XVI- siècle

Nous ne parlerons point des autres ouvrages de Regiomontanus, dont le nombre est très-considérable, mais dont la plupart, malheureusement, sont restés inédits. La liste sVn trouve dans plusieurs ouvrages dont nous citerons, comme étant les plus répandus» Vllistoria matheseos de Heilbronner, et VHistoria astronomiœ de Weidier.

On concevra, à l'inspection de cette liste, d'autant plus étonnante que l'auteur a été

* Sed nunc eam eligi quam vobis arbitror familiarissimam , per artem videlicet rei et censHS qitod batin abêolvendo^ p. 9-4 du premier Tolume du recueil cité.

* l.a plAce ancienne mise au jour par Clichtovée, sous le titre Opusculum de praxi numerorum, qvod ntgth' rismum vacant^ et quelques autres, restées manuscrites (dont deux existent à la BiMIotbàque Soint«*-Geo6vièia, ifl une en ftançaiSy à la Bibliothèque de TArsenal), disent que le mot algorismus proTÎent dn nom d*iui ^ilolopba appelé Aigus. Mais on ue trouve aucune preuve de cette origine.

en allemand, et qui a été reproduit en latin sous le titre suivanl, qui fait connaître Tobjet de cet ouvrage : Instilulionum geometricarum libri qualuor^ in quibuê lineas, super fideê ei solida corpora ita tractavity ut non matheseos solum studiosiê, sed et pictorilmSf fabrU œrariis ac lignariiSy lapicidis, statuariis, et universis demùm qui circino, gnamone, libella y aut alioqui ce^Hâ mensurà opéra sua examinant , sint summè utiles et necessarii.

Dans le premier livre, Albert Durer apprend à décrire différentes lignes courbes; on y trouve plusieurs hélices planes, cylindriques, sphériques et Coniques; la description de lellipse par rallongement des ordonnées du cercle dans un rapport constant, ou bien en la considérant comme la section d'un cône droit, que Tauteur appelle pyramide, il apprend à décrire aussi les deux autres sections coniques : Thyperbole et la parabole. C*esl Tun des ouvrages les plus anciens, chez les iModernes, qui aient traité des sections coniques.

On trouve aussi, dans ce premier livre, la description, par points, de répicycloîde engendrée par un point du plan d'un cercle qui roule sur une circonférence fixe.

Dans le second livre, on trouve Tinscription des polygones dans le cercle, et différentes autres figures régulières formées par des arcs de cercle; puis une quadrature du cercle et la manière d assembler différents polygones pour remplir exactement une surface plane; on n'y voit point les polygones étoiles. Après avoir donné la construction du pentagone inscrit au cercle, qui se trouve dans le premier livre de TAlmageste de Ptolémée, Durer apprend à construire un pentagone régulier sur un côté donné; et sa construction a eela de remarquable qu elle se fait avec une seule ouverture de compas; mais elle n*est qu'approximative, et la figure, qui a conservé le nom de pentagone de Durer, n'a pas tous ses angles égaux*, ainsi que lont démontré J.-B. de Benedictis^ etClavius' dans le siècle suivant. Cependant, à cause de sa facilité, la construction de Durer est employée par la plupart des architectes.

Le livre 3 traite des corps solides, des colonnes et des pyramides de différentes formes, et des lignes qu'on trace sur leurs surfaces, dans les arts; de la construction des cadrans solaires, et de celle des lettres de l'alphabet.

Dans le cinquième livre, l'auteur donne la description des cinq corps réguliers, et de plusieurs autres corps formés par des polygones réguliers, mais non tous semblables entre eux, comment sont les treize corps semi-réguliers d'Archimède. Puis on trouve plusieurs solutions de la duplation du cube; et enfin un Traité de Perspective, dans lequel Durer a imaginé le premier instrument connu, pour faire la perspective mécaniquement, sur un verre ou une toile transparente. C'est surtout pour cette partie que l'ouvrage de Durer est cité dans l'Histoire des iMathématiques.

Léonard de Vinci, l'un des plus grands peintres de l'Italie, fut un de ces génies rares qui manient avec une égale facilité tous les objets des connaissances humaines, et dont le nom se présente dans l'histoire de chacune d'elles. Il cultiva particulièrement les Ma-

I Chacun des angles (Kun vrai pentagone régulier est de 108 degrés. Dans le pentagone d'Albert Durer, deux angles sont de 107* 3' ; deux autres de 108» 22', et le cinquième a i09« iâ'. * Diversarum speculationum mathematicarum et physicarum Liber ; Turin 1585, in-4». » Geometria practica, lib. VIII, prop» 29.

sur deux poinls fixes. L'histoire de la science serait intéressée à connaître les considérations de Géométrie qui Font conduit à ce beau résultat.

Malgré tout Tintérél que cette question, considérée comme moyen nouveau et général de décrire les courbes, devait oiïrir, et dans les arts, et comme pure spéculation géométrique, elle n'a fait presque aucun progrès jusqu'à ce jour. Si nos recherches historiques à ce sujet ne nous induisent point en erreur, nous croyons qu elle n a fixé l'attention que d'un seul géomètre, le célèbre Clairaull, qui Ta traitée dans un Mémoire lu, en 1740, à l'Académie des sciences. Après avoir signalé le nouveau mode de description des courbes, dont le tour à ovale offrait le seul exemple connu, Clairaul dit avoir supposé d'abord que la courbe décrite sur ce tour devait être une eonchoïde du cercle, mais qu'il n'a pas tardé ù reconnaître qu'elle est une vraie ellipse d'Apollonius. Puis il fait deux applications de ce nouveau mode de génération des courbes. Il suppose, dans la première, qu'un cercle roule sur une droite; et, dans la seconde, qu'un cercle roule sur un autre cercle. Un stylet fixe imprime sa trace sur le plan du cercle mobile, et cette trace forme une courbe dont Clairault cherche les équations. Sa solution est entièrement analytique, et les équations auxquelles il parvient contiennent même des intégrations qui ne sont pas effectuées. Dans un seul cas les intégrales disparaissent, et Ton reconnaît la spirale d'Archimède.

Ainsi, sous le rapport géométrique, Clairaull a laissé cette question intacte; cest-à-dire que les diverses propriétés géométriques de ce mode de description des courbes, ses rapports avec la description ordinaire par un point mobile, et la manière de substituer un mode de description à l'autre, pour produire la même courbe, sont encore des questions neuves.

Ces questions nous paraissent, tant sous le rapport théorique qu'à cause de leurs applications aux arts, mériter d'entrer dans les spéculations de la science. Nous y reviendrons dans un autre écrit. Pour le moment nous renvoyons à la Note XXXIV, où se trouvent quelques développements sur cette théorie, qui offre un exemple assez remarquable de dualilé. Nous nous bornerons à ajouter ici que de cette théorie il résultera, sans caleul, (|ue les courbes dont Clairault a trouvé des expressions algébriques fort compliquées, qui ne lui ont permis de reconnaître la nature que d'une seule d'entre elles, la spirale d'Archimède, sont tout simplement des épicycloïdes. Les unes peuvent être engendrées par un point mobile, lié fixement à une droite qui roule sur une circonférence de cercle; et les autres, par un point du plan d'une circonférence de cercle qui roule sur un cercle fixe.

J. Verner n'a pas été un écrivain d'un esprit aussi vaste et aussi fécond que Léonard de Vinci et Regiomonianus, les deux plus grands hommes du XV'' siècle que nous ayons nommés. Mais, considéré comme simple géomètre, il nous parait devoir être placé immédiatement après Regiomontanus. Ses ouvrages ne sont point l'imitation ou la reproduction des ouvrages grecs, comme c'était l'usage dans ces premiers temps de la culture des sciences; mais ils sont le fruit des propres idées de l'auteur et portent, avec le cachet de l'originalité, celui d'une excellente et solide Géométrie.

Dans un livre qui a été imprimé en 1352, Verner traite des sections coniques, de la

La première partie est un Traité complet de TArithmétique spéculative, qui considère les propriétés des] nombres, et de T Arithmétique pratique.

L'Arithmétique spéculative est dans le genre des ouvrages de Nicomaque » de ThéoD» de Boècc et de Jordan Nemorarius. Mais elle est terminée par une partie sur les nombres carrés, qui ne se trouvait pas dans ces ouvrages, et qui est très-remarquable. C'est une suite de questions qui appartiennent, aujourd'hui, à l'Analyse indéterminée du second degré. Lucas di Borgo en donne seulement les solutions sans démonstration; il les emprunte, dit-il 9 du Traité des membres de Léonard de Pii^e, où elles étaient démontrées jHir des considérations et sur des figures géométriques. Ces solutions, particulièrement celle qui se rapporte ù lequation x-^ + t/^= A, sont différentes de celles de Diophante, et sont les mêmes que celles qu'on trouve dans les ouvrages indiens, et qui ont été imaginées dans le siècle dernier par Euler, ainsi que nous l'avons déjà dit en parlant de la Géométrie de Brahmegupta.

L'Arithmétique pratique commence par l'exposition du système de numération, « dont les premiers inventeurs, suivant quelques-uns, dit Lucas di Borgo, sont les Arabes; ce qui fait que cet art a été appelé abaco pour dire el inuodo arabica; mais d'autres » ajoutet-il, font dériver ce nom du mot grec ^ » On trouve les quatre opérations fondamentales de l'Arithmétique ', la théorie des progressions, et l'extraction des racines carrées et des racines cubiques des nombres, arilhmétiquement et géométriquement; puis le calcul des fractions; les règles de trois; celles de fausse position, que Tauteur appelle, d'après Léonard de Pise, règles iVHelculaym, el qu'il aKribue aux Arabes, mais qui leur venaient des Indiens; cl l'Ariilimétique commerciale, traitée avec une grande profusion de questions et d'exemples ; cette partie de l'ouvrage a été imitée par beaucoup d'auteurs allemands, dans la première moitié du XVI" siècle.

Lucas di Borgo, en passant à l'Algèbre (Distincti o octava)^ la regarde conune la partie de la science du calcul la plus nécessaire à l'Arithmétique el à la Géométrie. Il dit qu'on rappelle communément VArte maggiore, ou la règle de la cosa, ou Algebra e Àlmucabain. Comme cet ouvrage est le premier Traité d'Algèbre qui ail été imprimé, et qu'on a

* Ce passage fait voir que, du temps de Lucas di Borgo, on n'était pas fixé sur la vraie origine de noire système de numération. La signification que nous avons donné au mot CLbacus^ employé par Boéce, uous autorise à adopter la seconde sup|>osition de Lucas di Borgo, c'est-à-dire ù regarder le mot ab(ico comme dérivé da grec. Quoiqu'il en soit, ce passage mérite d'être pris en considération dans les recherches sur l'origine de notre système de numération.

■ L'auteur donne plusieurs procédés pour chaque opération. Parmi ceux de la multiplicalioD se trooTe aoe méthode indienne , donnée par Ganesa dans ses commentaires sur le Lilavati de Bhascara, qui consiste à écrire le produit de chaque cbifTre du multiplicande par chaque chiffre du multiplicateur, en plaçant séparément, dans les deux cases triangulaires d'un carré, les chiffres des unités et des dizaines. Ceue méthode ingénieuse, sur laquelle repose celle des bâtons de Neper, paraît avoir été très-u.«itée dans le Moyen âge et au XVI« siècle: car on la trouve dans plusieurs manuscrits {voir les n»' 7378. A et 7352 des manuscrits de la Bibliothèque royale de Paris) el dans plusieurs ouvrages imprimés, dont nous citerons le Compendion de la abaco de Peilos; VArithmelica praclica d'Oronce Fi née ; VArithmelica practica de Peverone, et Ivs Schotœ maihematicœ de Ramus. M. Libri Ta trouvée aussi dans un ouvrage chinois. {Histoire des sciences mathématiques en limik, lom. L pag.34i.)

routunie de le regarder comme ayant initié les géomètres dans cette science, il est essentiel de remarquer que Lucas di Borgo ne présente point TAIgèbre comme un art nouveau, mais bien comme une chose connue depuis longtemps du vulgaire (del vulgo). Cela s'accorde avec la remarque que nous avons faite en rendant compte du traité De triangulis, de Regiomonlanus, qui parle aussi des régies de 1* Algèbre comme d'une méthode familière aux géomètres. On peut en conclure que, depuis le Xllh siècle, où TAIgèbre a été introduite en Europe par Fibonacci ^ et par les traductions qu on a faites alors de Touvrage de Mohammed ben Musa , cette science a toujours continué d'être cultivée.

Lucas di Borgo démontre d'abord la règle des signes; il apprend à faire les opérations arithmétiques sur les quantités irratioimellcs, et démontre la plupart des propositions du dixième livre des Eléments d'Euclide, qui forme une théorie étendue de ces quantités. Puis il passe aux équations du second degré, dont il considère trois cas, comme nous lavons dit en parlant de TAIgèbre de Mohammed ben Musa. Il dit que plusieurs autres équations d'un degré supérieur peuvent être ramenées i\ celles-là. Jl considère les équations qui contiennent l'inconnue, son carré, et sa quatrième puissance; ce qui donne lieu a huit eas qui s'expriment, par les symboles actuels, de cette manière :

X* = a , X* -♦- ax = 6x*,

X* = ax, X* -♦- a s= 6x*,

x*=ox', x*-4-ax* = 6,

X* -h ox* = bx, X* = a -¥■ 6x*. '

Il apprend à résoudre les trois premières et les trois dernières; mais la quatrième et la cinquième, dit-il, sont impossibles. En effet, elles ne peuvent se réduire au second degré, mais seulement au troisième. Cela prouve qu'au temps de Lucas di Borgo la résolution des équalions du troisième degré était inconnue.

Cette première partie de l'ouvrage (Arithmétique et Algèbre) est terminée par les règles de société et une foule de questions relatives aux opérations commerciales, et même à la tenue des livres en parties doubles.

Dans beaucoup de passages, Lucas di Borgo se sert de considérations géométriques pour illustrer ses règles de calcul; il démontre ainsi les règles de fausse position; la règle des

' Nous nous conformerons à l^opiiiion reçue , en répétant que Fibonacci , a , le premier, introduit PAlgèhre en Europe, au commencement du XIII* siècle; mais nous pensons cependant que, depuis un siècle au moins, on iTait déjà quelque connaissance de celte science; et nous fondons cette opinion sur ce fait, rapporté précédemneot, que Jean Hispaleusis a écrit dans le Xll« siècle, sous le titre d*Algorismug, un Traité d*Aritbmétique, à h suite duquel se trouve la résolution des équalions du second degré, extraite, est-il dit, du livre De Gebrà HMucabaià.

' Lucas di Borgo énonce ses équations en langage ordinaire; seulement, par abréviation, il se sert des lettres p et m pour signifier p/iM (più) et moins [mètw)] il se sert du mot égal^ mais non du signe =. 11 appelle riaooQone eo$a; son carré censo; sa quatrième puissance censo de censo; et la quanUté connue il numéro. De iorte quMI énooce la dernière équation , par exemple^ ainsi : censo de censo equale a numéro e censo.

signes en Algèbre, et les fornuiles pour la résolution des équations du second degré. Nous (liions voir que, réciproquement, dans la seconde partie de Touvrage , qui traite de la Géométrie, Lucas di Borgo fait un grand usage de TAIgèbre.

Ce Traité comprend des Eléments de Géométrie assez complets. Il repose en partie sur les Eléments d'Euclide; cependant, comme il en diffère sous plusieurs rapports, nous allons en donner l'analyse. Il se divise en huit parties, en considération, dit Fauteur, des huit béatitudes (a reverentid de le 8 beatitudine).

Dans la première , qui traite des figures triangulaires et quadrilatérales, on trouve la plupart des propositions qui font lobjet des livres 1, 2 et 6 d'Euclide. L'auteur démontre, a la manière des Indiens, que Faire du triangle est égale au produit de la base par la moitié de la hauteur; il démontre la formule de Faire en fonction des trois côtés, comme Fibonacci elles trois frères arabes Mohammed, Hamet et Ilasen, dans leur ouvrage intitulé : Verba filiorum Moisi filii Schaker. Il apprend à calculer la perpendiculaire dans un triangle , et pour cela il se sert du théorème des deux segments qu'elle fait sur la base. Il donne de ce théorème une démonstration géométrique très-remarquable. Il s'agit de prouver que la différence des carrés des deux côtés du triangle est égale à la différence des carrés des deux segments faits par la perpendiculaire sur la base ; ou bien , que le produit de la somme des deux côtés, multipliée par leur différence, est égal au produit de la base multipliée par la différence des deux segments. Lucas di Borgo construit une figure dans laquelle se trouvent les expressions géométriques des quatre facteurs qui forment cette égalité; et, par la comparaison de deux triangles semblables, il conclut que le premier produit est égal au second. Cette démonstration est très -élégante et élémentaire, puisqu'elle ne fait pas usage de la proposition du carré de Fhypoténuse. Elle a été reproduite par Tartaica , dans son General Traitalo di Numeri e Misure (4" parte, folio 8).

Dans la deuxième partie, on résout de plusieurs manières ce problème: Étant donnés les trois côtés d'un triangle et étant pris deux points sur deux d'entre eux, trouver la longueur de la droite qui joint ces deux points.

La troisième partie traite de Faire des quadrilatères et des autres polygones; on y résout plusieurs problèmes sur les rectangles, par la voie algébrique : Lucas di Borgo se sert des formules qu'il a enseignées précédemment pour la résolution des équations du second degré.

La quatrième partie comprend les propositions qui sont l'objet du Z'' livre d'Euclide,et la mesure du cercle. L'auteur démontre le rapport y, comme Archimède, par l'inscription du polygone de nonante-six côtés ; et apprend à former la Table des cordes des arcs, donnée par Ptolémée dans le premier livre de FAImageste.

La cinquième partie traite de la division des figures dans des rapports données; c'est cette partie de la Géométrie qui fait Fobjet de Fouvrage De superficierutn divisionibus, de Mahomet Bagdadin, qu'on regarde comme imité d'un ouvrage d'Euclide, ou comme étant de ce géomètre lui-même. Lucas di Borgo complète cette matière, en traitant aussi de la division du cercle, suivant des conditions données.

Cette solution ressemble» par son élégance et sa simplicité, i celles que nous avons remarquées dans les ouvrages indiens.

Trouver le diamètre du cercle inscrit à tm triangle dont les côtés sont amnus.

Dans un triangle, décrire deux cercles égaux, tatigents entre eux, et dont chacun Kmche deux côtés.

Étant donné un cercle, en décrire trois, ou quatre, ou cinq, ou six autres égaux enire eux, tangents au cercle proposé, tels que le premier touche le second, le second UnuAe le troisième, le troisième touche le suivant, etc.

Trouver le diamètre du cercle circonscrit à un triangle dont les côtés sont donnés.

Étant donnée l'aire d*un triangle dont on sait que le second côté surpasse le premier d'une unité, et le troisième côté surpasse le second aussi d'une unité, quels sont les côtés du triangle?

L'aire du triangle étant 84, Lucas di Borgo détermine ses côtés par une équation du quatrième degré , résoluble comme celles du second ; il trouve, pour ces côtés, les nombres 1 3, 14 et 15.

Par les sommets d'un triangle, on élève trois perpendiculaires sur son plan, et l'on demande de déterminer le point de ce plan qui se trouve à égale distance des extrémités des trois perpendiculaires.

Étant donné un triangle, on demande le diamètre du cercle qui, étant tangent à ses deux côtés, aura son centre sur la base.

Dans tous ces problèmes les données sont numériques, et leurs solutions sont algébriques et dépendent, la plupart, d'équations du second degré.

Pareillement, dans les premières parties de Touvrage, qui forment des Éléments de Géométrie, les figures sont toujours exprimées par des nombres , comme s'il s^agissait de faire une application particulière d'un théorème. Ainsi, par exemple, pour démontrer la formule qui donne Taire du triangle, en fonction des trois côtés, l'auteur prend le uriangle ABC dont les côtés sont 13, 14 et 15, et se sert toujours, dans tout le cours de son raisonnement, de ces nombres, à la place des côtés, que les Grecs employaient d'une manière abstraite en les désignant ainsi AB, BA, CA. Cette métbode était empruntée des Arabes, qui la tenaient des Indiens ; elle a été suivie exclusivement par tous, les géomètres du XW siècle. Cardan, Stifel, Tartalea, J.-B. Benedietis, Memmius, Commandin, Clavius, Stevin : Ad. Romanus, Ludolpb Van Ceulen, etc., jusqu'à ce que Viète introduisit Fusage des leures dans l'Algèbre. Nous dirons plus loin la cause de cette manière de procéder, les avantages qu'elle oifrait et les graves inconvénients qui en résultaient.

Lucas di Borgo a laissé deux autres ouvrages, qui méritent d'être cités, mais qui n*ont pas l'importance de celui dont nous venons de présenter l'analyse. Le premier est intitulé : Lucœ Pacioli divina proportione, opéra à tutti glingegni pcrspicaci e curiosi necesêaria; ove ciacun studioso di philosophia, prospettiva, pictura, sculptura , architectura, musica e altre matematiche, soavissima, sottile e admirabile dottrina consequira e delectarassi con varie questione di secretissima scientia. Venetiis, 1509, in-4''. L'auteur appelle proporiion^ divine la division d'une droite en moyenne et extrême raison , dont il démontre de nom—

ment nombreux; on y remarque partieulièrement toutes ies propositions du 13* livre d*Euclide, qui s*expédient faeilement par le ealeul des équations du second degré. Cet ouvrage, il est vrai, est postérieur de près d'un demi-siècle à celui de Lucas di Borgo; et Ton pourrait croire que les différences que nous venons de signaler sont le fruil de la culture, pendant ce demi-siècle, des principes mêmes enseignés par Lucas di Borgo. Mais louvrage de Stifel n'est, dans tout ce qui concerne celte partie de FAIgèbre, qu'une imitation des ouvrages de deux autres algébristes allemands, Adam Risen et Christophe Rudoiff, qu'il cite souvent avec de grands éloges, le second surtout. On avait déjà de celui-ci un traité d'Algèbre en allemand, imprimé en 1522 sous le titre Die Coss, et dont il a été fait, dans le temps, en Italie, une traduction latine qui existe dans les manuscrits de la Bibliothèque royale (n"" 7565, in-4% des manuscrits latins), sous le titre : Àrithme^ tica Christophori Rodolphi ab Jamer, è germanicà lingm in latinam à Chrisiopharo ÀuverOy Pétri Danesii mandato, Romœ anno Christi 1540 conversa. Nous avons reconnu, dans cet ouvrage, les progrès notables de l'Algèbre et ses applications à la Géométrie , que nous venons de signaler dans celui de Stifel. On trouve encore, dans quelques petits Traités d'Arithmétique , qui ont paru en Allemagne dans les premières années du XVi* siècle, •des exemples de l'application de règles du calcul aux questions de Géométrie : ainsi, dans un Algorithmtis de integris et minutiis, imprimé à Leipsick en 1507, les règles de fausse position sont appliquées à cette question : Étant donnés un côté de l'angle droit d'tm triangle rectangle, et la somme des deux autres cotés, trouver ces cotés. Nous rappellerons enfin que, dès le XV'' siècle, Regiomontanus et l'astronome Blanchinus étaient très-versés dans la pratique des règles de l'Algèbre, et que le premier en fait usage dans son Traite De triangulis, pour résoudre les propositions de Géométrie.

Ainsi, nous pensons pouvoir dire avec certitude que l'Algèbre, dès les premiers temps du renouvellement des sciences en Europe, a été cultivée, et appliquée particulièrement aux questions de Géométrie, et que le caractère des sciences mathématiques, au XVI* siècle, qui est résulté de cette union intime entre l'Algèbre et la Géométrie, s*est manifesté même avant qu'eût paru l'ouvrage de Lucas di Borgo; mais que celui-ci ayant été, le premier, mis au jour par la voie de l'impression, est devenu le plus répandu et a eu la plus grande influence sur les progrès des sciences mathématiques et la direction qu'elles ont prise.

Les bornes de cet écrit, que nous avons déjà depuis longtemps dépassées, ne nous permettent pas de donner une analyse des ouvrages de Cardan, de Tartalea, de J. B. Benedictis * et de quelques autres Géomètres du XVP siècle, où nous aurions aimé à étudier la

' J.-B. Benedictis , dans son ouvrage intilulé : Diversarum spéculationum mathemcUicarum et phyêécarum liber; Taurini, 1583, in-fol., fait usage, continuellement, déconsidérations géométriques pour démonU^rov vérifier les règles d'Arithmétique et d* Algèbre. Voici un exemple curieux de cette méthode. L*autenr se propose une question à trois inconnues, qui s'exprime par les équations a? + y =: a, y-f-z=:&, 2-4-â:sBc.nU résout algébriquement; et, pour vérifier ies expressions qu'il a trouvées pour les inconnues, il se sert de celte oottsidération géométrique : Qu'on forme un triangle qui ait pour côtés les trois nombres a, b, c, et qu'on iuisnêerive un cercle tangent à ses trois côtés : les segments que les points de contact formeront sur ces côtés serotU Us

marche de cette science, qui différait tant alors, par sa forme, de celle des Grecs, à en suivre les pas et à en constater les progrès , jusqu'aux travaux de Viète qui lui ont fait subir une nouvelle transformation éminemment heureuse, nécessaire pour assurer à la Géométrie, dans toute retendue de ses besoins, les secours que la science du calcul devait lui prêter.

Mais il nous faut bien préciser cette nouvelle forme qu'a prise la Géométrie , qui fait la différence immense entre les ouvrages du XVI* siècle et ceux du XYII", et d'où datent véritablement les grands progrès qu elle a a faits depuis.

La Géométrie, dans tout le cours du XVP siècle, différait essentiellement de celle des Grecs, sous un certain rapport, c'est qu'elle n'opérait que sur des données numériques, ainsi que nous l'avons déjà dit, h la suite de notre analyse des ouvrages de Lucas di Borgo. Cela était une conséquence naturelle de l'union intime qui s'était établie entre cette science et l'Algèbre, union qui n'était possible qu'avec des données numériques, car l'Algèbre alors n'élait qu'une Arithmétique supérieure, exclusivement numérique, qui ne différait essentiellement de l'Arithmétique ordinaire que par l'usage de la règle des signes, Cl du mécanisme des équations; elle n'était point une science de symboles abstraits, <H)mme Viète l'a constituée sous le nom de Logistique spécieuse. Les opérations et les artifices de calcul , qui simplifiaient les démonstrations et remplaçaient les considérations f^métriques dont tout Géomètre grec aurait fait usage exclusivement, n'étaient donc possibles, dans le XVP siècle, que quand la Géométrie se faisait sur des données numériques.

-mxileurs des trois inconnues x, y, z; d*ob Ton conclut immédiatement que les valeurs de ces inconnues sont ^ -s *"** "^^ etc., comme le calcul les avait données. {Voy. pag. 82.)

Benedictis construit géométriquement , comme on fait aujourd'hui, la racine positive de Péquation x^-^-ax^^b*. 1 1 est Trai quMI ne propose pas précisément cette équation ; mais elle exprime immédiatement la quesUon qo'il r^ëflout, et qui est cellen^i : Étant données deux droites a, b, on demande den trouver une troisième x, telle ^ue ton ait (x -h a) x == b*. ( Voy. pag. 368.) C'est peut-être le premier exemple de la construction géométrique «t^iine équation du second degré. Car les problèmes qu'Euclide a résolus (Propositions 28 et 29 du 6* livre des Jëlémenls^ et Propositions 84, 83, 86 et 87 des Données), bien que, traduits en Algèbre, ils conduisent finalement àà aoe équation du second degré, différaient essentiellement, par leur énoncé géométrique , d'une question algétorique.

Les ouvrages de Cardan et de Tartalea, infiniment supérieurs à celui de J.-B. Benedictis, font aussi constammeol usage de K Algèbre en Géométrie et de la Géométrie en Algèbre. Les principes d'une alliance intime entre deux sciences sont exprimés trop formellement, et les exemples en sont trop nombreux, pour que nous ayons MU d*insister sur cet objet.

Outre la parUe algébrique des ouvrages de Tarlalea , qui est la sixième partie de son Traité général des nombres et des mesures, ce Géomètre avait composé un Traité d'Algèbre, sous le titre d'Algebra nova, qui ne nous est pas parvenu, et dont la perte est bien regrettable. Dans la cinquième partie du Traité général (fol. 28 v«), Tarlalea donne la solution d'une question de maximum, dont la démonstration devait se trouver dans cet ouvrage d* Algèbre. Cette question est remarquable pour le temps ; il s'agit de diviser le nombre 8 en deux parties, telles que leur produit multiplié par leur différence, soit un maximum, La solution de Tarlalea est générale, et telle qoe la donnent les règles du calcul infinitésimal actuel. Prenez, dit*il, le carré de 8, ajoutez-y le tiers de ce carré, et prenez la racine carrée de la somme : ce sera la différence des deux nombres cherchés. Ce choix de rioconnue, la différence des deux parties du nombre proposé, est très-heureux et annonce une profonde coudes pratiques de la science.

Aussi c^est ce qui a eu lieu jusqu'à Vièle, ainsi qu*on le voit dans tous les ouvrages de cette époque ) Tune des plus mémorables de Thistoire de la science. Mais on conçoit que» de la sorte, la Géométrie avait perdu cette pureté de forme, et ce caractère de généralité et d abstraction auxquels s'étaient tant attachés les Anciens, et qui paraissaient être lapanage de cette science; et si, sous un rapport, il y avait des avantages réels, sous un autre, il y avait des inconvénients graves , provenant, d'une part, dece que l'esprit, en opérantsurdcs nombres, perdait de vue les objets qu'ils représentaient, et ensuite, de ce que, en effectuant au fur et à mesure les calculs , on détruisait la trace et le fil du raisonnement. Aussi les démonstrations géométriques sont-elles d'une lecture très-pénible dans les ouvrages du XVP siècle.

La Géométrie des Grecs avait donc subi une véritable altération, mais altération trèsbeureuse, puisque c'est dans cet état que Viète a dû la prendre, pour lui appliquer sa grande conception de l'Algèbre littérale, et lui rendre ainsi toute sa pureté et son abstraction primitives, en conservant néanmoins tous les avantages que la science du calcul pouvait lui apporter. Mais il est fort remarquable qu'il ait fallu , pour arriver à ce grand résultat, à ce perfectionnement de la Géométrie des Grecs, passer par un état d'altération, qui faisait perdre à cette science son caractère d'abstraction et de généralité, et qui la faisait descendre au rang des opérations concrètes et numériques.

Ces considérations peuvent nous faire regarder le XV' et le XVP siècle, comme mar* quant, dans l'histoire de la Géométrie, une époque de préparation et de transition, où s'est élaborée la nouvelle forme qu'ont prise les sciences mathématiques; et nous devons ajouter que les Indiens et les Arabes ont eu une grande part dans cette transformation et ce perfectionnement, puisque le germe s'en trouvait dans leur principe d'application de l'Algèbre à la Géométrie, et qu'ils l'ont développé eux-mêmes par leurs travaux d'un grand nombre de siècles.

au titre du texte grec, nspl ^lontpcti^ et Ta mis au jour dans ses commentaires sur Thistoire et la théorie de TOptique^. Cet ouvrage est un Traité de Géodésie, dans lequel se trouvent résolues graphiquement sur le terrain, à l'aide de l'instrument appelé la dioptre par les Anciens, une foule de questions de Géométrie pratique.

Ce Traité est digne du nom de Héron; il est un monument précieux de la Géométrie des Grecs, et doit prendre place à la suite des ouvrages d'Euclide, d'Archimède et d'Apollonius. U remplit une lacune qui existait dans les écrits qui nous sont parvenus de l'Antiquité. Car les Anciens ayant toujours distingué, sous le nom de Géodésie^ la Géométrie pratique de la Géométrie proprement dite ^, ils ont dû écrire particulièrement sur cette Géodésie; et cependant il ne nous était rien venu de Técole d'Alexandrie, sur cette branche de la Géométrie.

Nous connaissions seulement le Traité de Géodésie de Héron le jeune, postérieur de près de huit siècles à Héron Tancien. Mais cet ouvrage, qui se réduit aux opérations les plus simples, dépourvues de démonstrations , n'était pas digne de figurer à côté des ouvrages géométriques des Grecs. La proposition la plus importante qu'on y remarquât était la formule qui donne l'aire du triangle, en fonction des trois côtés. C'était le seul ouvrage grec où l'on trouvât cette foraiule, si répandue en Europe dès le commencement du treizième siècle, et qui paraissait d'origine arabe. Mais elle se trouve aussi dans le Traité de Héron l'ancien, où elle est démontrée par une construction géométrique très-élégante. C'est là probablement que Héron le jeune Ta prise, car il cite souvent les ouvrages de son homonyme et ceux d'Archimède, et de plus il se sert, dans l'application numérique qu'il fait de la formule, des trois nombres i 5, 14 et 15 pour côtes du triangle, qui sont ceux précisément de Héron l'ancien.

Ces trois nombres, et la formule en question, se rencontrent aussi dans la Géométrie des Indiens et dans celle des Arabes, et même chez les Latins, ainsi que nous l'avons dit en parlant des ouvrages de Brahmegupta.

Le Traité de Géodésie de Héron l'ancien étant encore à peine connu, nous allons énoncer plusieurs des questions qui s'y trouvent résolues au moyen de l'instrument qu'il appelle la dioptre. Elles font connaître ce qui constituait la Géodésie, ou Géométrie pratique chez les Grecs; et elles sont de nature à faire regretter que le texte original de l'ouvrage de Héron, et des versions, autres que celle de M. Vcnturi , n'aient pas encore été publiés ^.

* Commentari êopra la aloria e le leorie deir oUica. BologDa ; 1814, iD-4». Cet ouvrage se compose des quatre parties suivantes :

1« Cotiêiderasioni sopra varie parti deW oUica pressa di antichi;

2o Erone il meccanico del traguardo tradoUo dal greco ed illustrato cofi note ;

3*» DelF iride, degli aloni e dé paregli;

4^ Appendice intomo alV ottica di Tolommeo.

* Si enim in hoc differret solum Geometria à Geodœsia.quod hœc quidem eorum estquœ sentimuê, ilia vmro non sensibilium est, Aristote, liv. 2 de la Métaphysique, cbap. XI.)

' M. Venturi cite trois bibliothèques qui possèdent le Traité de HérCn ; ce sont la Bibliothèque royale de Paris, celle de Strasbourg et celle de Vienne; dans celle-ci Texemplaire est incomplet; il est le seul dont les Iràbliograpbes aient fait mention; on Ta pris, d*après Lambecius, pour un traité ôeDioptrique, — {Voir Fabricias, Bib. grœca, lib. 3, cap. XXIY; — Ueilbronner, Hist. math., pag. 282.)

M. Venturi a fait sa traduction sur une copie de Pexempiaire de la Bibliothèque royale, collatioané sur ceini de Strasbourg. Ce dernier est probablement Texemplaire qui a été en la possession de Dasypodius. Que aoat devenus les autres ouvrages de Héron, que ce Géomètre possédait aussi ?

Conrad Gesner dit, dans sa Bibliotheca universalis (sive catalogus omnium scriptorum tocuplelissiinuê tu tribus tinguis tatina, grœca et hebraïca. Tiguri; 1545, in-fol.) que le célèbre Diego HurUrdo de MeiulMft,à

Page 55, g 5.

Au nombre des Géomètres qui, » Timitation de Viète, ont fait des transformations de triangles sphëriqnes, il faut placer Albert Girard qui a fait aussi usage du triangle réciproque ^ dans sa Trigonométrie, imprimée en 16:26, un an avant celle de Snellius; mais ce Géomètre a compris sous ce mot les quatre triangles différents formés par les arcs de cercle qui ont pour pôles les trois sommets du triangle proposé; de sorte qu'il regarde, comme réciproques d'un triangle donné, le triangle de Viète et celui de Snellius.

Ce Traité de Trigonométrie d'Albert Girard, qui est à la suite d'une Table des sinus, tangentes et sécantes, est très-succinct , et néanmoins contient plusieurs choses intéressantes. Dans la préface, on voit que l'auteur s'était occupé de V Analyse géométrique des Anciens, et avait rétabli leurs Traités dont les titres nous ont été transmis par Pappus; il dit, à ce sujet, qu'après ce petit Traité de Trigonométrie, « qu'il donne comme échantillon, il mettra au jour quelque chose de plus grand. >

Page 68, ^ 14.

Fermât avait écrit sur les Lieux à la surface.

Mersenne nous l'apprend en ces termes : Omitto locos ad supei ficienij cujus isag^em vir idem Cl. (Fermalius) amicis communem fecit, et alia quœ utinam ab eo tanlum impetremus. (Voir Universœ Geometriœ mixtœque mathematicœ synopsis , in-4", iG44, p. 388.)

Page 81, § 27.

Nous avons dit que Desargues avait proposé la question de couper un cône à base elliptique , hyperbolique ou parabolique, suivant un cercle, et que Descartes en avait donné une solution fondée sur les principes de sa Géométrie analytique. Nous aurions dû ajouter que Desargues avait résolu aussi ce problème, par une construction graphique *. Ce que nous voyons dans la préface de la Synopsis universœ Geometriœ^ du P. Mersenne. Desargues réduisait ce problème à la recbcrchc de l'axe principal du cône, c'est-à-dire de celui qui jouit de la propriété qu'un plan qui lui est perjiendiculaire coupe le cône suivant une ellipse qui a son centre sur cet axe. Il construisait cet axe en employant deux lignes dont il déterminait autant de points qu*il voulait. Mersenne ne dit pas quelles étaient ces lignes : c'étaient probablement des sections coniques.

Après avoir déterminé les sections circulaires du cône. Desargues s'en servait pour résoudre différents autres problèmes, tels que de couper le cône suivant une conique semblable i une conique donnée, ou qui satisfasse à la condition que le plus grand angle, que font deux diamètres conjugués, soit de grandeur donnée.

* Arebimède a résolu ce problème pour le cas ou le sommet du cône est dans le plan mené par Pun des diamètres principaux de la conique, perpendiculairement à son plan; ce qu*on voit par les propositions 8 et 9 da livre Des Sphéroïdes et des Conoîdes.

Ces propositions montrent aussi qu' Arebimède avait déjà, avant Apollonius, considéré le oùoe oblique à baae circulaire; mais néanmoins c'est Apollonius qui, le prt*mier, a étudié la théorie des coniques daiM le état oblique.

Page 95.

On trouve, dans les lettres de Descartes, de nombreux passages relatifs à la Géométrie. Son volume : Opuscula posthuma (Amst. 1701, in-4°), contient aussi quelques morceaux de Géométrie. Il est à regretter que Ton n'ait pas encore songé à réunir tous ces passages épars, et i les comprendre dans une des nombreuses éditions que Ton a faites de la Géométrie de Descartes.

Nous nous bornerons ici à remarquer dans ses lettres une méthode particulière, que ce célèbre philosophe a imaginée pour résoudre un problème, alors fort agité entre lui et ses illustres contemporains, Fermât, Robcrval et Pascal : le problème de la tangente h la cycloîde. Cette méthode, qui a eu alors une grande célébrité, était d'une simplicité extrême, et convenait aux cycloïdes accourcics et allongées, comme l'a très-bien vu Descartes, et même à toutes sortes de roulettes, décrites par un point du plan d'une courbe quelconque, qui roule sur une autre courbe fixe. Elle consiste à regarder les deux courbes comme deux polygones d'une infinité de côtés. Ces polygones sont en contact suivant un côté commun, et conséquemment ont à chaque iostaut deux sommets communs; pendant un mouvement infiniment petit, le premier polygone tourne autour d'un de ces deux sommets, qui reste £\\q\ le point décrivant engendre donc an arc de cercle qui a son centre en ce sommet fixe; la normale à cet arc de cercle, qui est un élément de la roulette décrite, passe donc par ce sommet.

Cette méthode, qui diffère essentiellement de toutes les autres méthodes pour mener les tangentes, est d*une simplicité extrême, et a toujours été employée depuis. Mais, à raison sans doute de cette simplicité même, elle n'a point attiré autant l'attention des Géomètres, qui n'en ont fait usage que dans la même question, en se bornant seulement à l'étendre'aux épicyelo!des sphériques. En reconnaissant ce que cette méthode a de distinctif et de spécial par rapport aux autres solutions du problème des tangentes, il était naturel de chercher si le principe sur lequel elle reposait n'était pas susceptible de quelque généralisation qui le rendrait applicable à d'autres questions.

Le théorème suivant nous parait offrir la généralisation de celui de Descartes :

Quand une figure plane éprouve un mouvement infiniment petit dans son plan, il existe toujours un point qui, pendant ce mouvemeîit , reste fixe;

Les droites menées par les différents points de la figure, perpendiculairement aux trajectoires qu'ils décrivent pendant le mouvement infiniment petit , passent toutes par ce point fixe.

D'après ce théorème, quand une courbe est décrite par un point d'une figure en mouvement dans son plan, il suflira, pour mener sa normale par le point décrivant, de déterminer le point (|ui restera fixe au moment du mouvement où le point décrivant aura la position que Ton codsîdère. Ce point se déterminera par les différentes conditions du mouvement de la figure.

Par exemple, si l'on connaît le mouvement de deux points de la figure, on mènera par ces points les normales aux courbes qu'ils parcourent, et le point d'intersection de ces deux normales sera le point cherché.

Ainsi, qu'une droite de longueur donnée se meuve de manière que ses deux extrémités parcourent deux droites fixes: on sait que chaque point de la droite, et même que chaque point pris au dehors de la droite, mais fixé invariablement à elle, décrit une ellipse. Pour déterminer la normale à celte courbe, ou mènera les normales aux deux droites fixes, par les extrémités de la droite mobile ; ces deux normales se rencontreront en un point par où passera la normale cliciHjiée.

Le iDOQveiDeiit de la figure mobile peut être réglé par diverses autres conditions qui permettraient encore de déterminer très-aisément le point en question.

Soit, par exemple, la conchoïdc de Nicomède décrite par un point d'une droite dont l'extrcmité parcourt une droite fixe, pendant que cette droite mobile glisse sur un point fixe. Considérant la droite mobile dans une de ses positions, par le point fixe on lui mènera une perpendiculaire; et, par son extrémité, on mènera une droite perpendiculaire à la droite fixe : le point de concours de ces deux perpendiculaires sera le point chercbé, par lequel passera la normale à la concholde.

Nous ne passerons point ici en revue toutes les autres conditions diverses du mouvement de la figure mobile pour lesquelles on saura déterminer le point en question, ni toutes les courbes auxquelles il sera facile , par ce moyen , de mener les tangentes.

Ce qui précède suflit pour faire voir que le théorème que nous avons énoncé est une généralisation de ridée de Descartes au sujet de la tangente à la cycloîde, et qu'il constitue une véritable méthode des tangentes, méthode difTércnte de toutes les autres, et même de celle de Roberval, quoiqu'elle repose, comme celle-ci, sur des considérations de mouvement. Mais on conçoit que cette méthode, si facile, sera aussi, comme celle de Ruberval, bornée dans ses applications, puisqu'elle suppose que Ton connaît les conditions géométriques du mouvement cruoe figure de forme invariable, à laquelle appartient le point décrivant. Cependant elle s'applique à un grand nombre de courbes particulières et à des familles entières de courbes.

Les usages de notre théorème ne se bornent pas à la simple Géométrie; il peut être utile aussi en Mécanique pour le calcul des forces vives : car il en résulte que les forces vives des différents points de la figure mobile sont proportionnelles aux carrés des distances de ces points k celui qui, pendant l'instant où l'on considère le mouvement, est resté fixe : il suffit donc, ce point étant déterminé, de connaiti^e la force vive d'un autre point quelconque de la figure. M. Poncelet nous a appris qu'il avait fait un tel usage de ce théorème dans plusieurs questions sar les machines, où l'on n'avait point jusqu'ici de méthode géométrique pour le calcul des forces vives.

En énonçant le théorème en question, il y a quelques années (voir Bulletin universel des Sciences, t. XIV), nous l'avons présenté comme un cas particulier d'un théorème sur le déplacement fini quelconque d'une figure plane dans son plan, et même d'un théorème encore plus général, relatif à deux figures semblables, situées d'une manière quelconque dans un plan. Mais «es théorèmes dépendent eux-mêmes d'un principe encore plus général, que voici :

5i l'on conçoit dans un plan deux figures qui ont été primitivement la perspective l'une de J'autre, et qui se trouvent actuellement placées d'une manière quelconque l'une par rapport à 4'autre ;

Chaque point de l'une des figures aura son homologue dans l'autre figure ; Il existera généralement trois points, dans l'une des figures, qui se trouveront superposés ^•espeelivemenî sur leurs homologues dans la seconde figure ;

L'un de ces trois points sera toujours réel; les deux autres pourront être imaginaires. II résulte de là qu'il y a aussi trois droites, dans l'une des figures, qui se trouvent superposées 9ur leurs homologues dans la seconde figure : ce sont les droites qui joignent deux h deux les ^rois points.

L'une de ces droites est toujours réelle, et les deux autres peuvent être imaginaires.

Quand les deux figures sont semblables, ce qui est un c^s particulier de la perspective, deux

des trois points et deux des trois droites sont toujours imaginaires; le troisième point est réel; la troisième droite est aussi réelle ; mais elle se trouve située à l'infini.

Cela a lieu pareillement quand les deux figures sont égales entre elles.

Ces propriétés des figures planes ont leurs analogues dans les figures k trois dimensions, pour lesquelles j*ai déjà énoncé quelques théorèmes qui se rapportent à cette ihéorie. (Voir BnÙeiin universel des Sciences, t. XIV, p. 3â1 , année 1830.)

Page 98, g 4.

Les Arabes se sont occupes niissi de la description organique des courbes, et particulièrement des sections coniques. Nous le voyons par le titre des trois ouvrages suivants, qui se trouvent dans la Bibliothèque de Leyde :

i" Ahmed hen Ghalil Sugiureus De conicarum sectionum descriplione ;

12° Abu Schel Cumœus De circino perfecto, quo etiam sectiones conicœ et alias lineœ curvœ descrihi possunl ;

5* Mah, hen Husein De circino perfecto et formatione linearum. (Voir Catalogua librorum tant impressorum quam manuscriplorum bibliothecœ publicœ universitatis Lugduno Batavœ, in.folio,17i6, p. 4o4ct455.)

Page 119.

Parmi les pratiques nouvelles que contenait la Gnomonique de La Hire, il en est une que nous aurions dû citcr> parce qu'elle repose sur des considérations géométriques qui rentrent dans les doctrines de la (léométrie moderne.

Il s'agit de la construction des lignes horaires, en se servant de quelques-unes d'entre elles, qui sont déjà tracées. La Hire résout trois questions :

Dans la première, il suppose connues sept lignes horaires consécutives;

Dans la seconde, quatre heures consécutives et Téquinoxiale;

Dans la troisième, trois heures consécutives, Icquinoxiale et Thorizontale.

Et il détermine les autres lignes horaires.

Soient connues, dans le premier cas, les sept lignes des heures consécutives X, XI, XII, I, II, m et IV. Voici quelle est la construction de Tauteur pour déterminer les cinq autres :

Par un point o de la ligne IV, on mène une transversale parallèle à la ligne X; elle rencontre les lignes III, Il > I, XII et XI en des points a, b, c, cf, e; on porte sur cette transversale, de l'autre côté du point o, des segments oa\ oh', oc\ od\ oe' égaux, respectivement, hoayObyOCyOd, op; et les points a\ b', c', d\ e' appartiennent aux cinq heures cherchées.

En effet, les deux plans horaires X et IV sont à angle droit; les deux plans horaires III et V sont inclinés également sur le plan IV; et, conséquemmcnt, ces deux plans sont conjugués harmoniques par rapport aux deux premiers X et IV. Il suit de là que les deux lignes horaires III et V sont conjuguées harmoniques par rapport aux deux lignes horaires X et IV : donc toute transversale rencontrera ces quatre lignes en quatre points harmoniques; et conséquemment, si cette transversale est parallèle à la ligne X , les deux points où elle rencontrera les lignes III et V seront à égale distance de celui où elle rencontrera la ligne IV. C. Q. F. P. '.

' (WMe déinonstraiioi) ^éoinélriquc, que nous empruntons de l'ouvrage de La Hire, est aussi ligoureiiw quo

ADDITIONS. S»l

Nous ne rapporleron^i pas les pratiques de La Hire pour les deux autres questions; elles sont aussi simples que la première, et reposent aussi sur les principes de la Géométrie élémentaire qui rentrent dans la ihéorie des trausversales.

Mais ces trois problèmes donnent naturellement lieu à une observation que je m'étonne qu*on n'ait pas faite dans les ouvrages qui les ont reproduis. Cette observation porte sur le grand nombre de données que prend La Hire pour construire les lignes boraires inconnues. Dans le premier c«s il en prend sept, dans le deuxième quatre, plus la ligne équinoxiale; et dans le troisième trois, plus la ligne équinoxiale et la ligne horizontale; ajoutez à cela que les lignes données doivent être consécutives.

Est-il besoin de toutes ces données? Et quel est le plus petit nombre de lignes horaires qui soit suffisant pour construire les autres?

La réponse à ces questions, c'est que trois lignes horaires quelconques suffisent pour déterminer toutes les autres, dont on peut donner une construction tout aussi simple que celle de JLa Hire pour le cas de sept lignes horaires consécutives connues.

Voici quelle sera cette construction , qui va nous offrir une nouvelle application de la Théorie €lu rapport anharmonique , sur laquelle nous avons déjà cherché, dans plusieurs passages de c?ei ouvrage, à appeler l'attention des Géomètres.

Désignons par a, 6, c les trois lignes données, qui répondent à des heures déterminées, mais cf uelconques, et qui seront même des fractions d'heure, si l'on veut. Soit d la ligne d'une «quatrième heure quelconque, qu'on veut construire au moyen des trois premières. Le rapport €Maiharmonique de ces quatre droites sera égal à celui des quatre plans horaires dont elles sont les traces sur le plan du cadran. Ainsi soient A, B, C, D ces quatre plans : on aura

sin . c,a sin . d,a sin . C/A sin . D^A sin . c,h siD . d,b sin . C^ sin . D/B

iMiéve; cependant M. Delambre ne la regarde pas comme bien satisfaisante; et comme la pratique en question lui paraît utile et curieuse, et mérite uue démonstration en forme, il se propose de la démontrer de la manière Id plus générale et la plus rigoureuse. {Hist, de l'astronomie au Moyen âye, p. 634 ) Mais, nous devons le dire, la démonstration de M. Delambre occupe près de deux pages de calculs, et assurément n*est pas plus rigoureuse <|Qe le court raisonnement de La Hire.

Nous nefoisons point celle observation dans un esprit de critique: le nom et les travaux de M. Delambre, son <lévouement à la science, et les recherches fastidieuses ei pénibles auxquelles il s*est livré pour écrire son Histoire <ie r Astronomie, ne trouvent en nous que respect et admiration. Mais notre remarque rentre essentiellement ^ians Tesprit qui a présidé à la composition de notre ouvrage; parce qu'elle présente, d*une part, un exemple tmlpable des avantages que peut offrir souvent la voie géométrique ou du simple raisonnement, sur celle du calcul; ei qu'elle montre ensuite cette direction qu'ont prise les études mathématiques, où Ton ne trouve plus de |»rettves claires et convaincantes de la vérité en Géométrie, et de démonstration en forme, que dans une vérification par le calcul algébrique. Cette direction nouvelle est Pinverse de ce qui s'est fait dans tous les temps : ^Ks les Grecs, ob la Géométrie fut renommée pour la rigueur de ses démonstrations; chez les Hindous et les -Arabes qui se rendaient compte des résultats de rAlgèbre, fiar une démonstration géométrique; chez les Moines, Jusqu'au siècle dernier, oii Newton et Mac-Laurin n'emplo}'aient le calcul qu'à regret et au point oti il ^levenait indispensable.

Quelle est la cause de cette direction exclusive dans les éludes mathématiques? Quelle sera son influence sur iecanctère et les progrès de la science? Nous n'essaierons pas de répondre à ces questions, sur lesquelles on ferait peut-être difficilement d'accord. Mais, quelles que soient les opinions à leur égard , on ne disconviendra pas flo moins qu'il serait utile que la méthode ancienne, suivie jusqu'au siècle dernier, continuât d'être encouragée ^ cultivée, concurremment avec la nouvelle.

Les angles que font entre eux les quatre plans A, B, C, D sont connus , puisque ces plans correspondent à quatre heures déterminées; le second membre est donc une quantité connue fi.

On voit donc déjà que notre équation servira à déterminer la direction de la ligne d, et qu'ainsi elle résout la question.

Pour en déduire une construction facile, menons arbitrairement une transversale qui rencontrera les trois lignes a, 6, c en des points ex, 6, %ei appelons (fie point où elle renc4>nlrera la ligne cherchée d. Le rapport anliarmonique des quatre points a, 6, % & sera le même que celui des quatre droites a, 6, c, d; Téqualion précédente se transformera donc en

Sa 1 ya ^6 n y6

Le second membre est connu ; cette équation fera donc connaître la position du point ^ qui appartient h la ligne cherchée.

Cette solution devient d*une facilité extrême, si Ton mène la transversale parallèle à Tune des deux lignes a, 6, h la première, par exemple; car alors on a r|= 1, et Téquation se réduit h

Le segment r^ est connu, donc le segment âC l'est aussi; le point ^et, par conséquent, la droite d sont donc déterminés. Ainsi le problème est résolu. Et cette construction générale, qui ne fait usage que de trois lignes horaires quelconques, et qui sert pour en déterminer une quatrième aussi quelconque, est, comme nous Tavons annoncé, tout aussi simple que celle de I^ Hire, qui nécessitait la connaissance de sept lignes au lieu de trois.

Quant à la quantité n, qui n'est pas donnée directement, mais qui dépend des angles que les quatre plans horaires A, B, C, D font entre eux, il est facile d'en calculer la valeur graphiquement, sans faire usage des lignes trigonométriques qui entrent dans son expression. Pour cela, on mènera par un point 0 quatre droites OA',OB', OC, OD' faisant entre elles, deux à deux, des angles égaux à ceux des plans horaires; on tirera une transversale quelconque, qui rencontrera ces droites en quatre points «',€', r\â'; le rapport anharmonique de ces quatre points sera égal h celui des quatre plans ; de sorte qu'on aura

Telle est la valeur de n. On simplifie son expression, en menant la transversale parallèlement à l'une des quatre droites OA', OB', OC, OD', à la première, par exemple; car alors

-:;7- = 1, et il vient

; := 1, ei II vicni

Page 161, $ 47.

La considëration des ëpicycloldes remonte très-haut, puisqu'elles ont joué un grand rôle dans le système astronomique de Ptolémëe. Mais il ne parait pas que l'on ait jamais ëtudié géométriquement la nature et les propriétés de ces courbes. Albert Durer les a mises au nombre <le8 ligues courbes qu'il a appris à décrire par points, et dont l'usage pouvait être utile dans les mvls de construction; mais il n'en a point étudié non plus aucune propriété.

La première épicycloîde dont la nature ait été connue est due k Cardan; c'est celle que décrit «jn point de la circonférence d'un cercle qui roule sur la concavité d'un cercle d'un rayon double. Cette ligne est, comme on sait, une droite. Cardan a démontré cette proposition dans ^MMi livre intitulé : OpiM novum de proportionibus numerorum, tnotuuniy etc. (voir Proposition 475, p. iS6).

Ensuite, Huygens a trouvé (en 1678) que la ligne enveloppe des ondes par réflexion, dans un cercle sur lequel tombent des rayons parallèles, est une épicycloîde engendrée par un point de la csirconférence d'un cercle qui roulerait sur la concavité du cercle éclairé; ce cercle mobile ayant son diamètre égal au quart du diamètre de celui-ci, Huygens a donné la rectification et la quadrature de cette courbe (voir son Traité de la Lumière, chap. VI).

Vers le même temps, La Hire a trouvé que la caustique de Tschirnhausen, formée par la wréûexiott dans un cercle éclairé par des rayons parallèles, est aussi une épicycloîde, que l'on engendre en faisant rouler une circonférence de cercle sur la convexité d'un autre cercle d'un diamètre double de celui du cercle fixe.

Cette courbe est précisément la développée de celle de Huygens.

Ce sont là, je crois, les premières épicycloîdes dont on ait connu quelques propriétés géomé- ^«qoes. Ces courbes se sont présentées ensuite dans plusieurs autres questions de Physique et e Mécanique , où elles ont joué un rôle remarquable.

Page 218.

Ciairanlt a considéré, avant Euler, les courbes que celui-ci appelle lineœ affines: il les regarde oomme étant la projection l'une de l'autre, c'est-à-dire comme deux sections planes d'un même cylindre; et il les appelle courbes de même espèce. 11 fait voir que les coordonnées d'un point de l'ooe, rapportées à deux axes pris dans son plan, étant x et y, les coordonnées du point correspondant, dans la seconde courbe, rapportées aux deux axes qui correspondent, dans le plan de cette courbe, aux deux premiers axes, sont de la forme X=xx, Y= ^y. Ce qui montre que ces courbes de Clairault sont les mêmes que celles d'Euler. (Voir Mémoires de V Académie des Setenees de Parts, années 1731.)

Page 265.

Un caractère propre des principes de dualité et d'homographie tels que nous les exposerons, et qui repose sur l'usage que nous y faisons du rapport anharmonique, c'est que, par la nature mèôie de ce rapport, tous les théorèmes que nous obtiendrons s'appliqueront d'eux-mêmes, presque toujours, aux figures tracées sur la sphère. De sorte que ces deux théories offriront un

moyen facile et naturel de transporter aux figures sphériques toutes les propriétés des figures planes, et de généraliser même les propriétés, déjà connues, des figures sphériques.

Le principe de dualité, par exemple, fera voir qu'une première figure étant tracée sur la sphère, outre la figure supplémentaire , la seule connue jusqu'ici comme jouissant de la propriété que, aux points et aux arcs de grands cercles de la figure proposée, correspondent , dans cette figure supplémentaire, des arcs de grands cercles et des points y respectivement; outre cette figure supplémentaire, dis-je, on en pourra tracer sur la sphère une infinité d'autres jouissant des mêmes propriétés; et ce principe enseigne le mode de construction de ces figures, parmi lesquelles la figure supplémentaire n'est plus qu'un cas particulier.

Ainsi, nous pouvons dire que les deux principes de dualité et d'homographie offrent une véritable méthode rationnelle pour appliquer aux figures sphériques les propriétés des figures planes, et, en un root, pour former la Géométrie de la sphère; et cette partie de la science de l'étendue peut , dès aujourd'hui , faire de rapides et faciles progrès.

Page 282.

Les deux porismes de Géométrie plane, que nous avons appliqués k la Géométrie à trois dimensions, ont aussi leurs analogues sur la sphère. En voici les énoncés :

Premier porisme. Étant pris sur la sphère deux points fixes P, P', et deux arcs qui rencontrent l'arc PP' en E ef E'; et étant pris sur ces deux arcs, respectivement, deux points fixes O, 0';

Sij de chaque point d'un arc donné, on mène deux arcs aux points P, P', qui rencontreront respectivement les deux arcs EO, E'O' en deux points a, a', on pourra trouver deux quantités X, II, telles qu'on aura toujours la relation

sin . Oa . sin . 0 V sin . Ea sin . EV

SecOxNd porisme. Étant menés sur la sphère deux arcs de grands cercles, qui se rencontrent en S, et étant pris sur ces deux arcs, respectivement, deux points fixes 0, 0';

Si, autour d'un point donné de la sphère, on fait tourner un arc qui rencontrera les deux arcs fixes en deux points a, a', on pourra trouver deux quantités à , fA, telles qu'on aura toujours la

relation

siD . Oa sin . 0 V

— ^— -4" X . — — i^— ^ fi.

sin . Sa sin . Sa'

Page 294.

Depuis que la Note VII, sur l'ouvrage De lineis rectis se invieem secantibus statica consîructio de Jean Ceva , était imprimée, a paru le 24* Cahier du Journal de l'École polytechnique, où se trouve un Mémoire de M. Coriolis, intitulé : Sur la Théorie des moments considérés comme analyse des rencontres des lignes droites, qui a le même objet que cet ouvrage de Ceva. M. Coriolis y démontre, en peu de mots et sans calculs, par la théorie des moments, des théorèmes de la nature de ceux qui se trouvent dans la Théorie des transversales , de Carnot, mais qui prësen*

rement une gënéralisatioQ du beau théorème^de M. Minding; et peut-être que les surfaces du second degré y joueront le rôle que nous venons d'indiquer.

Cette théorie d'un système de forces qui tournent autour de leurs points d'application , en conservant leurs grandeurs et leurs inclinaisons mutuelles, peut prendre une grande extension et donner lieu à plusieurs questions intéressantes, si l'on y introduit la considération de l'axe central des moments , au lieu de se borner au cas particulier d'une résultante unique. Par exemple :

i" Que l'axe central des moments doive rester parallèle à une même droite; quelle sera la surface cylindrique qu'il décrira?

2*" Qu'il doive rester parallèle à un même plan; quelle sera la surface courbe q«*il touchera. dans toutes ses positions?

3® Qu'il doive passer toujours par un même point; quelle sera la surface conique qu*il décrira?

4** Qu'il doive être situé dans un plan donné; quelle sera la courbe qu'il enveloppera?

Nous ne pouvons nous occuper dans ce moment de ce genre de recherches; nous l'indiquons, dans Tespoir qu'il offrira de l'intérêt à quelques lecteurs.

Page 596, % 45.

Depuis que celte Note est imprimée, je suis parvenu à la généralisation des deux théorèmes des paragraphes 41 et 45, et j'ai reconnu, comme je l'avais pensé, que le second donne une démonstration , purement synthétique et indépendante d'aucune formule d'Analyse, du beau théorème sur l'attraction que deux ellipsoïdes , dont les sections principales sont décrites des mêmes foyers, exercent sur un même point situé en dehors de leurs surfaces. Une telle démonstration avait paru, à d'illustres Géomètres, devoir offrir des difficultés, et dépasser peut-être les ressources de la Synthèse *.

Les deux théorèmes généralisés peuvent se déduire des deux cas particuliers énoncés aux paragraphes 51 et 43 , au moyen d'un autre théorème qui est aussi une belle propriété des surfaces du second degré ayant les mêmes coniques excentriques. Nous nous bornerons ici à l'énoncé de ce théorème :

Quand plusieurs surfaces du second degré A , A', A'', etc, ont les mêmes coniques exeentriques; si, autour d'un point S, on fait tourner une transversale qui rencontre lUtne d'elles A eti deux points a, a', et qu'en appelant D le diamètre de cette surface, parallèle à la corde aa', on porte sur la transversale, d partir du point S, un segment Sm égal à (^ a^ ^ « , , â étiint une constante, l'extrémité m de ce segment sera sur une surface du second degré l , qui aura son centre au point S ;

Pour les autres surfaces A\ A'', etc., on formera semblablement , avec d'autres constantes ^, (T', etc., d'autres surfaces 2', 2", etc, ;

Toutes les surfaces i, i\ i'\ etc., auront, en direction, les mêmes axes principaux ;

Et l'on pourra prendre les constantes (^, â", etc.^ de manière qu'elles aient aussi tes mêmes coniques excentriques,

* Legendre, Mémoire sur Vatlraction des ellipsoïdes, inséré dans les Mémoihbs de l'Acam^iiib dis Sctincis . année 1788. Voir page 486. — Poisson, Note sur le mouvement de rotation d*un corps solide ; année 1834.

qu'alors deux petites lignes verticales (formant une colonne) auraient indiqué une place vide, et fait TofSce du zéro actuel. >

Page 472.

LeVocabularium,de Nestor Dionisyus, donne au moi Abacus la signification suivante : Tafre/fa super qua decuplàtiones fiunt : Abacus dicta est quin etiam ipsa decuplatio, (Édition de 1496, Venise, in-folio.) Ce passage s'applique parfaitement a notre explication àeVAbacus, et semblerait prouver qu'au XV' siècle la signification de ce mot n'était pas encore perdue, comme nous l'avons pensé déjà, d'après un passage de h Bibliothèque historialcj de Vigniér.

Page 476.

Cela prouve-t-il qu'ils aient ignoré absolument ce système indien? C'est par une inadvertance, causée par la précipitation que nous avons mise dans la rédaction de cette dissertation qu'attendait l'imprimeur, dont nous retardions h regret le travail, que nous nous sommes servi de l'expression système indien , au lieu de dire système de /'Abacus. Il est évident que nous avons eu en vue seulement de prouver que l'assertion de Boèce n'était point inadmissible; c'est-à-dire que le système de numération qu'il exposait, avait pu être connu des Pythagoriciens, comme il le dit: et ce système, nous le répétons, n*était pas- précisément celui des Indiens, c'est-à-dire le nôtre actuel; mais il n'en différait que par l'absence du zéro, et par l'usage nécessaire de colonnes qui marquaient la place des chiffres.

Ce système n'était au fond que la représentation écrite de la table à compter, connue chez les Romains sous le même nom d' Abacus, qui était formée de cordons placés parallèlement, sur chacun desquels on pouvait faire glisser neuf boules, destinées à former des groupes qui représenteraient les nombres i, 2, 5, 4, 5, 6, 7, 8 et 9; et les cordons exprimaient la nature des unités que ces groupes représentaient; le premier cordon était celui des unités simples; le deuxième, celui des dixaines; le troisième, celui des centaines; et ainsi de suite.

On voit que V Abacus figuré n'était autre que V Abacus manuel ou palpable; les colonnes représentaient les cordons, et les neuf caractères (ou chiffres) représentaient les neuf col lectioos de boules que l'on pouvait former sur chaque cordon.

La transition de ï Abacus manuel à V Abacus figuré, était donc naturelle, et n'exigeait aucun effort de génie; on ne refuserait pas d'en faire honneur aux Romains, si Boèce ne l'attribuait à Pythagore. Et cest ce nom de Pythagore qui donne lieu, aux yeux de quelques personnes, à l'objection la plus forte contre notre explication du passage de Boèce; car on ne veut pas admettre qu'Ârchimède et Apollonius aient eu connaissance de ce système de numération , qui leur eût donné Tidée de la valeur de position des chiffres.

Mais déjà plusieurs écrivains ont pensé que les Grecs, du temps même de Pythagore, ont connu la machine d compter que nous venons de décrire sous le nom d' Abacus des Romains; car cette machine est de la plus haute antiquité chez tous les peuples ^ Or, cette machine,

1 Cette machine est le suapan des Chinois. Elle était en usage, noD-seulemeol dans plusieurs parties de TAsie, mais dans plusieurs autres contrées de la Terre, chez les Etrusques, en Ègy\Me^ au Pérou. Voir le Mémoire de M. Alex, de Humboldt , inséré dans le tome IV du Journal de Mathématiques, de M. Crelle, pag. 905, sous le

comme l'observe l'illustre M. de Humboldt S est fondée sur le principe de la valeur de position des signes représentatifs des nombres. Elle devait donc, tout aussi bien que VÀhacus figuré, décrit par Boèce, donner à Archimède et à Apollonius Tidée de la valeur de position, idée, du reste, que ces deux grands hommes ont eue, puisqu'ils Font appliquée, comme nous Tavons dit, le premier à ses octades et le second à ses tétrades.

Page Mù.

On a imprimé, sous le nom de Sacro Bosco, un Traité d'Algorisme intitulé lAlgorismus domini Joannis de Sacro Busco, noviter impressum, Vcnetiis, 1525, in-4**. Cet ouvrage n*est pas de Sacro Bosco, dont le Traité d'Arithmétique est écrit en vers; mais il est le même que celui que Clichtovée a fait imprimer sous le titre : Opusculum de praxi numerorum quod Algorismum vacant.

Ce Traité présente avec les autres une différence légère, mais qui mérite néanmoins d'être remarquée. C'est que l'auteur dit de placer un point au-dessus du chiffre des mille, pour le distinguer des autres; puis semblablement un point sur le quatrième chiffre après celui des mille; et ainsi de suite sur les chiffres pris de quatre en quatre. Ce sont, comme on le voit, les tétrades d'Apollonius qui sont réduites, dans le système actuel , a des tranches de trois chiffres, puisque nous dénommons un nombre par tranches de trois chiffres en nous servant des mots unités, mille, millions, billions, etc. Au point on a substitué des virgules qui séparent ces tranches de trois chiffres.

On trouve aussi ces tétrades marquées par un point dans le Traité d'Arithmétique de Purbachy Algorilhmus G. Peurbachii in integris, Viennœ, 1515, in-4^

titre : Uber die bei verschiedenen Vàlkern ublichen Système von Zahlzeichen und Uber den Ursprung des StellenwerUies in den indinschen Zahlen : c'est-à-dire, Sur les systèmes de chiffres usités chez les différents peuples, H sur Forigine de la valeur de position , dans t Arithmétique indienne.

On trouve ceue machine, soit celle des Chiuois, soit celle des Romains, représentée dans plusieurs ouvrages. ( Korr Velser, Rerum augustanarum vindelicarum libri octo, Venise, 1593 ; in-fol., pag. 208. — La Loubère, Du royaume de Siam. Paris, 1691 ; 2 vol. in- 12. — Du Molinet, Le cabinet de ta Bibliothèque de Sainte-Geneviève. Paris , 1692 ; in-fol., pag. 23. — Hager, An Explanation of the elementary Characters ofthe Chinesse; Londres, 1801; in-fol.

* Voir le Mémoire cité, de M. de Humboldt.

\f\ vw\'\i\w>\<wv\<wv\'v\(v\'W\(\'v\(v\'v\ \^^^'\^'\^^^^l\\^^lv^^/v\^(\^^^^^^\^^lvvv\^^^^^/\^\^^^\\^\fv\\^\'vv\^/\f\

DE