POINT
33. Soit une surface du second degré. Menons trois diamètres conjugués, c'est-à-dire tels, que les plans tangents aux extrémités de l'un quelconque d'entre eux soient parallèles au plan des deux autres; faisons la figure corrélative : nous aurons une surface du second dogré ; un plan fixe correspondant au centre de la proposée, et un point i correspondant à Finfini : ce point sera le pôle du plan (27). Aux trois diamètres conjugués^ correspondront trois droites situées dans le plan fixe; aux points où un diamètre rencontre la première surface correspondront les plans tangents à la seconde surface, menés par une des trois droites; et les points de contact
Ainsi le théorème exprime que la somme des carrés des trois rapports^ tefs que ^, sera constante.
40. Si la droite oi est parallèle au plan polaire du point o, tous les segments «/seront égaux^ comme étant infinis et comptés sur une même droite; on en conclut ce théorème :
Si, par un point fixe, on mène trois axes conjugués par rapport à une surface du second degré; les plans tangents à la surface, menés par trois des points où ces axes la rencontrent, feront, sur une droite menée par le point fixe, parallèlement au plan polaire de ce point, trois segments dont la sonune des valeurs inverses des carrés sera constante, quel que soit le système des trois axes conjugués.
41. Si le point fixe est le centre de la surface, les trois axes seront trois diamètres conjugués de cette surface; le plan polaire du point fixe sera à Tinfini, et aura une direction indéterminée; de sorte que toute droite, menée par le point fixe, pourra èlre considérée comme parallèle à ce plan. On conclut donc, du dernier théorème, cette propriété des diamètres conjugués :
Les plans tangents à une surface du second degré, menés par les extrémités de trois demi-diamètres conjugués, font, sur un axe fixe mené arbitrai^ rement par le centre de la surface, trois segments dont les carrés ont la somme de leurs valeurs inverses, constante.
§ X. Suite du précédent. — Propriétés plus générales des systèmes
DE trois axes conjugués RELATIFS A UN POINT.
42. La somme des perpendiculaires abaissées, des six extrémités de trois diamètres conjugués d'une surface du second degré, sur un plan fixe mené arbitrairement dans lespace, est constante.
On en conclut, par le principe du numéro (16), que :
*S/ par trois droites, prises dans un plan fixe, de manière que la polaire de chacune d'elles , par rapport à une surface du second degré, passe par le point de coticours des deux autres, on mène six plam tangents à la sur^
face; ta somme des carrés des distances de ces six plans à un point fixe , pris arbitrairement dans l* espace , divisés respectivement par les carrés des distances de ces plans au pôle du plan fixe, est constante.
43. Par la considération des axes conjugués , on donne à ce théorème cet autre énoncé :
Si, par un point fixe, on mène trois axes conjugués par rapport à une surface du secoM degré; les six plam tangents à la surface, menés par les six points où ces trois axes la rencontrent, jouiront de cette propriété , que la somme des carrés de leurs distances à un point pris arbitrairement dans r espace , divisés respectivement par les carrés de leurs distances au point fixe, sera constante, quel que soit le système des trois axes conjugués menés par ce point.
44. Soient o le point par lequel sont menés les trois axes conjugués^ et f le second point fixe pris arbitrairement dans Fespace; soit a le point où Fun des six plans tangents rencontre la droite oi: le rapport des distances de ce plan, aux points î,o sera^. On aura donc six rapports semblables à ^, dont la somme des carrés sera constante.
Ainsi
at 6t
;3^ -4- —^ -4- etc. = consl.
ao 6o
43. Supposons le point t situé à Finfini : tous les segments ai, 6i, etc.,
seront égaux , comme infinis et comptés sur une même droite ; il restera
donc
^^ -♦- :iï -♦- etc. = const.
ao €o
Donc : Si, par un point fixe, on mène trois axes conjugués par rapport à une surface du second degré , et que, par les points oh ils rencontrent la surface, on mène les six plans tangents; ces plans feront sur une droite fixe, méfiée arbitrairement par le point fixe y six segments, compris entre ce point et ces plans respectivement, dont les carrés auront la somme de
ê» nÈMOŒ DE GÉOMÉTRIE.
Uur$ talewr$ in^ene». emkêtmmht. fuei fmt $oit le système des trois axes CMJuffmes.
46. Sap|y>«ofB qoe , par k pt>fQt o^ oo ah mené trois droites fixes perpendkuhirf^ eotre elles; oo aara. pour chacane d'elles^ une équation semblable a la préeédente : les ajoatant membre à membre^ et observant que la somme des valeurs inverses des carrés des segments qu'un plan quelconque fait sur trois axes rectan^laires issus d^on même points est égale à la valeur inverse du carré de la distance de ce point au plan , on en conclura ce théorème :
Si, par un point fixe, on mène trois axes conjugués par rapport à ufèe surface du second degré, et que, par les six points où ils percent la surface, on mène six plans tangents à cette surface; la somme des valeurs inverses des carrés des distances de ces six plans au point fixe sera constante, quel que soit le système des trois axes conjugués .
47. Si Ton suppose^ dans le théorème exprimé par Féquation du numéro ii , que le premier point o soit situé à Finfini^ les segments ao, l3o, etc., seront égaux ^ comme infinis^ et Ton aura
ôî 4- 6i -4- yi -f- etc. a= const.
Celte équation exprime que :
Si^ dans un plan diamétral d'une surface du second degré, on prend trois droites , de manière que la polaire de chacune d'elles passe par le point de concours des deux autres, et que, par ces trois droites, on méfie six plans tangents à la surface; la somme des carrés des segments compris entre un point fixe de l'espace et ces six plans, sur une droite inenée par ce point, parallèlement au diamètre conjugué au plan diamétral, cette somme, dis-je, sera constante, quel que soit le système des trois droites prises, comme il est dit , dafis le plan diamétral.
§ XI. Autres propriétés des systèmes de trois axes conjugués relatifs A UN POINT. — Réflexions sur les méthodes de transformation.
48. Soient trois axes rectangulaires ox^ oy, oz, et une droite quelconque om menée par ie point o; quc^ par le point m de cette droite^ on mène trois plans respectivement perpendiculaires aux trois axes^ et les rencontrant aux points a[, b[, c[ ; on aura
om = oa^ -+- 00, h- oci .
Nous pouvons exprimer ce théorème en disant que la somme des carrés des trois projections de la droite om, sur trois axes rectangulaires , est constante, quelle que soit la position de ces trois axes. Ainsi
oa\ -4- 00, -*- oCi = const.
Pour transformer ce théorème, concevons une sphère qui ait pour centre le point 0 : les trois axes ox, oy, oz, seront, en direction, trois demi-diamètres conjugués de cette sphère. Soient a,, 6,, c,, les points où ils la rencontrent : nous pourrons mettre notre équation sous la forme
oa\ oh\ oc\
\'j ; H ^ -4- -^ = const.
Otti ÔSi OCi
Faisons la figure corrélative. Nous aurons une surface du second degré; trois droites X, Y, Z, comprises dans un plan 0, qui seront telles que la polaire de chacune d'elles, par rapport à cette surface, passera par le point de concours des deux autres. Soient X', Y', Z', ces trois polaires : elles passeront par le pôle i du plan 0, pris par rapport à la surface , et elles seront trois axes conjugués, relatifs à ce point i. Ce sont les droites qui
'6iD MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE.
correspondent aux trois droites situées à Finfini dans les plans yoZy zoXy xoxfy de la première figure.
Nous aurons encore^ dans le plan 0^ une quatrième droite correspondant à la droite om\ et^ si Ton mène par cette droite un plan transversal M^ il correspondra au point m.
Aux trois plans menés par ce point m , perpendiculairement aux trois axes oXy oy, oZy correspondront les trois points où le plan M rencontre les trois axes conjugués dont nous venons de parler.
D'après cela, on voit aisément que, aux quatre points o, a(, a^ et Vinfini, situés sur Taxe oxy correspondront, dans la nouvelle figure, quatre plans passant par la droite X : le premier est le plan 0 ; le deuxième passe par le point où le plan M rencontre Taxe X', polaire de la droite X; le troisième est tangent à la surface, en Fun des deux points où cet axe la rencontre; et le quatrième passe par le point i.
Le rapport anharmonique de ces quatre plans est égal à celui des quatre points de la première figure, auxquels ces plans correspondent, lequel est \ Exprimons le rapport anharmonique des quatre plans par celui des quatre points où ils rencontrent Taxe X'. Soient «, a', a, les trois premiers de ces quatre points, dont le quatrième est i : on aura
oa
oa\ tua! ta' ooi aa ta
Par chacune des deux autres droites Y', Z', passeront pareillement quatre plans, qui donneront lieu aux équations
06; 66' obi 66
ib'
oc yc' oCi yc
te' te
où l'on conçoit parfaitement les points représentés par les lettres S, 6, 6',
iMÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE. 6H
On aura donc^ d'après l'équation (1)^ la suivante^ qui en est la transformée ;
faa' ta'\« /6fc' ib'Y IrC icV
— :— -^ br-T ■*- — •— ) =consl., na lal \66 to/ \yc ici
OU
lia la'V lib ibV Ne ic'V
— : — -H — :77-J -*- — : — = consl. \aa a' al \66 />'6/ \cy c'y}
D'où résulte ce théorème :
Etant donnes une surface du second degré et un plan transversal; si, autour d'un point i, pris arbitrairement, on fait tourner trois axes conju-gués par rapport à la surface , et qu'on désigne par a, 6, y, les points où ils rencontrent le plan polaire du point i ; par a, b, c, trois des six points on ils rencontrent la surface ; et enfin par a', b', c', l£S trois points où ils rencontrent le plan transversal; on aura
lia ia'V lib ib'Y lie iV\* ^ ' \aa aW \66 6'6/ Xey c'y!
quel que soit le système des trois axes conjugués menés par le point i.
49. Ce théorème exprime une propriété Irès-générale des systèmes do trois axes conjugués d'une surface du second degrés relatifs à un point.
L'indétermination de position du plan transversal par rapport à la surface^ ou de la surface par rapport au plan^ permet de faire différentes suppositions ^ qui conduisent à quelques théorèmes assez simples.
Ainsi y en supposant le plan transversal parallèle au plan polaire du point fixe iy les rapports
la' l6' tV o'a 6'6 c'y
seront égaux y et l'on aura
ia xb xe oa 66 cy
ce qui exprime que :
6iâ MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE.
Si, par un point fixe, on mène trois axes conjugtiés par rapport à une surface du second degré; la somme des carrés des segments compris entre le point fixe et trois des points où les trois axes rencontrent la surface, divisés respectivement par les carrés des segments compris entre ces trois points et le plan polaire du point fixe y sera constante, quel que soit le système des trois axes conjugués.
30. Dans Féquation générale (2) y qui a lieu pour une position arbitraire du plan transversal, remplaçons le rapport;^ par le rapport des perpendiculaires abaissées, des deux points a, a', sur le plan 0. Soient ap^ a'p' ces perpendiculaires : le premier terme de Féquation (2) deviendra
\av api
\ap
Changeant de la même manière les deux autres termes , nous aurons Féqualion
tSI. Maintenant, c'est un théorème de géométrie élémentaire, très-facile i\ déinonlror par une comparaison de triangles, que si Ton mène par le point t une perpendiculaire au plan mené par ce point et par Fintersection des pliius M, 0 ; que cette droite rencontre le plan M au point d^, et que, de ce point (/', on abaisse une perpendiculaire d' s' sur le plan 0; on aura
^TT = -r; COS. (o irf ).
as ap
(]etlo relation a lieu quelle que soit la direction de la droite ia'. D'après cela, Féquation (3) devient
I (rp)' "•■"■••■"■' **]^ (S)'-
COIlSt.
OU; eo faisant passer le facteur ^^Vdans le second membre^ et le comprenant dans la constante y
lia \»
I — I cos*. (a'W) -f- etc. = const
Cette équation exprime une propriété générale des systèmes de trois axes conjugués d'une surface du second degré ^ relatifs à un même point. La direction de la droite id^, dans ce théorème ^ est arbitraire ^ puisque le plan transversal M^ qu'elle a remplacé y était lui-même de position arbitraire.
52. Si Ton conçoit deux autres droites ^ menées par le point iy on aura deux équations semblables à la précédente. Et si Ton suppose ces deux nouvelles droites et la première ^ id*y perpendiculaires entre elles^ on aura^ en ajoutant membre à membre les trois équations j
ia IB %c
37 H j -4- ^^= const.
ap 5ç cr
Celle-ci exprime ce théorème :
5i; par un point fixe, on mène trois axes conjugués par rapport à une surface du second degré, et que, sur chacun d'eux , on prenne un des deux points où ils percent la surface ; les trois points pris ainsi jouiront de cette propriété, que la somme des carrés de leurs distances au point fixe , divisés respectivement par les carrés de leurs distances au plan polaire du point fixe, sera cmistante, quel que soit le système des trois axes conjugués.
S3. Supposons ; dans le théorème général (48)^ que le plan 0 soit à rinfini : le point i sera le centre de la surface; les trois axes conjugués ia, ib, ic seront trois diamètres conjugués; les rapports ^,, etc.; seront égaux à FuDité; et Téquation (2) deviendra
ta i6 te
— r H H : = const. :
77? 7Î7 7:7* ta xo xc
ce qui prouve que :
La smnme des carrés de trois demi-diamètres conjugues d'une surface du second degré, divisés par les carrés des segments faits, sur ces diamètres, par un plan transversal fixe, est comtante.
34. Enfin ^ dans le théorème général (48)^ supposons que la surface soit de révolution^ et ait un foyer situé au point i : le plan 0^ qui est le plan polaire de ce point, sera le plan directeur correspondant à ce foyer, et les trois axes conjugués ia, ib, te, seront rectangulaires; de plus, les trois rapports ^, etc. (50), seront égaux et constants, et Téquation (3) se réduira à
an b'q' tr'
— - H H = const.
la %b te
Celle-ci signifie que :
Etant donnés deux plans et un point fixe dans l'espace; si, autour de ce point, on fait tourner trois axes rectangulaires^ qui rencontreront le premier plan en trois points ; la somme des carrés des distances de ces trois points au second plan , divisés respectivement par les carrés de leurs distances au point fixe , sera constante.
Ce théorème peut se démontrer directement au moyen de la proposition exprimée par Féquation
é == ;^, • COS. («'«') (51)
as ap
53. Il est curieux de voir tant de théorèmes différents , et dont plusieurs sont des propriétés si générales des surfaces du second degré, résulter d'une simple proposition de Géométrie élémentaire, relative aux projections d'une ligne droite sur trois axes rectangulaires. Cet exemple sufiirait pour montrer Futilité et la puissance des nouvelles méthodes de transformation.
Ces méthodes nous paraissent répondre parfaitement à cette pensée de M. Poinsot : « En Géométrie, comme en Algèbre, la plupart des idées diffé- » rentes ne sont que des transformations ; les plus lumineuses et les plus » fécondes sont pour nous celles qui font le mieux image, et que Fesprit
» combine avec le plus de facilité dans le discours et dans le calcul. » ( EUments de Statique, 6« édition , p. 3S1,) Ce sont ces idées les plus lumineuses et les plus fécondes que les méthodes de transformation feront découvrir ^ soit en établissant les liens cachés qui ont lieu entre une foule de propositions <]ui semblaient d^abord isolées, et étrangères les unes aux autres^ soit en "variant très-diversement , par des procédés certains , les formes d'une idée primitive.
Et que Ton ne croie pas que cette foule de théorèmes divers ^ que Ton peut aujourd'hui multiplier indéfiniment par ces méthodes y doivent compliquer la Céométrie^ et en rendre Fétude plus longue et plus pénible. Toutes ces projjositions^ nouvelles ou plus générales que celles que Ton connaissait déjà^ £iuroDt^ au contraire ; pour effet certain^ de simplifier cette science et d'en étendre les doctrines.
En effets d'une part; les propositions d'un nouveau genre donneront lieu à des théories et à des considérations géométriques nouvelles ; et; d'autre I^art^ les propositions qui rentreront dans des théories connues forceront^ par leur généralité; d'élargir les bases actuelles de ces théories ; et de les asseoir des principes susceptibles de déductions plus diverses et plus générales, nous considérons les méthodes de transformation comme des moyens précieux pour la découverte de théorèmes nouveaux ; et la démonstration de quelques vérités partielles; mais, quand il s'agit de vérités appartenant à une théorie déjà formée , les démonstrations que procurent ces méthodes artificielles ne nous paraissent pas complètement satisfaisantes : cette théorie doit trouver en elle-même les ressources nécessaires pour la démonstration directe des vérités qui lui appartiennent; sans qu'on soit obligé de s'appuyer sur les vérités correspondantes; dans la théorie corrélative. Ainsi; par exemple; si Dous faisions entrer; dans un Traité des surfaces du second degré, les propriétés nouvelles que nous avons trouvées dans les paragraphes précédents; telles que celle des axes conjugués relatifs à un point, ce serait directement que nous démontrerions ces propriétés; el non par le principe de dualité. Ce sont ces démonstrations directes qui; nécessairement; amèneront un perfectionnement notable dans les théories géométriques.
Ainsi j ce n'est pas seulement sous le rapport du grand nombre de propositions que Ton introduira dans la Géométrie^ que nous reconnaissons une haute utilité aux méthodes de transformation; mais c'est aussi parce qu'il en résultera un perfectionnement certain des méthodes et des théories^ et que^ par suite ^ la science gagnera en étendue et en facilité.
Nous pouvons citer, à l'appui de ces réflexions, la théorie des coniques. On s'est eiïrayé parfois du nombre prodigieux de propositions dont elle s^est accrue depuis une trentaine d'années; et cela a détourné peut-être de l'étude de la Géométrie; cependant les personnes qui ont suivi ce développement, penseront certainement qu'un Traité des Coniques, que l'on écrirait aujourd'hui, et qui embrasserait toutes ces propositions récentes ainsi que toutes tes anciennes, serait beaucoup plus facile, plus lumineux, et plus court en paroles, en même temps que plus étendu en doctrine, que le grand Traité d'Apollonius, et que les ouvrages célèbres de La Hire, de L'Hospital, et de R. Simson.
§ Xll. Transformation des propriétés du centre des moyennes distances d'un système de points, — Centre des moyennes harmoniques.
56. Soient plusieurs points a, 6, c,.... en ligne droite. On sait qu'il existe, sur cette droite, un certain point g tel que, quel que soit un autre poin m pris sur cette droite , on aura toujours l'équation
ma -♦- m6 -4- me -4- ••• ssn.m^,
OU
ma mb me
mg mg mg
n étant le nombre des points a, b, c,
L(^ point g est appelé le centre des moyennes distances des points
' Lu Ihi^orli* du rentre den moyennes distances contient, implicitement, celle du centre de
Faisons la figure corrélative : nous aurons des pians A^ B^ G^.... G^ M passant par une même droite ^ et un dernier plan I^ passant aussi par celte droite^ et correspondant au point situé à Finfini sur la droite ma. L'équation ci-dessus donnera^ en vertu de la seconde partie du principe de corrélation (13),
siii. M, A sin. I,A sin. M, B sin. I,B
sin. M, G sin. I,G sin. M, G sin. I,G
OU
sin. M, A sin.M,B sin. M, G
^ sin. 1, A sin. I, B sin. I,G
Tirons une transversale quelconque, qui rencontre ces plans aux points a, jS, y, .... Oy fiyi; nous aurons
ucL ta sin. M, A sin. lA fxe id sin. MG sin. IG
et par conséquent
fAx f*6 fiy
fie
Mt i€ ly
le
Le point m était arbitraire dans Féquation (1); donc le plan M , et par suite, le point fx sont aussi arbitraires dans les équations (2) et (3); prenons ce point fi à finfini : Féquation (3) deviendra
la
ly
tB
Donc, quelle que soit la transversale menée à travers les plans A, B,
gravité f parce que, pour passer de la première h la seconde, il suflit de supposer que plusieurs points du système se réunissent en un seul. On introduit de la sorte, dans l'dqualion (|), comme dans toutes celles qui se rapportent h cette théorie, des coedicients dont chacun marque le nombre des points réunis en un seul , et peut être regarde comme la masse de ce point unique. Ainsi nous pouvons, pour plus de simplicité, ne parler que du centre des moyennes distances, et néanmoins les théorèmes que nous obtiendrons s*appliqueront d'eux-mêmes au centre de gravité d'un système de points matériels.
6i8 MEMOIRE DE GÉOMÉTRIE.
Cy ...y G et I; les points où elle percera ces plans donneront toujours lieu à cette équation.
Mac-Laurin a appelé, dans cette équation, la distance lO la moyenne har-monique entre les distances la^ t(3y ty.... *; et M. Poncelet a appelé le point 0 le centre des moyennes harmoniques des points «, ê, y, .... par rapport au point i **.
57. L'équation (4) exprime donc ce théorème, qui est le corrélatif de la propriété du centre des moyennes distances d'un système de points situés en ligne droite, exprimée par Téqualipn (1) :
Etant donnés plusieurs plans A, B, C^ .... et un dernier plan I, passant tous par une même droite ; il existera toujours un certain plan G, passant aussi par cette droite, et jouissant de cette propriété, que, si l'on mène une transversale quelconque, le centre des moyennes harmoniques des points où elle percera les plans A, B, C, .... par rapport au point oii elle percera le plan I, sera toujours dans ce plan G.
58. Remarquons que si la transversale était menée parallèlement au plan I, on aurait
tOL l6
et Téquation (2) deviendrait
/*« -+- fAê -h fiy -4- ••• = n./u6.
Ce qui prouve que le point 6 est le centre des moyennes distances des points «, S, y, ....'
Ainsi nous pouvons dire que le plan G est tel, que toute transversale, parallèle au plan I, le rencontre en un point qui est le centre des moyennes distances des points oit cette transversale rencontre les plans A, B, C, ....
59. La position du point 0, qui est le centre des moyennes harmoniques
§ 28 de son Traité des propriétés générales des courbes géométriques. Mémoire sur les centres des moyennes harmoniques , inséré au lomc III du Journal de Mathématiques, de M. Crelle.
des points a, S, y^ .... par rapport au point e^ est déterminée indifféremment par Féquation (4) , ou par réquation(3)^ qui contient un point arbitraire //; de sorte que ces deux équations sont identiques. Cette identité résulte de la propriété même du centre des moyennes distances, exprimée par Téquation (1), où le point m est indéterminé; mais on peut en donner une démonstration directe, très-facilement.
D'abord on passera de Féquation (3) à Téquation (4) en remplaçant, dans la première, jua par [u — <«, [jlS par [xt — £; et ainsi des autres segments.
Réciproquement, on passera de Féquation (4) à Féquation (3) en prenant Féquation identique
la i6 ly iB
ta 10 ly iB
et la retranchant de Féquation (4), après avoir multiplié les deux membres de celle-ci par [n ; car il en résulte
fit — ta /xt — i6 fA* — ty f*' — '^ 1 H H- • • = n . 1
ta tt ly tB
ou
fjta Ac6 fAy p.0
ta t% ty tB
Ainsi Fidentité des équations (3) et (4) est démontrée directement. Elle exprime une propriété importante du centre des moyennes harmoniques d'un système de points situés en ligne droite.
60. Maintenant, si nous considérons Féquation (4), non plus sous le rapport de sa signification propre dans la théorie du centre des moyennes harmoniques, mais comme exprimant une relation entre cette théorie et celle du centre des moyennes distances, relation fondée sur le principe de dualité , nous aurons ce théorème , qui nous sera utile dans la suite :
« Si Fon a plusieurs points en ligne droite, et leur centre des moyennes » distances, et qu'on fasse la figure corrélative, on aura des plans passant » par une même droite , dont le dernier, qui correspondra au centre des
» moyennes distances ^ sera tel^ que si Ton tire une transversale quelconque , » le point où elle rencontrera ce dernier plan sera le centre des moyennes » harmoniques des points où elle percera tous les autres plans ^ par rapport » au point où elle percera le plan correspondant au point situé ^ à l'infini^ sur » la droite des points de la première figure, »
61. Considérons plusieurs points en ligne droite : a^ b, c, ... et leur centre des moyennes harmoniques g, pris par rapport à un point o de cette droite ; nous aurons
oa 00 og
OU
og og
oa 00
Faisons la figure corrélative. Nous aurons n plans A^ B^ C^.... un plan O^ et un dernier plan G^ plus un plan I , correspondant au point de la droite ab situé à Tinfini : tous ces plans passeront par une même droite. Menous une transversale quelconque^ qui rencontrera ces plans aux points a, 6, yy .... cj^ 9et < : d'après la seconde partie du principe de dualité,
»9 iO 6)6 f9
WL lOL Ci}6 /€
ou
OU , suivant ce qui vient d'être démontré ci-dessus ,
• • • CSS» ^"^*
Ce qui prouve que :
« Quand on a plusieurs points en ligne droite y et leur centre des moyennes » harmoniques^ par rapport à un point de cette droite ; si Ton fait la flgure ») corrélative, on aura des plans passant par une même droite, dont Fa vaut-
MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE. 62i
i> dernier sera tel que ^ si Ton mène une transversale quelconque^ elle ren- » contrera ces plans en des points dont Favant-dernier sera le centre des » moyennes harmoniques des premiers, par rapport au dernier. »
62. Soient des points a, 6, c, ...., placés d'une manière quelconque dans l'espace, et g leur centre des moyennes distances; la propriété de ce point est que, si par tous ces points on mène des plans parallèles entre eux, une transversale quelconque les rencontrera en des points dont le dernier sera le centre des moyennes distances de tous les autres.
Faisons la figure corrélative; nous aurons des plans A, B, C,...., placés d'une manière quelconque dans Fespaee, et un dernier plan G, correspondant au centre des moyennes distances g. Tous les plans menés parallèlement entre eux, par les points a, 6,.... g^ donneront lieu à des points situés sur les plans A, B, .... G, et tous sur une même droite passant par le point i qui répond à Tinfini de la première figure ; le dernier de ces points sera le centre des moyennes harmoniques de tous les autres, par rapport au point i (60). On a donc ce théorème :
Soient plusieurs plans, placés d'une manière quelconque dans l'espace; si, autour d'un point fixe, on fait tourner une transversale, et qu'on prenne sur elle le centre des moyennes harmoniques des points où elle perce les plans, par rapport au point fixe, ce centre aura pour lieu géométrique un plan.
M. Poncelet a appelé ce plan, dans son Mémoire cité ci-dessus, le plan des moyennes harmoniques, relatif au point fixe.
Il est remarquable que ce théorème soit précisément le corrélatif de la propriété du centre des moyennes dislances d'un système de points.
Mac-Laurin a démontré ce théorème pour le cas d'un systèmç de lignes droites situées d'une manière quelconque dans un plan *; nous le reproduisons ici pour montrer celte relation remar(|uable qui existe entre ce théorème et la propriété du centre des moyennes distances d'un système de points. On n'aurait pas supposé, a priori, des rapports aussi directs et aussi simples entre deux propositions en apparence si difl*érentes.
* De linearxnn geometrirarum proprietatibas trartatvsy § :26.
63. En appliquant le principe de dualité au théorème que nous venons de démontrer^ on parvient immédiatement au suivant :
Quand on a un système de points a, b, c, .... dans l'espace, et un plan fixe I; si par une droite ^ prise arbitrairement dans ce plan, on mène des plans passant par tous ces points; puis qu'on tire une transversale quelconque^ et que Ion prenne sur elle le centre des moyennes harmoniques des points où elle perce ces plans, par rapport au point oh elle perce le plan I ; le plan mené par ce centre et par la droite prise dans le plan \, passera par un point fixe, quelle que soit cette droite.
Ce point fixe a été appelé, par M. Poneelet, le centre des moyennes harmoniques des points a,b,Cy ....,par rapport au plan 1.
Ce théorème est une généralisation de hi propriété du centre des moyennes distances d'un système de points; car si le plan I est à Tinfini^ le point fixe sera précisément le centre des moyennes distances des points
64. Le centre des moyennes harmoniques d'un système de points^ par rapport à un plan, jouit de diverses aulres propriétés, que nous omettons ici, parce que nous reviendrons sur cette théorie dans la seconde partie de cet écrit, en appliquant le principe de déformation homographique.
§ XIII. Théorème de Newton, sur les diamètres des courbes. — Propriétés
