DES FIGURES

17. Pour appliquer le principe de dualité^ on devra d^abdrd concevoir la forme et la description de la figure corrélative de la figure proposée; ce qui se fera rapidement et sans difficulté ^ au moyen de la première partie du principe.

Par exemple^ que la figure proposée soit une courbe à double courbure; à chacun de ses points correspondra un plan dans la figure corrélative; et celte figure sera une surface développable^ enveloppe de tous ces plans. Chaque tangente à la courbe étant considérée comme le prolongement de la corde qui joint deux points infiniment voisins; à cette tangente correspondra une droite qui sera fintersection de deux plans tangents à la développable^ infiniment voisins^ c'est-à-dire une arête ou caract^isttque de cette surface. A un plan mené par une tangente à la courbe^ correspondua un point de la caractéristique^ correspondant à cette tangente. Le plan osculateur^ en un point de la courbe proposée^ passe par deux tangentes infiniment voisines; le point qui lui correspondra sur te développàble sera donc Fintersection de deux caractéristiques consécutives; ce sera éORC Uti point de faréte de rebroussement de la surface.

Ainsi Ton voit que la forme générale de la figure corrélative d'une courbe à double courbure est parfaitement déterminée.

Réciproquement^ à une surface développable proposée^ correspondra, dans la figure corrélative, une courbe à double courbure.

18. Que la figure proposée soit une surface courbe, coupée par un plan; à cette surface correspondra, dans la figure corrélative, une seconde surface courbe; aux points d'intersection par le plan correspondront des j^lans tangents à la seconde surface; et tous ces points étant dans un plan, tous ces plans tangents passeront par un même point, qui correspondra à ce plan; ces plans formeront donc un cône. Ainsi Ton aura, pour figure corrélative, une surface courbe inscrite à un cône.

si l'on conçoit ta développabte circonscrite à ces surfaces suivant cette courbe, et que l'on regarde un point de f arête de rebroussement de cette dévetoppable comme le sommet commun de deux côms circonscrits aux deux surfojceSy ces deux cônes auront un contact du cinquième ordre suivant leur arête commune, qui sera la caractéristique de la dévetoppable, sur laquelle est pris leur sommet commun.

On voit comment les théorèmes généraux sur les contacts des surfaces, démontrés par M. Ch. Dupin dans ses Développements de Géométrie, donneront lieu à d'autres théorèmes aussi généraux, qui seront leurs corrélatifs.

23. Soit ce beau théorème de M. Monge : « Si, par tous les points d'une » surface courbe, on conçoit des droites menées dans l'espace suivant une » loi quelconque, et que Ton considère Tune de ces droites; de toutes celles » qui lui sont infiniment voisines, il n'y en a généralement que deux qui » la rencontrent. » (Voir le Mémoire sur les déblais et remblais, de Monge, inséré dans les Mémoires de l'Académie de Paris, année 1 781, et la Correspondance polytechnique , t. III, p. 152.)

Formant la figure corrélative, on aura une seconde surface courbe, dont les plans tangents correspondront aux points de la première. Les droites menées par ses points, auront pour correspondantes des droites menées par les plans tangents de la seconde surface, suivant une certaine loi. Or, quand deux droites se rencontrent, leurs corrélatives se rencontrent aussi; on conclut donc, du théorème énoncé, le suivant :

Si, dans tous les plans tangents d'aune surface courbe^ on conçoit des droites menées suivant une certaine loi, et que l'on considère utie de ces droites; de toutes celles qui lui sont infiniment voisines, c'est-à-dire qui sont situées dans les plans tangents infiniment voisins de celui oii se trouve la première droite, il ny en aura généralement que deux qui la reticontreront.

Ainsi, par exemple, si l'on projette une droite fixe sur tous les plans tangents d'une surface courbe quelconque, et que l'on considère Tune de ses projections; de toutes les projections infiniment voisines de celle-là, il n'y en aura généralement que deux qui la rencontreront.

24. Le théorème général que nous venons de déduire de celui de Mbnge^ comme son corrélatif^ pouvait s'en conclure directement , comme n'étant au fond que ce théorème méme^ présenté sous une autre forme. Car toutes les droites comprises dans les plans tangents à la surface vont rencontrer un plan fixe^ mené arbitrairement^ en ses différents points; on peut donc les considérer comme issues de ces points^ suivant une certaine loi déterminée; dès lors chacune d'elles doit être rencontrée par deux de celles qui en sont infiniment voisines.

Il arrive ainsi quelquefois qu'un théorème a pour corrélatif ce théorème lui-même^ présenté sous le même énoncé ou sous un énoncé différent. Mais ce sont là des exceptions : généralement ^ deux théorèmes corrélatifs sont essentiellement différents.

§ y. Applications du principe de dualité aux propriétés métriques