cette seconde époque que nous H\itm adopi(*c* on parlant d'Euclide; nous avons dit qu'Hypsicle lui était postérieur de près de cent cinquante ans.

t'A' fut ïh le sentimcut de Bernardin Baldi,dans sa Cronica de maiematici, p. 37, et de Vossius, qui pensa qu'llypnide avait vécu vers le temps de Ptolémée Lathyre; et Isidore le Grand, son maître, dont il parie dans M'ft d<*ux lIvroH, sous Ptolémée Physcone. Cet Isidore le Grand pourrait être, suivant Vossius, celai qae dte Plinf* dan» mi (kîograpbie. (Vossius, Descientiis malhematicis,}^. 328.)

Li* nMvuiil niédrcin Meiitel, dans la préface de sa traduction latine du petit ouvrage astronomique d'Hypsicle, UtiHuW* AfitiphoricHs sive de Ascensionibus ; Paris 1657, in-4o; et récemment M. Delambre (Histoire de FAstro^ nomiâ andnine^ 1. 1''*', p. 2i6), et M. Francbini (Saggio délia storia délie matematiche, p. 146), ont placé aassi UyitnU'Ui v(*rH Pan 146 avant J.-C. Mais Fabricius (Dibliotheca grœca, 1. 11, p. 91), et d'après lui, Weidler, MirllbroniMtr, Moutucla et Lalande, Pont fait naître dans le second siècle de notre ère.

^ Sihit in antique Geometrià speciosius visum est quinque corporibus ordinatis, eorumque gratid Geome^ Irinm, ut ea Proclo, initio, dictum est, inventa esse veteres illi crediderunt. (Ramus, Scholarum maihemaii-farum, lIlNirixi.)

" rtitlerMoM mathématiques, livre 5, à la suite de la Proposition 17.

en donnant les figures qui s'y rapportent, dans le second livre de son Harmonie du Monde. Les historiens passent sous silence ce travail d'Archimède : il est vrai qu*il est, par sa nature, bien inférieur aux autres découvertes de ce grand homme. Il eût été plus digne du génie d'Archimède, puisqu'il voulait aller au delà d'Euclide et des autres Géomètres, dans cette théorie des figures régulières, de créer les nouveaux polyèdres étoiles, qu'a décrits M. Poinsot, et qui forment la véritable extension dont cette antique et célèbre théorie était susceptible.

Revenons à Campanus. Lucas Gauricus, Astronome et Astrologue napolitain, a mis au jour, au commencement du seizième siècle , sous le nom de ce Géomètre , un Traité De tetragonismo, seu Quadratura circuli ^ ; et depuis, quelques auteurs ont répété que Campanus a écrit sur la Quadrature du cercle. Mais louvrage dont il s'agit ne dénote qu'ignorance dans son auteur, et est absolument indigne de porter le nom du savant interprète d'EucIide. L'auteur prend, pour base de sa quadrature, le rapport -y de la circonférence au diamètre , « secundàm quod plerique mathematici scripseruni et juxta physicam veriiatem; » et, en passant par quelques propositions intermédiaires, il en conclut que Je côté du carré qui est égal en surface à un cercle , est cinq fois et demie la septième Dartie du diamètre du cercle. De sorte que D étant le diamètre, l'aire du cercle serait %(^)',auUeude^.f-

Sacro Bosco a du une longue célébrité à son Traité De sphœrâ mundi, qui est un extrait ^e TAImageste de Ptolémée, et qui, pendant plus de quatre cents ans, a servi, dans les écoles, à enseigner l'Astronomie. Imprimé pour la première fois en 1472, à Ferrare, il a ^u depuis au moins cinquante éditions. Un grand nombre d'auteurs des plus célèbres, C^Is que Purbach, Regiomontanus, Elie Vinet, Clavius, etc., l'ont éclairci par des notes ou ^es commentaires.

Mais il est important de remarquer ici, pour se faire une idée vraie de l'état de la ^science alors, que cet ouvrage ne contenait que les notions les plus élémentaires de Pto- C^mée; il faisait connaître les cercles de la sphère, les phénomènes du mouvement diurne, t disait quelques mots des éclipses. Ce n'est que deux siècles plus tard que l'on fit un pas e plu^ dans la connaissance de l'Almageste, et que Purbach expliqua la théorie des pla- ^^tes, qui en est la partie la plus impartante et la plus difficile.

Sacro Bosco a laissé, sous le titre : De Alyorismo, un Traité d'Arithmétique écrit en vers, 'est notre Arithmétique actuelle ^ : Sacro Bosco l'attribue aux Indiens. Il la divise eu cuf parties, qui sont : Numération, addition, soustraction, médiation ', duplation *, mul-

* Tetragonismus , id est circuli quadratura per Campanum, Archimedem Syracusanum alque Bœtium ^^m^Ukematicœ perspicacissimos adinventa. Venetiis, 1503, in-'l'>.

* On a, du même temps, un autre Traité d'Arilbmétique écrit aussi en vers latins, par Alexandre de Villedieu. C^osslos, De scientiis mathematicis , p. 40. — Daunou, Histoire littéraire cte la France, I. XVI, p. M3.)

' INvision par deux.

* Multiplication par 2. Celte opération et la médiation ont été comprises, dans les ouvrages du XVI« siècle, ^5Mis le» régies générales de la multiplication et de la division ; de sorte (lue les Traités d'Arithméti(iue n*onl plus

que sept chapitres au lieu de neuf. (Voir la Summa de Arithmctica, de Lucas di Borgo.)

iiplication, division ^ progression et extraction des racines carrées et cubiques. Pendant très-longtemps, les Traités d'Arithmétique se sont composés de ces neuf chapitres : on les trouve encore dans des ouvrages du XVI* siècle.

On a, de Sacro Bosco, quelques écrits sur l'Astronomie, où les calculs sont faits en chiffres arabes. Ces pièces, et le Traité de TAIgorisme, sont restés manuscrits. Les chiffres de Sacro Bosco sont Torigine des nôtres : on suit très-bien , dans les manuscrits du KIY*" et du XV*' siècle, et même dans plusieurs ouvrages des premiers temps de rimprimerîe, les petites altérations successives qui leur ont donné définitivement la forme actuelle.

On doit, à Jordan Némorarius :

!<" Un ouvrage d'Arithmétique, en dix livres, qui est un Traité sur les propriétés des nombres, imité de ceux de Nicomaquc et de Boèce. Cet ouvrage a été imprimé, avec des Commentaires de Fabre d'Étaples (JFaber Stajmlens%s\ en 1496, et a eu depuis plusieurs autres éditions.

S"" Un Traité d'Arithmétique pratique, dans le système arabe, intitulé Algorismus, qui est resté manuscrit.

S"" Un Traité du Planisphère, qui a été imprimé en 1507, 1536 et 1538, avec celui de Ptolémée. C'est dans cet ouvrage que se trouve démontrée pour la première fois, dans toute sa généralité, cette belle propriété de la projection stéréographique qui est le fondement de la construction du Planisphère , à savoir que : totét cercle se projette suivant un cercle. Ptolémée n'avait démontré ce théorème que pour des positions particulières du cercle de la sphère mis en perspective , parce que cherchant partout la clarté et la facilité, comme le dit Proclus au chapitre X de son Bypotypose, il n'introduisait dans ses ouvrages et n'y démontrait que les propositions géométriques qui lui étaient absolument indispensables.

Ptolémée faisait la projection sur le plan de Téquateur, l'œil étant placé au pôle; Jordan Ta faite sur le plan tangent à la sphère, mené par le second pôle. Depuis ^ Maurolycus et les autres Géomètres l'ont imité. Nous remarquons ces légères différences entre Touvrage de Jordan et celui de Ptolémée, parce qu'elles sont, pour l'époque, de véritables innovations qui marquent les premiers pas de l'esprit de recherche et d'invention , qui était rare au XIIP siècle, où les intelligences avaient assez à faire d'acquérir les connaissances que les Arabes leur livraient.

La dénomination de projection stéréographique, que l'on a donnée à la projection employée par Ptolémée dans son Planisphère, est moderne; elle est due à Aguilon qui Fa proposée et s'en est servi dans son Optique *.

La projection stéréographique jouit d'une propriété très-remarquable, qui consiste en ce que l'angle de deux cercles tracés sur la sphère, est égal à l'angle des deux cercles en pro-

* Aguilonii Opticorum Hbrisex. Paris , 1615, iD-fol.

«( Quare tametsi stereographices nomine nusquam vacatum hoc projeclionis genus reperimus; quià tafnen necalio quidem ullo solUum est appellari, placuil hocnomen usurpare, quod nobis in prœsenti visum est ad rem ipsam quàm maxime accomodatum « (in praefalione).

Vitellion a laissé un savant Traité d'Optique, imité de celui deTArabe Alhasen^et qui est remarquable, surtout pour Tépoque où il parut, par les principes de bonne Géométrie de TEcole grecque, sur lesquels il repose.

Tout le l""^ livre est consacré à la Géométrie. L'auteur y a réuni les propositions dont il aura à faire souvent usage dans la suite, et qui ne se trouvent pas dans les Éléments d'Euclide. Quelques-unes sont prises des Coniques d'Apollonius, que cite Vitellion. D autres, qui concernent la division harmonique d'une ligne droite , sont dans le genre de celles qu'on trouve dans le 7*' livre des Collections mathématiques j de Pappus. D'autres enfin sont dans le genre de celles qui se trouvent dans le traité De inclinationibus, d'Apollonius. Mais il n'est pas fait mention de cet ouvrage, ni de celui de Pappus.

Vitellion, en citant les Eléments d'Euclide et les Coniques d'Apollonius, ouvrages avec lesquels il parait familiarisé, nous montre^ d'une part, qu'une traduction d'Euclide, autre que celle de Campanus, alors trop récente, était déjà en circulation en Europe; et ensuite que le fameux Traité des Coniques y était aussi déjà connu. On avait pensé que Ton n*avait commencé à le connaître que deux cents ans plus tard, vers le milieu du XV** siècle, où Rcgiomontanus en méditait une édition ^

Un autre écrivain, contemporain de Vitellion, Peccam, archevêque de Cantorbéry, a aussi laissé un Traité d'Optique, mais qui est moins savant que celui du géomètre polonais.

Vincent de Beauvais n'est point un auteur original ; mais son spéculum mundi, recueil immense, qui a reçu le nom d'Encyclopédie du XIIP siècle, mérite d'être cité comme donnant une idée de l'état où les sciences se trouvaient à cette époque, si l'on n'y comprend pas, toutefois, les progrès notables qu'elles ont faits dans ce siècle même. On trouve dans cet ouvrage des extraits d'Euclide, d'Aristotc, de Vitruve qui avait paru jusque-là inconnu dans le Moyen âge, de Boèce, de Gassiodorc, d'Isidore de Séville, d'AIfarabius, d'Avicenne et de divers auteurs arabes.

Vincent de Beauvais dit qu'Alfarabius ^ distinguait huit sciences mathématiques, qui sont l'Arithmétique, la Géométrie, la Perspective, l'Astronomie, la Musique, la Métrique ou la science des poids et mesures, et la science des esprits (c'est-à-dire la Métaphysique). Il n'y a là que sept sciences; la huitième qui est omise, est l'Algèbre, qu'Alfarabius avait placée après l'Arithmétique. Vincent de Beauvais n'en parle pas non plus dans la suite, ce qui fait penser qu'alors l'Algèbre avait à peine pénétré en France, ou du moins qu'elle n'y était connue que dans le cercle restreint d'un très-petit nombre de mathématiciens.

Notre système de numération est exposé très-clairement, avec le zéro, sous le litre d'Algorismus. La Géométrie se réduit aux définitions et à quelques notions élémentaires. Ce qui nous prouve que les matières sur lesquelles roulaient les savants ouvrages de Sacre Bosco, de Campanus, de Jordan, de Vitellion, étaient encore toutes nouvelles, et que la connaissance n'en était point parvenue à Vincent de Beauvais.

» Moiilucla, Histoire des Mathématiques, lom. I , pag. 248.

' Alfarabius fut Tun des Arabes les plus célèbres du X« siècle, surtout comme Géomètre et Astrooome. Dans le catalogue de ses nombreux ouvrages on en remarque un dont le titre : Nitus felicitatum, seu disciplinamm mathematicarutn Thésaurus, prouve tout le prix qu'il attachait à la culture des Mathématiques.

mcllement comme tenant à la nature même des deux sciences qui doivent se prêter de mutuels secours; car, dans sa préface, Fibonacci dit : Et quia Arithmetica et Geometriœ scicfitia sunt connexœ, et suffragatoriœ sibi ad invicemj non potest de numéro plena iradi doclrinay nisi hiserantur geotnetrica quœdam, vel ad Geometriam spectantta; et il ajoute que souvent, les règles et les opérations de TAlgèbre tirent leur évidence et leurs démonstrations des figures et des considérations géométriques. Ensuite Tauteur annonce qu*il traitera avec plus d'étendue de ce qui concerne la Géométrie, dans un livre de Géométrie pratique qu'il a composé.

Cet ouvrage, divisé en huit chapitres^ est intitulé: Leonardi Pisani de filiis Bonacci Practica Geometricœy composila anno MCCXX, Il est resté manuscrit, de même que le Traité d'Algèbre. Bernardin Baldi nous apprend que Commandin avait préparé une édition de ce Traité de Géométrie, mais qu'il est mort sans avoir pu réaliser ce projet ^ Edouard Bernard, savant Géomètre et Astronome anglais, du XVIF siècle, devait comprendre le Traité d'Algèbre dans le septième volume de la magnifique collection, qu!il avait préparée, des ouvrages des mathématiciens anciens ^.

Fibonacci avait laissé un Traité des nombres raturés, qui, d'après ce qu'on en peut juger par des passages de la Summa de Arithmetica, etc., de Lucas di Borgo, et de FArithmétique de Cardan, qui le citent, roulait sur l'Analyse indéterminée, du premier et du second degré. Les formules dont ces deux géomètres font usage dilTérent de celles de Diophante, et sont les mêmes que celles que l'on trouve dans les ouvrages indiens, à l'exception toutefois qu'elles ne résolvent point des questions aussi diiliciles et aussi générales que dans ces ouvrages indiens. Nous devons regarder ce Traité de Fibonacci comme ime copie de quelque ouvrage arabe, emprunté lui-même de ceux des Hindous.

Ainsi, en somme, les écrits de Fibonacci, qui au XVI" siècle ont été le modèle et le fondement de ceux de Lucas di Borgo, de Cardan et de Tartalea , avaient une origine purement arabe, et primitivement hindoue. C'est donc une opinion erronée, sur laquelle il faut revenir, que nous avons du notre savoir et nos progrès dans les sciences, directement et exclusivement aux ouvrages des Grecs.

Les ouvrages de Fibonacci, dont on reconnaît aujourd'hui toute l'importance, sont cependant encore inédits; les manuscrits en sont très-rares; et le Traité des nombres carrés est déjà perdu, depuis une soixantaine d'années. C'est le sort réservé aux Traités d'Algèbre

* Cronica de matematici, p. 89.

* Cette collection (levait avoir quatorze volumes; le détail des ouvrages qui devaient y entrer se trouve dans b Bibliotheca grœca de Fabricius (lib. 3, cap. XXIII).

On remarque daus le volume VI, destiné à TAIgèbi'c, le titre suivant d'un ouvrage de Thebit beu Corah, qai montre bien Palliance intime que les Arabes avaient élablie entre TAlgébre et la Géométrie , qui forme le carac- U'»re [iropre de leur science mathématique : Thabcti tractatus de veritate propositionum atgebricarum démon- Htrationibus Geomelricis adstruenda, mm aliis tractatibus egreyiis, quœ Gebricam artem spectant. Arabicè et latine.

Les immenses et précieux matériaux préparés par Éd. Bernard ont j)assé, après sa mort, dans la Bibliothèque Bodiéienne. Ou a lieu de s'étonner qu'une aussi belle et aussi utile entreprise n'ait pas reçu son exécutioo, dan un pays oli les sciences ont trouvé souvent de nobles et généreux encouragements.

61 de Géométrie, si rimpression ne vient promptement nous assurer la conservation de ees Bionuments si précieux de Thistoire scientifique des Européens \

Le XIV* sièele parait avec moins d^éclat que le XIII% dans Thistoire du Moyen âge» xn« siècle. parce qu'en effet les productions neuves et importantes qui rendent célèbres les noms de Fibonaeci, de Sacro Bosco, de Campanus, de Jordan, de Vitellion, de Roger Bacon, demandaient à èlre méditées et étudiées silencieusement pour être bien comprises et porter leur fruit. Toutefois le XW"" siècle, trop peu connu encore, nous semble avoir rempli sa tâche; les études mathématiques ont continué d'être cultivées, et elles ne se sont point réduites à la simple reproduction ou à Timication de quelques ouvrages arabes : de preimiers efforts ont été faits pour appliquer les connaissances acquises, et pour aller au delà ; les esprits ont été préparés à la lecture des textes grecs et au mouvement rapide et ^^uéral qui a produit , dans le siècle suivant, le renouvellement des sciences.

Le premier tiers du XIV** siècle nous offre un homme qui a eu une grande célébrité

par son savoir en Philosophie, en Mathématiques, en Théologie et dans la littérature arabe,

"Thomas de Bradwardin, archevêque de Cantorbérj'. Nous avons fait connaître la savante

théorie des polygones égrédients que ce Géomètre imagina , sur la simple donnée du pen*

KagoM étoile de Campanus. Cette théorie étail véritablement une conception nouvelle , qui

^cioit faire hooneur au Xiy** siècle. Elle se trouve, comme nous Favons dit, dans un Traité

Sntilolé : Geametria speculativa, qui a été imprimé en 1496, et a eu depuis plusieurs au*

ttei éditions ^. Cette date de 1496 parait avoir induit en erreur les historiens des Mathé-

■Datkpicfl , Bernardin Baldi , Heilbronner et Montucla , qui ont placé Tauteur à la fin du

^V* siàele; et c*esl peut-être là la cause pour laquelle on n'a pas fait attention, jusqu'ici,

' • Les personnes qui ne sont pas spécialement occupées de reciierches historiques, ne sauraient s^imaginer

> combien de manuscrits précieux ont été détruits, même dans ces derniers temps Après de si coupables

> Diligences, comment ose-t-on parler encore de la destruction des manuscrits au Moyen âge? Sous peine de » passer pour, des barl)ares aux yeux de la postérité , il faut arrêter une telle dévastation. « {Histoire des seienees mathématiques en Italie, 1. 1 , pag. ij).

NoasiKms faisons un devoir de répéter ces paroles de M. Libri; nous voudrions qu*elles eussent souvent de réeho. Mais on sent que le devoir qu'elles commandent n'est point celui de simples particuliers ; mais bien celni des gouvernements désireux de contribuer aux progrés des sciences et du développement de Tintelligence bomaine. L'impression de quelques manuscrits auxquels s'attache un intérêt scienliûquc et historique, de même que la reproduction, dans la langue nationale, de quelques ouvrages étrangers, serait de leur part une digne et ■tile ooopémtion, peu coûteuse du reste, aux travaux des hommes qui se vouent à Tétude.

Une seconde mesure à prendre, pour arrêter la destruction des raretés littéraires (telles, par exemple, que les pioductioiis du XVII< siècle, qui disparaissent tous les jours), serait l'établissement d'une Bibliothèque spéciale destinée aux sciences; Bibliothèque en quelque sorte historique, oh se trouveraient réunies, {jar siècles, toutes les produclions du savoir et du génie, et qui deviendrait un centre oh chacun se ferait un devoir et un bonheur dspwtar ses petites propriétés particulières, qu*on laisse perdre aujourd'hui, parce qu'on ne sait réellement à ^aoi les réunir pour les rendre utiles et leur assurer une conservation durable.

* Dans un manuscrit de la Bibliothèque royale (n» 7368, copie du X1V« siècle) se trouve une pièce intitulée, dans le catalogue, Fragmentum elementorum Geometriœ, où nous avons reconnu des passages de la Géométrie de Brtdwtrdin. La théorie des polygones égrédients y est; mais on ne trouve dans les Bgures que le pentagone de seconde espèce et l'heptagone de troisième es|)èce, qui y sont appelés, comme dans l'ouvrage imprimé , pentafone da premier ordre, et heptagone du second ordre. Les autres polygones égrédienis n'y sont pas refirésentés.

à son ouvrage ; car le rajeunir ainsi de plus d'un siècle et demi , c'était en diminuer le mérite. Pour Tépoque où il fut écrit, il nous parait remarquable, non-seulement par la théorie des polygones égrédients, mais encore par plusieurs autres, parmi lesquelles on dislingue quelques propositions sur les figures isopérimètres.

Voici lanalyse de cet ouvrage :

Son second titre est : Brève compendium artis Geonietriœ à Thoma Bravardiniex libris EudidiSy Boetti, et Campani peroptimè compilatum. L'auteur aurait dû nommer aussi Archimède et Théodose, qu'il cite souvent, et de qui il a fait plusieurs emprunts , pris du livre De quadraturà circuit du premier , et des Sphériques du second.

L'ouvrage est en quatre parties :

La première comprend les défînitions , les axiomes et les postulata qui sont en tète des Eléments d'Euclide; et la théorie des polygones égrédients.

La deuxième partie traite des triangles, des quadrilatères, du cercle, et des figures i9ùpérimètreSy dont Euclide n'a pas parlé dans sa Géométrie, ainsi que le remarque Bradwardin. Mais on sait que, dans l'Ecole même de Pythagore, cette théorie a été ébauchée; et que Zénodore, disciple de ce philosophe, a laissé sur cette matière un écrit, destiné à combattre ce préjugé vulgaire que les figures de contours égaux avaient des capacités égales. Cet ouvrage, le plus ancien des écrits géométriques des Grecs, qui nous sont parvenus, a été conservé par Théon, dans son Commentaire sur l'Almageste ^ Pappus a traité aussi cette matière, au commencement du cinquième livre de ses Collections mathématiques, Bradwardin ne dit pas si les propositions qu'il démontre sont prises de cet ouvrage, ou de l'Almageste, ou bien s'il les a imaginées de lui-même. En voici les énoncés :

Première proposition. De tous les polygones isopérimètres y celui qui a le plus grand nombre d'angles est le plus grand en surface.

Deuxième proposition. De tous les polygones isopérimètres, d'un même nombre d'angles, le plus grand est celui qui a ses angles égaux.

Troisième proposition. De tous les polygones isopérimètres qui ont le même nombre de côtés et leurs angles égaux, le plus grand est celui qui a ses côtés égaux.

Quatrième proposition. De toutes les figures isopérimètres , le cercle est la plus grande. L'auteur ajoute que la sphère jouit de la même propriété parmi les solides.

La troisième partie de l'ouvrage traite des proportions et de la mesure des aires du triangle, du quadrilatère, des polygones et du cercle.

Bradwardin dit que l'aire du cercle est égale à celle du rectangle construit sur la moitié de la circonférence et de la moitié du diamètre, pour côtés. Il conclut cette proposition de celle d'Archimède qui est la même, en d'autres termes, et qu'il emprunte, sans démonstration, du livre De quadraturà circuli, où elle est énoncée ainsi : Un cercle quelconque est égal à un triangle rectangle dont un des côtés de l'angle droit est égal au rayon de ce cercle, et dont l'autre côté de l'angle droit est égal à la circonférence de ce même cercle.

* Clavius Ta reproduit dans son commentaire sar la Sphère, de Sacro Bosco.

Bradwardin ajoute que le rapport de la circonférence au diamètre cst^ ; « hoc ut habetur » ab eodem Archimenide * in praedicto libello ( De quadraturà circuit. ) » La quatrième partie traite des figures à trois dimensions, des plans, des angles solides, [ des cinq corps réguliers et de la sphère.

Le chapitre de la sphère est une collection de diverses propositions sur les cercles tracés 8ur cette surface, que Bradwardin dit avoir prises du livre des Sphériques, de Théodose. Enfin on trouve un petit Traité particulier sur la quadrature du cercle, qui est intitulé : Tmctatus de quadraturà circuli editus à quodum archiepiscopo ordinis fratrum minorum. Ce Traité est précisément le même que celui que Gauricus a attribué à Campanus. D'après ce que nous en avons dit , on pensera qu'il ne doit pas plus porter le nom de Bradwardin que celui de Campanus.

Une idée de Bradwardin , fruit des premières lueurs de la philosophie platonicienne qui commençait à pénétrer en Europe, mérite d'être remarquée. Cest que cet écrivain chercha y le premier, à appliquer la méthode géométrique à la Théologie, et répandit de fa sorte les premiers germes de cet esprit d'indépendance qui ne tarda point à se faire sentir dans les cloîtres et les couvents; et qui, cultivé avec plus de succès dans le siècle suivant) par un autre prince de l'Église, le cardinal Nicolas de Cusa, philosophe plaloffifCfcn, secoua le joug de la scolastique du Moyen âge, et aboutit à la philosophie moderne.

Continuons l'histoire du XIV'' siècle. Pedisiamus, au commencement de ce siècle, a i sur la Géométrie et la Géodésie; le moine Barlaam a laissé un Traité d'Arithmétique, ^n Traité d'Algèbre, en six livres, intitulé : Logisticœ libri F/, écrit en grec '*, quoique ■ «uteur fut Italien; mais il avait été résider en Orient pour apprendre la langue grecque. Une version latine du Traité d'Algèbre a été imprimée en 1372 (Strasbourg, in-8**), puis 1606 (Paris, in-4°), avec des scolics de Jean Chamber. Le Traité original est peutle plus ancien ouvrage d'Algèbre qui nous soit parvenu, après celui dcFibonacci, T^t lui est antérieur de plus d'un siècle.

K.illingworth a laissé des Tables astronomiques, et un Traité d'Algorismc.

Sîrnon de Bredon a commenté l'Almageste de Piolémée', et a écrit sur l'Arithmétique.

ïsuac Argyrus, moine grec, a calculé des Tables astronomiques, et a écrit sur l'Astrolabe ;

^** l'Arithmétique, De extractione radicis quadraticœ quadratorum irrationalium ; sur

^ Géodésie, Compendium geodœsiœ seu de dimensione locorum metlhodus brevis ac luta;

®Vir dilTérentes parties de la Géométrie, De inventione quadrangularium laterum;

'^^rernata de triangulis; De dimensione triangulorum aliarumque figurarum; De figuris

wectangulis ad rectangulas reducendis,

^ndwardin appelle Archimède Archimenides.

l^lambre, en rendant compte du livre de cet ouvrage (lui se rapporte aux calculs astronomiques, a placé

^ur avant Bède, en disant toutefois que Pon ignore Tépoque précise où il a vécu. Cette inadvertance est

liére, car Barlaam est un personnage encore célèbre dans Thistoire littéraire et politique du XI V« siècle.

^Id. Bernard devait comprendre cet ouvrage dans le tome VUI de sa collection, dont nous avons parlé plus

« Il Piotitule : Super demomtrationes aliquas Almagesti : Opls pkrdoctum.

ÎÎ4 NOTES.

Aucun de ces écrits n'a été imprimé; nous regrettons de ne pouvoir dire quel en est l'objet, ni ce qu'ils offraient, dans le temps où ils ont paru, de neuf et d'utile. Edouard Bernard devait en comprendre un, en grec et en latin, sous le titre : De figurarum Irafumutalione, dans sa collection des auteurs anciens.

Paolo di Digomari , connu sous le nom de Paolo dell Abbaco, a écrit sur TAlgëbre, la Géométrie et l'Astronomie, et fut aussi un littérateur distingué, qui a mérité d'être eîté à côté de ses célèbres contemporains : le Dante et Pétrarque.

Montucla place au XIV*' siècle Biagio di Parma, qui écrivit sur l'Arithmétique» la Géométrie, l'Astronomie et l'Optique, et qui fut un homme distingué dans son temps. Lucas di Borgo le cite parmi quelques auteurs modernes dont les ouvrages lui ont été utiles f»our composer sa Summa de Arithmetica, etc. Mais il le place immédiatement après Léonard de Pise, et avant Sacro Bosco et Prosdocimo de Padoue, ce qui nous porterait à croire que ce Géomètre l'a regardé comme étant du XIIP siècle, car il a observé, du reste » l'ordre chronologique dans renonciation des autres noms qu'il cite. Ce sont, parmi les Anciens, Euclide et Boèce, et, parmi les Modernes, Léonard de Pise, Biagio di Parma» Sacro Bosco et Prosdocimo de Padoue.

€e dernier a vécu sur la fln du XIV*' siècle et dans le commencement du XV**; il a calculé des Tables astronomiques, et écrit un livre De algorithmo, où Montuola suppose qu'il a traité de l'Algèbre {Histoire des Mathématiques ^ t. II, p. 716); mais cet ouvrage est probablement un simple Traité d'Arithmétique pratique, comme tous ceux qui portent le même nom d'Algorisme; d'autant plus que Bernardin Baldi ne cite Prosdocimo que comme ayant écrit sur l'Arithmétique, et non sur l'Algèbre. Du reste, le traité De algo^ rithmo a été imprimé en 1483. C'est peut-être le premier ouvrage sur notre système de numération que l'Imprimerie ait mis au jour. Le Compendium arithmetices Bœtii, de Fabre d'Etaples, a bien été imprimé en 1480; mais cet ouvrage ne roule que sur TAritlimétîque spéculative, ou Théorie des nombres, qui est indépendante de la manière de les représenter en se servant de quelques-uns seulement pour exprimer tous les autres '.

Cossali, dans son Histoire de l'Algèbre ^, cite plusieurs autres Itaiieus qui ont écrit sur cette science, dans le XI V** siècle. On y voit que Guillaume de Lunis avait traduit FAIgèbre de Mohammed ben Musa, sous le titre La Regola delV Algebra. Nous avons 4ity en parlant de la Géométrie chez les Arabes, qu'on avait eu, dans le XIIP et le XIV*' siècle, plusieurs antres traductions latines de cet ouvrage, dont l'une a été reproduite par M. Libri, dans le premier volume de son Histoire des sciences mathématiques.

L'Astronomie a été la science la plus cultivée dans le cours du XIV** siècle, où Ton

* Le Traité De algorithmo, de Prosdocimo, nous paratt offrir de IMntérét, parce qu'il confirme ropinion de Wallis sur Tidentité de la signification des mots abacus et algorismus^ dont il pensait que le second tTalt rem» placé le premier, dans les derniers temps du Moyen âge. Wallis ayant lu, dans un manuscrit de la Bibliotlièqiie Bodiéiennc, que Hermann Contractus et Prosdocimo avaient écrit sur Vabacus, ajoute que cela signifie, sons «o autre nom, algorismus, ou système de numération arabe. Le titre de Pouvrage de Prosdedmo, que Wallis oe connaissait pas Justifie pleinement son opinion.

• Sloria crilica Mt origine, trasporto e primi progressi in Italia deW Algebra. Parme, 1797; 2 vol. ia-^.

trouve lin grand nombre d'Astronomes; la plupart ont laisse des Traités de TAslrolabe. Nous n'avons point eu à les nommer , parce qu'il parait qu'ils n'ont pas écrit particulièrement sur la Géométrie.

On voit y par ce qui précède, que les connaissances mathématiques , chez les chrétiens du Moyen âge, se sont formées lentement depuis le VIII'' siècle jusqu'à la fin du XIV% d'abord de quelques notions superficielles, empruntées primitivement des Grecs et transmises par Boéce , Cassiodore et hidore de Séville , et ensuite des ouvrages véritablement savants, que vers le Xlh siècle on a tirés de l'Espagne et traduits de l'arabe en latin. Ceux-ci paraissent aujourd'hui, d'après les citations que nous avons faites, avoir été en très-petit nombre; car, après avoir trouvé des traductions d'Ëuclide, de Théodose, de Ptoiémée, d'Alhazen, de Mohammed ben Musa, nous avons auguré seulement, de quelques passages de l'Optique de Vitellion, que les Coniques d'Apollonius étaient connues, mais nous n'avons eu à citer aucune traduction de cet ouvrage important, ni de ceux d'Archimède, de Héron , de Ménélaûs, de Pappus, de Serenus, de Proclus. Cependant nous ne pouvons croire que les ouvrages de ces Géomètres grecs, dont il existait de nombreuses traductions arabes , n'aient pas pénétré chez les chrétiens d'Europe au XII' et au XIII'* siècle, en même temps que les Éléments d'Ëuclide. Et, en effet, il existe des traductions latines de quelques-uns ^ Mais leur rareté, et le silence gardé sur les Géomètres qui en ont été les auteurs, ou qui s'en sont servis, prouvent que ces ouvrages ont été peu connus, et que les sciences mathématiques, à la fin du XIV** siècle, étaient encore dans l'enfance, en comparaison de l'état florissant qu'elles avaient atteint dès les premiers temps de l'Ecole d'Alexandrie chez les Grecs , et dès le IX"* siècle chez les Arabes ^.

Mais, au XV* siècle, qui est l'époque de la renaissance générale des lettres, des sciences xv« sitcLs. et des arts, en Europe, les sciences mathématiques reçurent une impulsion nouvelle et féconde, qui prépara rapidement les grands progrès qu'elles firent dans le siècle suivant. Cette impulsion fut provoquée par la connaissance des ouvrages grecs , que l'on étudia pour la première fois dans leur langue originale, et dont on prépara aussitôt des traductions qui tirent connaître, dans toute sa pureté, la Géométrie d'Ëuclide, d'Archimède, d'Apollonius, et des autres grands écrivains de l'Antiquité.

Ces premiers pas étaient déjà un progrès notable dans l'étude des sciences, qui suflSrait seul pour rendre célèbre le XV' siècle. Mais, en même temps, un autre élément scientifique» en quelque sorte étranger aux connaissances des Grecs, l'Algèbre indienne, qui languissait depuis bientôt trois cents ans en Europe, sans qu'on parût y faire attention, fut reproduite de nouveau; ses usages furent enseignés, et son importance mise dans tout son

' Particnlièremrat dans le manoscrit de la Bibliothèque royale iDtitolé : Mathematica (sopplémeot laiin, BP48, iiHfol.). M. Libri a donné, dans son Histoire de$ sciences malhématiques en Italie , 1. 1, pag. i65, la lista du oawngti qoi se trouvent dans ce volume.

* l\ feut contenir, toutefois, que nous connaissons très-imparfaitement Pbistoire du Moyen âge, que Pou a oégligée iusquMci, tout occupé que Pou a été , depuis le XV< siècle, d*étudier la littérature et les sciences grecques, •t de puiser aux sources incomparablement plus précieuses qu*elles nous ont offertes , pour établir les fondements de DM oDonaissances.

jour. L'alliance entre elle et la Géométrie , que Fibonaeci avait prescrite , ne fut plus une idée stérile y mais un principe mis déjà en pratique. Enfin quelques ouvrages originaux , premiers essais du génie, et premières applications des connaissances empruntées des Grecs et des Arabes, viennent encore contribuer à Téclat du XV® siècle. Ajoutons que Tinvention de Timprimerie, qui prit naissance au milieu de ce siècle, apporta un secours immense et merveilleux aux efforts de Tesprit humain, auparavant entravé et rebuté par la rareté et la défectuosité des manuscrits. Cette invention mémorable était le complément, en quelque sorte, d'un autre grand événement du XV*' siècle, la prise de Gonstantinople , qui livrait à l'Europe les arts, la littérature, la philosophie et les sciences de la Grèce ancienne ^

Nous allons passer rapidement en revue les Géomètres à qui sont dus les premiers travaux d où datent nos progrès dans les sciences.

A leur tète on trouve Purbach, et surtout son célèbre disciple Regiomontanus.

Le premier est connu surtout comme Astronome, et comme auteur du livre des Théoriques des planètes ^. Cet ouvrage était une suite de la Sphère de Sacro Bosco, destiné à complétera connaissance de TAImageste de Ptolémée, que Purbach avait débarrassé des calculs et des démonstrations géométriques. Ensuite Purbach entreprit une traduction sur le texte grec, récemment apporté en Europe par le cardinal Bessarion, de la partie géométrique de cet ouvrage de Ptolémée. Cette traduction , qu'une mort prématurée lempécha de terminer, fut continuée par Regiomontanus, et parut à Venise en 1496, sous le titre : Ptoletnei Alexandrini astronomorum principis in magnam constrtictionem Georgii Purbachii, ejusque disdpuli Johannis de Regiomonte astronomicon epitoma. Venetiis, 1496, in-folio.

Les deux savants traducteurs substituent, dans les calculs trigonométriques de Ptolémée, les sinus aux cordes, ainsi qu'avait fait Albategnius, et après lui les autres écrivains arabes ; mais ils conservent les expressions ^^^^ , et ne font pas usage des tangentes, qulbn- Yoùnis avait connues et qu'Aboul Wcfa avait introduites dans la Trigonométrie, cinq cents ans auparavant. Plus tard Regiomontanus les imagina, à son tour, et en fit une table connue sous le titre de Table féconde , qu'il lui donna.

Regiomontanus est l'un des hommes les plus remarquables que présente l'histoire des Mathématiques. L'universalité de ses connaissances, la fécondité extrême de son esprit infatigable, et le nombre de ses productions, peuvent le faire regarder comme le véritable restaurateur des sciences en Europe. Ces productions comprennent, d'une part» les principaux ouvrages des grands Géomètres de l'école d'Alexandrie : Ëuclide, Archimède, Apollonius, Ménélaûs, etc., que Regiomontanus, le premier, lut dans leur langue ori-

' Plusieurs autres événements contemporains, comme la découverte de l'Amérique , du Cap de Bonne-Espérance el des Indes Orieniales, qui amena le perfectionnement de TAstronomie, de TOptique, de la Géométrie, vinrent contribuer aussi à raclivité générale des esprits, et à l'impulsion forte que reçut la culture des sciences à cette époque.

* Theoricœ Planetarum, imprimé pour la première fois à Venise, in-4o, 1488, vingt-huit ans après la mort de Pauteur, et réimprimé depuis, un grand nombre de fois, le plus souvent avec des commentaires.

chinas, qu'il pense que cet art lui est trés-familier ^; et celui-ci, en effet, s'en sert aussi dans ses réponses à Regîomontanus.

Les livres 3, 4 et 5 traitent des triangles sphériques.

Le livre 3 est dans le genre des Sphériqties de Ménélaûs. Le livre 4 renferme une Trigonométrie complète; et, le livre 5, divers problèmes qui sont résolus pour la premidre fois. On y remarque celte proposition, qui correspond à ime propriété des triangles plans» connue des Grecs : L'arc de grand cercle qui divise en deux également l'angle au sonunei d'un triangle aphériquej fait, sur la base, deux segments dont les sinus sont entre eux comme les sinus des cotés qui comprennent l'angle.

Regiomontanus a écrit un Traité d'Arithmétique pratique, qu'il appela Algorismus demottstralus. C'est l'ouvrage que Schoner a imprimé en 1534, sous le titre Algorithmus démon* stratus; changeant ainsi le mot algorimus en aJgorithmus, parce qu'il pensait que l'ouvrage de Regiomontanus, dont il avait trouvé une copie, avait dû être intitulé par ce géomètre algorithmes y ce mot provenant, dit-il, du mot grec apcGtJu^ç, altéré par les Sarrasins. Schoner ignorait donc que le mot algorismus était consacré depuis plusieurs siècles, oomme on le voit par les ouvrages de Sacro Bosco, de Vincent de Beauvais, etc., pour désigner notre système de numération ^; et qu'ainsi c'était à dessein que Regiomontanus Pavait employé. Cet ouvrage, que nous avons déjà eu occasion de citer plusieurs fois, est très* remarquable sous un rapport dont nous n'avons point eu encore à parler; c'est qu*il fait partout usage de lettres au lieu de quantités numériques, suivant la coutume du temps; et ces signes abstraits, qui constituent la forme des sciences mathématiques modernes , spot employés même pour exposer le système de numération , et pour démontrer les règles de l'Arithmétique pratique. Si une mort prématurée n'avait enlevé Regiomontanus dans la première période d'une carrière si brillante , peut-être lui aurions-nous dû la grande conception de Viète.

Dans le recueil de lettres que nous avons cité précédemment, on remarque une solution trigonométriquc de la question de construire, avec quatre côtés donnés, un quadrilatère qui soit inscriptible au cercle. Nous avons donné, en parlant de la Géométrie des Indiens» une notice historique sur ce problème, dont plusieurs géomètres se sont occupés dans le