NOUVELLES DES SURFACES GÉOMÉTRIQUES

65. Soit une surface géométrique. Si Ton tire des transversales parallèles entre elles, et qu'on prenne le centre des moyeimes distances des points où chacune d'elles rencontre la surface, le lieu géométrique de ces centres sera un plan.

Gela est une conséquence du théorème que Newton a donné sur les c/iamètres des courbes géométriques^ au commencement de son Ênumératiam des lignes du troisiè^ne ordre.

Faisons la figure corrélative; nous aurons une nouvelle surface géomé-

trique : aux transversales correspondront des droites^ toutes situées dans un même plan, qui correspondra au point de concours (situé à Tinfini) des transversales. D'après ce que nous avons démontré (60), sur la transformation de la propriété du centre dos moyennes distances d'un système de points situés en ligne droite, on aura ce théorème :

Quand on a une surface géométrique , et un plan situé d'une manière quelconque dans l'espace ; si par une droite, prise arbitrairement dans ce plan, on mène les plans tangents à cette surface; puis, qu'on tire une transversale quelconque et qu'on prenne sur elle le centre des moyennes harmoniques des points oii elle perce tous les plans tangents, par rapport au point où elle perce le plan donné; le plan mené par ce centre et par la droite prise dans le plan donné, passera par un point fixe, quelle que soit celte droite.

66. Si la surface primitive est Tensemble de plusieurs plans, sa transformée se réduira à plusieurs points isolés, et le théorème exprimera la propriété du centre des moyeimes harmoniques d'un système de points, déjà démontrée ci-dessus (63).

67. Si par les points où une des transversales T, dans la première figure, rencontre la surface, on mène les plans tangents à cette surface, et qu'on prenne le centre des moyennes distances des points où toute autre transversale rencontre ces plans tangents, ce centre sera sur le plan P, lieu géométrique des centres relatifs à la surface. (]ar ce point sera sur un plan fixe P', parce que les plans tangents forment une surface géométrique; mais quand la transversale sera infiniment voisine de la première T, les points où elle percera la surface se confondront avec les points où elle percera les plans tangents; les deux plans P, P', auront donc plusieurs points communs, et se confondront.

Faisant la figure corrélative, on conclut aisément de là, d'après le théorème (66), ce nouveau théorème :

Quand on a une surface géométrique et un plan fixe situé d'une manière quelconque dans l'espace; si par une droite, prise arbitrairement dans ce plan, on mène les plans tangents à la surface; le centre des moyennes har--

moniqnes de leurs points de contact avec la surface^ relatif au plan fixe, sera toujours le même point de l'espace, quelle que soit la droite prise datis ce plan.

68. Si le plan fixe est à Tinfini, on conclut de ce théorème cette autre propriété singulière des surfaces géométriques :

Etant donnée une surface géométrique; si on lui mène ses plans tangents parallèles à un même plan, leurs points de contact avec la surface auront pour centre des moyennes distances un point fixe, quelle que soit la direction commune des plans tangents.

69. Les propriétés générales des surfaces géométriques, que nous venons de démontrer, ont lieu, bien entendu, pour les courbes planes; et elles s'appliquent aussi aux courbes à double courbure; car, dans les théorèmes connus d'où nous les avons déduites, par notre principe de transformation, la surface proposée pouvait être développable et donner, pour transformée, une courbe à double courbure (17).

70. Ces théorèmes, combinés entre eux, et appliqués à des systèmes de cônes et de cylindres circonscrits à une surface géométi'iqne, ou passant par une même courbe à double courbure, conduisent à plusieurs autres théorèmes curieux, qui sont une généralisation des propriétés des cônes circonscrits à une[^surface du second degré, et ayant leurs sommets sur une droite ou sur un plan.

Il ne peut entrer dans Tobjet de cet écrit de nous étendre davantage sur ce genre tout nouveau de propriétés générales des surfaces et des courbes géométriques. Nous en avons fait d'ailleurs l'objet d'un Mémoire spécial, inséré dans la Correspondance mathématique de M. Quetelet. (Voir le second Mémoire sur la transformation parabolique des relations métriques des figures; Correspondance, t. VI.)

Nous donnerons, dans la seconde partie de cet écrit, quelques autres propriétés des courbes et des surfaces géométriques, qui appartiennent à la même théorie.

§ XIV. Propriété du quadrilatère gauche; double génération de l'hyperboloïde a une nappe, par une ligne droite mobile.

71. Soit un quadrilatère gauche aa^b'b. On sait que si Ton mène une droite mm' qui divise les côtés opposés ab, a'b'y proportionnellement, c'està-dire de manière qu'on ait

«m a'ni

bm b'm'

l"" La droite mm' sera dans un plan parallèle aux deux autres côtés aa'y bb;

2** Cette droile rencontrera toute droite, telle que nn'y qui s'appuie sur les côtés aa',bb'y et qui est parallèle au même plan que les deux côtés a6, a'b\ (Géométrie de Legendre, o® livre.)

Faisons la figure corrélative. Nous aurons un second quadrilatère gauche (xJS&y dont les plans des angles a, a', f , 6', que nous désignons par A, A', B, B', correspondent respectivement aux sommets a, a', 6, 6' du premier. Aux points m, m' correspondront, dans la nouvelle figure, deux plans M, M' passant respectivement par les deux côtés «S, «'S'; et, aux points ??, w', correspondront deux plans, passant respectivement par les côtés olJ y S&.

Soient I, V les deux plans qui correspondent aux points situés à Tintini sur les côtés ab^ a'b' ; ces plans passeront par les côtés «6, «'S", respectivement; et Ton aura

sin. M,A sin. I, A ma

sin. M, B sin. I, B mb

sin. M',A' sin.r, A' m'a' sin. M', B' ' sin. I', B' " m'b' '

On a donc, d'après l'équation (1) :

.,, sin. M, A sin. I,A sin. M', A' sin. F, A' sin. M, B ' sin. I, B ~" sin. M', B' ' sin. r,B'

Cest-à-dire que le rapport anharmonique des quatre plans A ^ B^ 1/ M, est égal au rapport anharmonique des quatre plans A'^ B'^ I'^ M'.

Les droites lia', bb', mm\ étant parallèles à un même plan, on peut les considérer comme s appuyant sur une même droite située à Tinfini; le^ droites qui leur correspondent, dans la nouvelle figure, s'appuieront donc aussi sur une même droite; et cette droite rencontrera la droite d'intersection des deux plans I, I', puisque celle-ci correspond aussi à une droite située à riniini, et que toutes les droites à Finfini sont considérées comme étant dans un même plan.

Enfin, la droite iiii' étant dans un plan parallèle aux deux côtés ab^ a'b', ces trois dn>ites peuvent être considérées comme s'appuyant sur une même droite située à Finfini; à cette droite située a Pinfini correspond la droite d'intersection des deux plans 1,1'; à la droite lui' correspondra donc une droite quelcimque, s^ippuyant : l"" sur la droile d'intersection des plans A. A*; i^ sur la dn>ite d'intersection des plans B, B'; 3*" sur la droite d^interstHiion des plans 1,1'.

IV là on conclut ce théorème :

Kuml iUmnès trihis plans A, B, I, passant par une droile , et trois autres pians i/HeliVHijHes A\ B', I', passant par une seconde droite; si autour d£ trs itvnx iinntes on fait tourner des plans M, M', de manière que le rapfH^rl anhanêunuifuc des quatre plans A, B, I, M soit égal au rapport an/iarmoniqut drs quatre autres plans A', B', I', M'; la droite d'intersection des di'ux plans M% M' s appuiera, dans toutes ses positions, sur toute transversale qui s appuierait sur les trois droites d'intersection des plans k, B, I, par tes plans W U\ T, respectivement.

tîolu piHune que la droite d'intersection des plans M, M engendre un lixporholoïde à une nappe; et, comme la transversale sur laquelle collo dhMto s appuie dans toutes ses posilions est indéterminée, on ou conclut «ussi la double génération de cette surface par une ligne

dioito«

(le llHHUH^mo corn^spond à celui que nous avons appelé, dans la Géo-

niOtrlo phme, propriété anharmojiique des points d'une conique (voir la

Note XV). II nous sera très-utile dans la théorie des surfaces du second degré.