Lx' -♦- My' + Nz

Concevons un plan fixe qui ait pour équation

Lx H- My -4- Nz -f- 1 = 0.

La perpendiculaire abaissée du point m', sur ce plan, a pour valeur

1 ^ Lx' -♦- Mv' -♦- Nz m'p' = — ::=z=zzr—

On a donc

*wp l/L'-f-M'^N»

Soil 0 Torigine des coordonnées, qui est le centre de la surface; on a

om" x"

om X

z\y par conséquent,

om' 1

om"^

^P [/TTwT^

Soit fx le point où la droite om" perce le plan mobile, dont le point m'' est le pôle; et soit oa le demi-diamètre de la surface, dirigé suivant cette droite; on a, comme Ton sait,

om = —

d'où

oa om'

Cette équation exprime les relations géométriques qui ont lieu entre le point directeur m' (x' y', z^) et le plan mobile. On en tire

I mp

oa = oa, 7 • consl.

Ce qui donne lieu à ce théorème :

Si, du centre d'une surface du second degré, on ^nène un rayon à chaqtie point d'une figure proposée A', et quon prenne sur ce rayon, à partir du centre de la surface, un segment qui soit à ce rayon divisé par la distance du point de la figure à un plan fixe, et multiplié par le carré du demidiamètre de la surface, compris sur ce rayon, dans une raison constante: le plan mené par l'extrémité de ce segment, parallèlement au plan diamétral conjugué à la direction du rayon, enveloppera une autre figure A, qui sera CORRÉLATIVE de la proposée.

123. Si le plan fîxe est à Tinfini^ cette flgure A sera précisément la polaire réciproque de la proposée.

Car, dans ce cas, on a L = 0, M = 0, N = 0; et Téquation du plan mobile se réduit à

équation du plan polaire du point (x^yy'y ^'), par rapport à la surface du second degré.

Et la formule géométrique prend alors la forme connue

oa oii = — ;• om

Ainsi le mode de transformation exprimé par le théorème cî-dessus comprend, comme cas particulier, celui que donne la théorie des polaires réciproques.

124. Ce mode de transformation jouit de la propriété suivante^ qui est l'une des plus utiles dans les applications de cette théorie; savoir :

Le plan corrélatif dhm point est parallèle au plan diamétral de la sur^ face auxiliaire, conjugué à la droite qui va du centre de cette surface à ce point.

Sous ce premier rapport^ le mode général de transformation oflre donc les mêmes facilités^ dans ses applications^ que celui des polaires réciproques.

125. Mais^ sous un autre rapport^ il oflre un grand avantage que n'a pas cette théorie. C'est que, à un même point de l'espace, considéré comme appartenant successivement aux deux figures, ne correspond pas, dans les deux figures, un même plan, comme cela a lieu dans la théorie des polaires. Ainsi par exemple, au point pris pour centre de la surface auxiliaire, considéré comme appartenant à la figure A', correspond l'infini dans la surface A; et à ce point, considéré comme appartenant à la figure A, correspond le plan fixe dans la figure A'.

Cette difl*érence rend notre mode de transformation immédiatement applicable à plusieurs relations métriques, auxquelles la théorie des polaires réciproques n'est pas propre.

Quelques exemples éclairciront cela.

126. Mais disons d'abord que le mode de transformation se simplifie quand la surface du second degré est une sphère. Alors les plans de la figure A sont perpendiculaires aux rayons menés, du centre de la sphère, aux points correspondants de la figure A'; et la formule de transformation est, en comprenant le rayon de la sphère dans le coefficient constant:

mp OfA = A.

Et si l'on vient à supposer que le plan fixe P, sur lequel sont abaissées les perpendiculaires m'/?', soit à l'infini, la formule se réduit à

OfA= ;

128. Il faudra se rappeler toujours^ dans les applications de la formule générale, que, au point o considéré dans la figure A, correspond le plan fixe dans la figure A'.

D'où il suit que :

l'' A un plan M mené par le point o, et considéré comme appartenant à la figure A, correspond, dans la figure A', un point situé dans le plan fixe P;

Ce point est sur la perpendiculaire au plan M, menée par le point o (126).

2° A une droite L, menée par le point o, et considérée comme appartenant à la figure A , correspond, dans la figure A', une droite située dans le plan P;

Cette droite est Fintersection de ce plan par le plan mené avec le point o, perpendiculairement à la droite L.