Reprenons l'expression de ox

Supposons les (rois points Â^ B^ C, à Pinfini; il viendra

et^ pareillement:

01/ =T-r- iS'Oe,

Mettant ces valeurs dans Téquation (1), et faisant entrer les constantes dans les coefficients ; on aura une équation

F —, —, — =. 0, ^ik' iV il''

OÙ les variables

•et • ' 'v

entreront au degré m.

Ainsi Quand on a une surface géométrique ; si, par un point, l'on tire trois axes

fixes quelcœiques; chaque plan tangent à la surface les rencontrera en trois points, dont les distances au point fixe auront , entre leurs valeurs inverses, une relation constante , d'un degré égal au nombre de plans tangents qu'on pourra mener à la surface, par une même droite. Et réciproquement.

78. Donc : Si ton prend, sur les arêtes d'un angle trièdre, trois points dont les distances au sommet de l'angle aient entre leurs valeurs inverses une relation constante, du premier degré ; le plan déterminé par ces trois points passera, dans toutes ses positions , par un point fixe.

79. Concevons le tétraèdre lABC, et le plan qui coupe ses trois arêtes lA, ?B, iC, aux points f', v', ç'; soient/?, />', /?", /s'", les distances de ce plan aux quatre sommets i, A, B, G; nous aurons

On aura donc, d'après le théorème (73), une relation

OÙ les trois rapports entreront au degré m. Si Ton multiplie tous les termes par /d"*, on aura une équation homogène, du degré m, entre les quatre distances /O, p'y /o", /)'".

Donc

Dans toute surface géométrique, les distances de chacun de ses plans tangents, à quatre points fixes, pris arbitrairement dans r espace, ont toujours entre elles une relation homogène, d'un degré égal au nombre des plans tangents Çréels ou imaginaires) qu'on peut mener à la surface, par une même droite.

Et, réciproquement :

Quand les distances d'un plan mobile, à quatre points fixes, ont entre elles une relation homogène, du degré m; ce plan enveloppe une surface

courbe, à laqwlle on peut meney*, par une même droite quelconque, m pla^is tangents (réels ou imaginaires) *.

80. Ainsi ^ si Ton demande un plan tel, que ses distances à quatre points fixes, multipliées respectivement par des constantes, aient leur somme égale à zéro, une infinité de plans satisfont à la question, et tous ces plans passeront par un même point. En effet, on sait que ce point serait le centre de gravité des quatre points fixes, s'ils avaient des masses proportionnelles aux constantes qui multiplient les distances du plan mobile à ces points.

§ XVI. Nouvelle méthode de géométrie analytique.

81 . Les théorèmes précédents offrent une manière de déterminer, par une équation entre trois variables, lousles plans tangents à une surface courbe, analogue à la méthode par laquelle on détermine, en Géométrie analytique, par une équation entre trois variables, tous les points d'une surface.

On prendra arbitrairement dans Tespace un tétraèdre ^ABG. Un plan rencontrera les trois arêtes lA, iB, iC, en trois points |, y, (, qu'il suffira de connaitre pour que le plan soit déterminé. On déterminera ces points euxmêmes par les rapports

Aç By ce

1*5 iv tÇ

qu'on pourra appeler les coordonnées du plan, et que nous représente-

* Ce thëorèmc s'applique à un nombre quelconque de points fixes; c*est4-dirc que : Étant donnés plusieurs points fixes dans l'espace ; si Von mène vn plan de manière que ses distances à ces points aient entre elles une relation homogène constante, du degré m ; ce plan enveloppera, dans toutes ses positions, une surface géométrique, à laquelle on pourra mener m plans tangents par une même droite.

Ce théorème se conclut, par le principe de dualité, de cette autre proposition, dont In démonstration résulte des premiers principes de la Géométrie analytique, savoir : Le lieu d'un point dont les distances à plusieurs plans fixes ont entre elles une relation constante, du degré m , est une surface géométrique, qu'une droite quelconque rencontre en m points (réels ou imaginaires).

rons par x^ y, z. Chaque système de valeurs de ces trois coordonnées donnera un plan. Donc une équation entre ces trois coordonnées représentera une infinité de plans, lous assujettis à une certaine loi exprimée par cette équation, et qui, par conséquent, envelopperont une certaine surface.

Il résulte, du théorème (73), qu'une équation F (a?, y, ^)=0, où les variables a?, y y Zy n'entrent qu'au premier degré, représente un point; c'est-à-dire que tous les plans déterminés par cette équation passeront par un même point; qu'une équation du second degré représente une surface du second degré; et, en général, qu'une équation du degré m représente une surface à laquelle on peut mener m plans tangents par une même droite.

82. Deux équations qui devront avoir lieu en même temps, détermineront les plans tangents communs aux deux surfaces que ces équations représentent individuellement : ces deux équations représenteront donc la surface développable circonscrite à ces deux surfaces.

Pareillement, trois équations donneront les plans tangents communs aux trois surfaces représentées par ces équations.

Il suit de là que, quand trois surfaces seront inscrites à la même développable, les équations de deux d'entre elles devront rendre identique l'équation de la troisième.

Si l'on a deux surfaces du second degré, représentées par les équations F = 0, /*= 0; toute autre surface du second degré, inscrite à la développable circonscrite aux deux premières, aura son équation de la forme F + >^ /^ 0, l étant une constante.

83. Chaque plan tangent à une surface la touche en un point qu'on déterminera par une formule semblable à l'équation du plan tangent à une surface, dans le système de coordonnées en usage.

Ainsi, soient F(a?,^, z) = 0 l'équation de la surface; a?', y', z', les coordonnées de son plan tangent : l'équation du point de contact sera

84. Si Ton veut avoir Tintersection de la surface par un plan, on indiquera que le point dont nous venons de donner Féquation doit être sur ce plan. Soient a, 6, 7, les coordonnées de ce plan : on aura Féquation de condition

Cette équation représente une surface dont les coordonnées courantes sont ^'} y\ ^'* Cette surface est telle que les plans tangents à la surface proposée, en ses points d^intersection par le plan (a, S, 7), lui sont aussi tangents. Donc cette équation, et Téquation F(ir', ;/', z') = 0 de la surface proposée, représentent une développable circonscrite à celle-ci suivant sa courbe d'intersection par le plan dont les coordonnées sont a, 6, y. Ainsi cette courbe d'intersection est déterminée.

85. Nous ne pousserons pas plus loin ces analogies, qui suffisent pour faire voir le mécanisme de ce nouveau système, et à quel genre de questions il conviendra particulièrement. Mais Ton conçoit que, pour remployer avec avantage, il est nécessaire de le présenter directement et d'une manière élémentaire, pour connaître la signification des coefficients de certaines équations qui se représenteront toujours, telles que celles du point et d^ la ligne droite. La méthode par laquelle nous venons d'exposer les propriétés principales de ce système ne suffit pas pour donner les expressions géométriques de ces coefficients, parce qu'ils renferment les segments orf, oe, ofy (73), qui appartiennent à l'ancien système. Nous reviendrons donc sur cette nouvelle

* méthode de Géométrie analytique, pour l'exposer directement, et avec les développements' nécessaires.

86. On remarquera que, si les trois axes fA, tB, tC, sur lesquels sont comptées les trois coordonnées de chaque plan, sont parallèles entre eux, ces coordonnées deviennent précisément les segments A|, Bv, G|, d'après le théorème (75). Le système alors se simplifie beaucoup, et a une plus grande analogie avec le système de coordonnées de Descartes.

Au contraire, quand les trois axes f A, f B, fC, passent par un même point.

et que le plan ABC est à Tinfini^ les trois coordonnées de chaque plan sont^ d'après le théorème (77), les valeurs inverses des distances du point i aux points où le plan rencontre les trois axes ik, iBy tC.

,^ XVH. Suite du précédent. — Applications du nouveau système