DU SECOND DEGRÉ
26. Soit une surface du second degré; si on lui mène deux plans tangenls parallèles entre eux, la droite qui joindra les deux points de contact a, b passera par le centre o de la surface; et Ton aura
oa = o6.
Faisons la figure corrélative : nous aurons une seconde surface du second degré, un point fixe i correspondant à finfini (10), une droite menée par ce point, correspondant à la droite d'intersection, située à Finfini, des deux plans tangents; les deux points où cette droite percera la surface correspondront à ces deux plans tangents; et les plans A, B, tangents en ces points, correspondront aux deux points a, 6; donc leur intersection correspondra à la droite a6, et sera par conséquent dans un plan fixe 0, correspondant au centre o de la première surface. Soit I le plan mené par cette droite et par le point t : il correspondra au point à finfini sur la droite ab. On aora donc
sin.O, A sin. I, A oa sin. 0, B sin. I, B 06
Soient a, 6, u les points où une transversale, menée par le point i, perce les plans A, B, 0; on aura, d'après cette équation,
ta oa i€ tt€
MÉMOIRE DE GÉOMÉ'fRlE 897
On eoDclut de là que :
Si, autour d'un j)omt fixe pfis arbitrairement, on fait tourner une transversale qui rencontre une surface du second degré, les plans tangents à la surface, aux deux points de rencontre, se couperont sur un plan fixe; et la transversale percera ce plan au point conjugué harmonique du point fixe, par rapport aux deux points de la surface.
C'est la propriété fondamentale des pôles et des plans polaires dans les surfaces du second degré.
27. Nous pouvons donc dire que : quand on fait la figure corrélative d'une surface du second degré , on a une seconde surface du second degré dam laquelle le plan qui correspond au centre de la première a pour pôle, pris par rapport à cette seconde surface , le point qui correspond à l'infini de la première figure.
28. La droite d'intersection de deux plans tangents à une surface du second degré s'appelle la polaire de la corde qui joint les deux points de contact de ces plans. Le théorème que nous venons de démontrer prouve donc que : toutes les droites qui passent par un même point ont leurs polaires situées dans un même plan; et réciproquement.
Nous ne nous étendrons pas davantage sur la théorie des pôles et des plans polaires, qui est parfaitement connue.
§ VIL Généralisation du théorème sur la proportionnalité des rayons
HOMOLOGUES DANS DEUX FIGURES HOMOTHÉTIQUES *. CONSTRUCTION NOU- VELLE DES BAS-RELIEFS.
29. Soient deux tétraèdres abcd, a' 6, & d' semblables et semblablement placés; c'est-à-dire ayant leurs faces respectivement parallèles. On sait que les quatre droites qui joignent un à un leurs sommets homologues concou-
* Nous avons appelé ainsi deux figures semblables entre elles et semblablement plaeëes. (Voir Annales de Mathématiques, t. XVIII, p. 280.) Depuis, plusieurs Géomètres ont employé ceUe expression abréviative, dont nous continuerons dès lors à faire usage.
rent en un même point u; et que le rapport des distances de ce point à deux sommets homologues est constant; c'est-à-dire qu^on a
/ . . ua ub
ua ub
Faisons la figure corrélative : nous aurons deux tétraèdres^ dont les sommets correspondront respectivement aux faces des tétraèdres proposés; ces sommets seront donc^ deux à deux^ sur quatre droites qui passeront par un même point / correspondant à Tinfini (11). Les faces Â^ B... de ces deux tétraèdres correspondront aux sommets a, b... des premiers; elles se couperont donc^ deux à deux^ suivant quatre droites qui seront dans un même plan U^ correspondant au point u (10). Que^ par la droite d'intersection des deux faces A^ A'^ on mène un plan I passant par le point i : il correspondra au point situé à Tinfini sur la droite aa'; on aura donc
sin. U, sin. I, ua sin. U,A' ' sin. 1,Â' tia' '
ou^ en appelant <xy a! y X les points où une transversale^ menée par le point i^ rencontre les trois plans A, A', U :
Aa ta ua
Xol' " tV "" ua'
Soient pareillement S, S', (x les points où une transversale^ menée par le point i, rencontre les plans B^ B' et U ; on aura
liî t6 ub 'iJ'''lb''^ûb''
Donc^ en vertu de Féquation (1)^
la >a t6 fiS
Les segments Ixy dk' sont proportionnels aux dislances des deux points a^ a' au plan U; pareillement ii6, ii& sont proportionnels aux distances des deux points Sy & à ce plan. On conclut donc de là le théorème suivant :
Quand deux tétraèdres ont leurs sommets situés, deux à deux, sur quatre droites concourant en un même point i :
1® Leurs faces se coupent deux à deux suivant quatre droites qui sont comprises dans un même plan U ;
2^ Le rapport des distances du point i ^ à deux sommets homologues des deux tétraèdres, est au rapport des distances de ces points au plan U, dans une raison constante, quels que soient ces deux sommets homologues.
30. La première partie seule de ce théorème était connue; elle est la base de la construction géométrique des figures homologiques dans Fespace, de M. Poncelet. (Voir Traité des Propriétés projectives, supplément, p. 374.)
La seconde partie, qui est une généralisation de la proportionnalité des rayons homologues, dans deux figures semblables et semblablement placées, peut devenir très-utile en Géométrie. Elle complète la théorie des figures homologiques, et servira pour les construire par de simples calculs numériques; car on cherche ainsi, le plus souvent, dans la pratique, à remplacer les opérations graphiques par des opérations numériques.
Soient a, J deux points correspondants quelconques, dans deux figures homologiques; i, le centre d'homologie, et X le point où la droite icud rencontre le plan d'homologie; on aura, suivant le théorème que nous venons de démontrer,
ta >a
-:— : — ; = const. = ii.
iv! Aa
Cette relation prend la forme
ta ta %X
D^ou Ton tire une expression très-simple de iV en fonction de i<x, et réci proquement.
Il est diverses autres expressions qui simplifient encore les calculs; mais nous ne pouvons entrer ici dans ces détails.
Les bas-reliefs étant de véritables figures honiologiques, ainsi que Ta fait voir M. Poncelet *, la relation générale que nous venons de donner sera utile aussi pour leur construction^ qui pourra se faire ^ comme dans certaines pratiques de la Perspective, par des cotes calculées numériquement.
Cette relation servira aussi pour exprimer, en Géométrie analytique, la position des diiïérents points d'un bas-relief, ou Féquation de sa surface, si le modèle est lui-même une surface exprimée par une équation.
Nous reviendrons, dans un autre moment, sur la construction des basreliefs; et nous ferons voir qu'il est plusieurs moyens très-simples de la pratiquer. On peut, par exemple, en réduire toutes les opérations à une seule et unique perspective du modèle proposé, sur un plan. Cette manière, je crois, pourrait être agréée des artistes, auxquels, généralement, les pratiques de la perspective sont maintenant familières **.
* Voir le supplément du Traité des Propriétés projectives.
** Cette construction des bas- reliefs, par une perspective du modèle sur un plan, est facile a concevoir. Elle repose sur ce théorème : Étant donné un corps dans l'espace; si , de sespoinift m, m', ..., on abaisse des perpendiculaires mp, ra'p', sur un plan P; et qu'on fasse la perspective du corps sur un plan parallèle à ces droites, l'œil étant placé en un lieu quelconque de l'espace; puis , qu'on abatte ce plan sur le premier P, en le faisant tourner autour de leur l'wtvrsection commune; les perpendiculaires mp, m'p', .... seront, en perspective , des droites fin,
pV parallèles entre elles. Qu'on relève ces droites, en les faisant tourner autour de leurs
pieds n, n'y ...., jusqu'à ce qu'elles soient perpendiculaires au plan P : leurs extrémités m, /ji', ... formeront un corps qui sera un relief du corps proposé.
Pour construire un relief par cette méthode, on disposera du point de l'œil, du plan de projection et du plan sur lequel on fait la perspective, de manière à satisfaire aux conditions qu*on veut observer, soit dans la position, soit dans les proportions du relief par rapport au modèle.
MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE. 60i
§ VIII. Relations descriptives et relations métriques de deux surfaces DU second degré, inscrites a un cône; et de deux coniques quelconques, situées dans un même plan.
31. Soient deux surfaces du second degré, seniblables et semblablement placées: on sait qu'elles se coupent suivant une courbe plane, et qu'elles ont une autre courbe d'intersection (réelle ou imaginaire), située à l'infini.
Si l'on mène quatre plans tangents à ces surfaces, parallèles entre eux, les droites qui joindront deux à deux les points de contact sur la première surface aux points de contact sur la seconde, concourront deux à deux en deux points fixes qui seront les centres de similitude des deux surfaces; et ces deux points seront les sommets de deux cônes (réels ou imaginaires) circonscrits aux deux surfaces.
Faisant la figure corrélative, on aura deux surfaces du second degré, qui seront inscrites à un même cône, dont le sommet correspondra au plan situé à l'infini, sur lequel est une des deux courbes d'intersection des deux premières surfaces. On aura donc ce théorème, dont la dernière partie se démontre absolument comme dans le théorème précédent :
Quand deux surfaces du second degré sont inscrites à un même cône; si, par le sommet de ce cône, on tire une transversale qui les rencontre en quatre points, et qu'on mène les plans tangents à ces surfaces en ces points; les plans tangents à la première couperont les plans tangents à la seconde suivant quatre droites qui seront, deux à deux, sur deux plans fixes;
L'intersection des deux surfaces se composera de deux courbes planes (réelles ou imaginaires) , situées dans ces deux plans ;
Le rapport des distances du sommet du cône à deux points pris sur les deux surfaces, en ligne droite avec ce sommet, est au rapport des distances de ces deux points au plan fixe sur lequel se coupent les deux plans tangents en ces points , dans une raison constante.
32. La dernière partie de ce théorème donne les relations métriques
qui ont lieu entre deux surfaces du second degré qui se coupent suivant des courbes planes.
On ne connaissait ces relations que dans deux cas particuliers ; celui où les deux surfaces sont semblables et semblablement placées^ et celui où tes deux surfaces sont inscrites à un cylindre. Ces deux cas sont des corollaires du théorème général que nous venons d'énoncer.
Il est clair que les mêmes relations métriques appartiennent au système de deux coniques quelconques^ situées dans un même plan. On n'avait considéré, d'une manière générale, que les rapports de situation que présente ce système; et, quant aux relations métriques des deux courbes, on s'était borné, je crois, à quelques relations harmoniques, qu'on déduira aisément de la relation métrique fondamentale, comprise dans la dernière partie du théorème ci -dessus.
Deux surfaces du second degré, inscrites à un même cône, ou bien deux coniques, placées d'une manière quelconque dans un plan, ont entre elles diverses relations métriques remarquables, dont nous parlerons en traitant spécialement des figures homologiques, dans la seconde partie de cet écrit.
§ IX. Transformation de diverses propriétés des diamètres conjugués des
