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-ir <iiBir<s pwiats.
ly/^, m étsiQt les quantités angulaires qui déterniincnt la direction de la ^oitQ ab.
(i'équ4ition du plqn mobile^ dans sa position Â^ correspondant au point directeur a y est
Xç ^ Yv ^ ZÇ — U -♦- (/X -f- iwY -*- wZ) r'== 0.
Soit p' la distance du point K au point où ce point rencontre la droite ab ; les coordonnées de ce dernier point seront de la forme
jc = Ç -+- lp\
y =sy ^ mp\
z = Ç -♦- np' ;
elles doivent satisfaire à réquatiqn du plan : les y mettaqt^ on aura une équation qui donnera la valeur de p'. Cettp équation sera ^vid^mmept de la forme
PH-Qp'-4.(R^Sp')r' = 0;
P^ Q^ R, S étant des fonctions de |^ v^ C; ly Wy n.
Les distances />"^ p'^\ />'% du point K aux points où les autres plans B, C^ D rencontrent la droite aby seront données par les équations semblables :
Ph Qp" -^(R-f-Sp")r"=0, p ^ Qp'"^ (R ^ Sp"') r'"= 0, p ^ Qp^ ^ (R -♦- Sp'" ) r»' = 0.
Dfi cg» équatipns^ on tire
ïïm
Q + Sr"
Q + Sr'
Q -H Sr"
Q-f-Sr'
équation qui démontre le théQrè{|ie énp|]çé.
584 MÉMOIRE DE GEOMi!.ii..^
7. Remarque. L'équation P + Qp' 4- (R + Sp')r' = 0 fait voir que : sur une droite quelconque, il se trouve en général deux points qui, regardés comme deux posiliom du point directeur, donnent deux plans mobiles qui passent par ces points respectivement.
En eiïet^ si Ton veut que le plan Â^ correspondant au point a, passe par ce point, on aura, dans Féquation ci-dessus, f!-==^r^ , et elle deviendra
P-h (QH-R)r'-f-Sr'«=0.
Les deux racines de cette équation détermineront, sur chaque transversale, les deux points en question.
En général , qua)id le plan mobile passe par son point directeur, ce point a pour lieu géométrique une surface du second degré.
En efTet, Téquation du plan mobile est
Xx' H- Yy' ^ Zz' = U.
Si ce plan passe par le point directeur, cette équation sera vérifiée quand on mettra x',y\z^ à la place de x, y, z, dans X, Y, Z et U. Mais alors on aura une équation du second degré ; cette équation représentera donc une surface du second degré sur laquelle sera le point directeur; ce qui démontre le théorème.
il faut observer, cependant, que si Téquation du plan mobile était telle qu'en y faisant x=x\ y=y'> z^z^, on la rendit identique, ce qui est possible, ainsi que nous le verrons (155), le plan mobile passerait constamment par le point directeur.
8. Théorème V. Etant données cinq positions du point directeur, an pourra prendre arbitrairement, dans Pespace, cinq plans qui seront les cinq positions du plan mobile, correspondant respectivement à ces cinq points.
En elTet, soient x', y^, z^ les coordonnées d'un des cinq points donnés ^ et
Px -♦- Qy + Rz c=: 4 ,
Féquation du plan qui doit correspondre à ce point.
Cette équation doit être identique à réquation générale du plan mobile , que nous avons représentée par
X, Y, Z et U sont des fonctions linéaires deXytfy Zy de la forme
X = ax -4- by -^ cz — d , Y=o'x ^ 6'y-f- c'z — d', Z = a"x -♦- 6"y -4- c"z — d", U =a'"x-i-6'"y4-c'"2— d'".
D'après cela ^ Téquation générale du plan mobile est
(ax -4- 6y -^ cz — d) x' -f- ( a'x -¥■ b'y -f- cz — d) tj 4- (a"x -*- b"y -*- c"z - d") z'
= (o"'x -4-6"'y-+-c"'z— d'") ; OU
(ax' ^ a'y' ^ a"^' - o'") x + (6x' -f- 6'y' -♦- 6"z' — 6'") y ^ (ex' + c'y' + c"z' — c'") z
= (dx'-t-dy^d'V— d'").
Pour que cette équation soit identique à Téquation particulière du plan donnée il faut qu'on ait les trois équations de condition
ax' ^ a'y' -f- a"«'— a"'= P (dx' ^ d'y' ^ d"z'- d'"), 6x' -f. 6'y' -♦- fc'z' - 6" = Q (dx' 4- d'y' -f- d"z'— d'"), rx' +. c'y' -f- c"z' — c'" = R (dx' + d'y'^ d"z'- d'").
Pour chacun des quatre autres plans donnés^ on aura trois équations de condition, semblables à celles-ci^ el où entreront les coordonnées du point auquel correspond ce plan. On aura donc en tout quinze équations de condition, qui serviront à déterminer quinze des seize coefficients a, &, c, rf, a', etc.; et comme ces coefficients n'entrent qu'au premier degré dans ces quinze équations, leurs valeurs seront toujours réelles, et s'obtiendront facilement. Le théorème est donc démontré.
On voit par la forme des quinze équations, qui n'ont pas de termes connus.
que le seizième coefficient restera indéterminé. Car on peut 4ivîs^ <^^ quinze équations par Tun des seize coefficients.
9. Le théorème I conduit à une proposition de Géométrie analytique dont nous aurons occasion de faire usage (§ XVII) ; le voici :
Quand les coefficients de trois coordonnées, dans l'équation d'un plan fnobile, sont variables et ont entre eux une relation du premier degré, ce plan passe constamment par un point fixe :
Si ces coefficients ont entre eux une relation du second degré , le plan enveloppe une surface du second degré ;
Et, en général, si ces coefficients ont entre eux une relation du degré m, le plan enveloppe une surface géométrique, à laquelle on peut mener m plans tangents par une même droite.
En effet, soient x^, y', 2' les trois coefficients de Téquation du plan mobile ; cette équation sera
x'x -*- y'y -\- zz = k',
chaque système de valeur de x', y', z' déterminera un plan.
iMais on peut regarder ces trois variables comme les coordonnées d'un point, et la relation donnée entre elles représentera une surface, lieu géométri(]ue de ce point ; le théorème énoncé est donc une conséquence du théorème I.
§ III. Démonstration du principe de dualité.
10. Nous diviserons ce principe en deux parties, dont la preinîère est rdtitiv(Mi la corrélation des relations descriptives des figures; et la seconde. Il la corrélation de leurs relations de grandeur ou métriques.
Première i^artie. Lorsqu'une figure de fmine qvelconque est donnée, on pvut toujours former, d'une infinité de manières, une autre figure, dam taqnellv les |M)ints, les plans, les droites, correspondront respectivement à des plans, à des points, à des droites de la première figure ;
Les iHiinls situes sur un même plan, dans l'une des deux figures, auront
fiour corrëiponâants des plans passant tous par le jmnt qui correspond à ds plAn ;
Les points situés sur une même droite, dans l'une des deux figures, auront pour correspondants y dans t autre figure, des plans passant par la droite qui correspond à la première;
Les points situés sur une surface courbe, dans la première figure, auront pour correspondants, dans la seconde^ des plans tangents à une autre surface courbe; et les plans tangents à la première surface , en ces piHnts , auront pour correspondants précisément les points de contact des fitans tangents à la seconde surface;
Enfin, tous les points situés à l'infini, considérés comme appartenant à la première figure, seront regardés comme situés sur un même plan, et tous les plans qui leur correspondront passeront par un même point, qui correspond à ce plan situé à l'infini.
Ce sont ces deux figures que nous appellerons corrélatives.
Ce principe résulte évidemment des théorèmes I, II et III. Car on formerai la seconde figure^ en faisant mouvoir un plan dont Féquatîon contienne^ au premier degré ^ les coordonnées d'un point mobile auquel on fera parcourir toutes les parties de la première figure. La seconde figure sera Fenveloppe du plan niobile.
11. Il est clair que des droites situées dans un même plan auront pour correspondantes^ dans la seconde figure^ des droites qui passeront toutes par un même point; ce point correspond au plan des premières droites.
Par conséquent^ des droites situées à Finfini auront^ pour correspondantes^ <ies droites passant toutes par le point de la seconde figure qui correspond à riofinl de la première.
Pareillement des droites passant toutes par un même points dans la première figure^ donneront lieu à des droites situées toutes dans le plan correspondant à ce point.
Par conséquent^ des droites parallèles entre elles donneront lieu à des droites situées toutes dans un même plan passant par le point de la seconde '^re c}ui correspond à Tinfini de la première.
as» MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE.
Des plans parallèles entre eux donneront lieu^ dans la seconde figure^ à des points situés sur une même droite passant par le point qui correspond , dans cette seconde figure^ à TinOni de la première. Car les plans parallèles entre eux seront considérés comme passant par une même droite située à IMnfini.
Enfin des plans parallèles à une même droite donneront lieu à des points situés tous sur un même plan passant par le point qui correspond à Tinfini.
1 2. Seconde partie. Dans deux figures corrélatives, à quatre points de la première, situés en ligne droite, correspondent, dans la seconde, quatre plans passant par une même droite, et dont le rapport anharmonique est égal au rapport anharmonique des quatre points ;
Et, à quatre plans de la première figure, passant par une même droite, correspondent, dans la seconde figure, quatre points situés en ligne droite , dont le rapport anharmonique est égal au rapport anharmonique des quatre plans.
Ainsi soient a^ b, Cy d quatre points de Tune des deux figures^ situés en ligne droite ; et Â^ B^ C^ D les quatre plans correspondants ^ dans Tautre figure : on aura toujours
..V sin. G, A sin. D,A ca da
SI
in.C,B 'sin. D,B eb' db
Cela résulte du théorème IV.
Si Ton tire arbitrairement une transversale, qui rencontre les quatre plans A, B, C, D aux points a, 6, y, â, on aura
r6 ' «î6 cb' db
Car le premier membre de cette équation est égal au premier membre de Téquaiion du théorème.
13. Si le point d est silué a Tinfini, le plan D passera par le point qui
MÉMOIfiË DE GÉOMÉTRIE. 589
correapond^ dans la seconde figure^ à Tinfini de la première; le rapport-^ sera égal à Tunité^ et les deux équations ci-dessus se réduiront à
sin. C, sîn. D,A ca sin. C,B * sin. D,B cb
yoL èoL ca y6 J6 cb
Ajoutons que si le point de la seconde figure^ qui correspond à Tinfini de la première^ est lui-même à Tinfini^ tous les plans qui répondront^ dans la seconde figure^ aux points à Tinfini de la première^ seront parallèles à une même droite.
Si donc Ton prend pour transversale une parallèle à cette droite ^ le point c^ sera à Tinfini^ et la seconde des deux équations précédentes se simplifiera encore; elle deviendra.
ra ca r€ cb
Ainsi ^ une partie des relations métriques des deux figures pourront être exprimées par des équations de cette forme.
14. L'équation (1) exprime la propriété la plus importante des figures corrélatives. On peut dire qu'elle est le fondement de toute cette théorie. Car c'est sur cette relation si simple que reposent la construction des figures corrélatives les plus générales^ et la plupart des applications du principe de dualité.
Cest^ le plus généralement^ sous sa forme même^ ou sous celle de Téquation (2)^ que nous appliquerons cette relation. Mais cependant elle est susceptible d'une autre expression^ qui simplifiera extrêmement les transformations^ dans certains cas^ et que nous allons^ tout de suite ^ faire connailre.
Écrivons Téquation (1) de cette manière:
sin. C, A ca sin. D, A da sîn.C,B*c6'^sin.D,B"dt
§ IV. Applications du principe de dualité aux propriétés DBSCRiPtnm
