La formule

om'

7np

ne donne directement que les points m' de la figure A', correspondant aux plans de la figure A, et non les plans de la figure A', correspondant aux points de la figure A. Mais il est facile d'en tirer la manière de construire ces plans. Pour cela, étant donné un point s de la figure A, on concevra, mené par ce point, un plan perpendiculaire à la droite os; on prendra, dans la surface A', le point correspondant à ce plan, et la droite correspondant à la droite os : le plan mené par ce point et par cette droite sera le plan cherché.

D'où Ton conclut que :

Pour construire le plan S' de la figure A', correspondant à un point s de la figure A, on tirera la droite os y sur laquelle on prendra le point s' déterminé par la formule

os= X, — - • os

Par le point o, on mènera un plan perpendiculaire à la droite os; ce plan

Ton aura un plan S, correspondant au point s y qui sera le plan polaire du point 0 par rapport à cette surface A' *.

A trois plans diamétraux rectangulaires de la sphère, correspondront trois points situés dans le plan S, qui seront tels que le plan polaire de chacun d'eux , par rapport à la surface A', passera par les deux autres. Les droites menées du point o, à ces trois points, seront rectangulaires, comm< étant, par construction, respectivement perpendiculaires aux trois plan& diamétraux de la sphère; et ces trois droites seront trois axes conjuguée relatifs au point o, puisque ce point est le pôle du plan S, par rapport à surface A'. Ainsi trois axes conjugués, relatifs au point o, sont rectauj laires; ce qui prouve que la surface A' est de révolution, et quelle point 0 pour foyei*, et le plan S pour plan directeur correspondant.

Cette surface est située d'une manière quelconque par rapport au plai^HHm^vni P, puisque la direction de son plan directeur S dépend de la position du centz^ -W^ 're s de la sphère proposée, et que ce centre est pris arbitrairement ^^K^^m^^^ns Tespace.

Si la sphère enveloppe le point o, la surface A' ne coupera pas le plai parce que si elle le coupait, à la courbe d'intersection correspondrai! cône circonscrit à la sphère, et ayant le point o pour sommet.

Et si, au contraire, le point o se trouve au dehors de la sphère A plan P coupera la surface A'.

132. Cest un théorème de Géométrie élémentaire, facile à démoni que « si autour d'un point fixe, on fait tourner une transversale qui rencoi » une sphère en deux points, et qu'on mène les plans tangents en » points, la somme ou la diflerence des valeurs inverses des distances^ » ces plans, au point fixe, sera constante. » Ce sera la somme quand le po. fixe sera pris au dedans de la sphère, et la différence quand il sera pris ^ dehors.

Prenons pour le point fixe le point o, et appliquons ce théorème k\^

* Car, en gënëral, le plan correspondant ou point s est le plan polaire, par rapport à la surface Â', du point qui correspond h Tinfini de la première figure (27); et ici ce point est le centre de la surface auxiliaire, c*est-à-dire le point o (125).

droite qui joint les points de contact des deux plans tangents à la surface^ passe par le pôle du plan fixe; et que, par conséquent, le théorème peut être énoncé ainsi :

Si^ autour d'un point fixe, on fait tourner une tramversale qui reticontre en deux points une surface du second degré, de révolution ; la somme ou la différence des distances de ces points, à un foyer de la surface, divisées par les distances des mêmes points, au plan polaire du point fixe, sera comtante.

Ce sera la somme si le point fixe est situé dans Tintérieur de la surface^ et la différence s'il est situé en dehors.

Nous pourrions, par la même méthode de transformation, démontrer diverses autres propriétés nouvelles des foyers des surfaces de révolution ; mais elles se présenteront dans nos applications du principe d'homographie.

135. Deuxième application. Soit un polygone régulier, de m côtés, circonscrit à un cercle, et soit n un nombre plus petit que m. La somme des puissances n des perpendiculaires abaissées, d'un point fixe o, sur les côtés du polygone, sera constante, quelle que soit la position du polygone par rapport à ce point. Cela résulte d'un théorème de Stewart, qui donne l'expression de la somme de ces puissances n, en fonction du rayon du cercle, du nombre m et de la distance du point o au centre du cercle *.

Appliquant à ce théorème la formule

om

on en conclut le suivant :

Si, autour du foyei* d'une conique, on fait tourner une rose des vents, de m rayons;

n étant un nombre plus petit que m;

La somme des puissances n des distances des m points où ces rayons rencontreront la conique, à une droite fixe, divisées respectivement par les puissances n des distances de ces points, au foyei^ de la courbe, sera constante.

136. On peut remplacer, dans ce théorème, la distance de chaque point

* Some gênerai theorems of considérable use in the higher parts of mathematics ; prop. 40.

obtiendra ainsi un théorème correspondant^ dans une conique quelconque^ au théorème de Cotes.

L'expression de ce théorème est un peu compliquée. Pour la simplifier^ nous supposerons que la droite qui^ dans la nouvelle figure^ est corrélative du point 0 de la première figure, soit située à Finfini. Alors on a le théorème suivant :

Si l'on divise Fespace angulaire^ autour du foyer d'une conique, en 2m parties égales^ en menant 2m rayons , dont le premier coïncide avec le gra)id axe; et qu'aux points on ces rayons rencontrent la courbe, on lui mène ses tangentes :

Le produit des distances des tangentes de rang impair, au foyer, sera

Et le produit des distances des tangentes de rang pair, au foyer, sera

égal à -

a et h étant les deux demi-axes principaux, et c l'excentricité de lu conique.

Si la conique est une parabole, on a ce théorème :

Si l'on divise l'espace angulaire, autour du foyer d'une parabole, en 2m parties égales, par 2m rayons y dont le premier coïncide avec l'axe de la parabole, et qu'on mène les tangentes à la courbe, aux m points où les rayons de rang pair la rencontrent; le produit des perpendiculaires abaissées du foyer, sur ces tangentes, sera égal à la puissance m de la distance du foyer à la directrice.

§ XXIV. Autres modes de consthuction des figures corrélatives : par

LE DÉPLACEMENT FLM , OU INFINIMENT PETIT, d'uN CORPS SOLIDE LIBRE DANS l'espace; par la considération d'un SYSTÈME DE FORCES APPLIQUÉES A UN CORPS SOLIDE LIBRE.

143. Quand on a un corps solide, placé d'une manière quelconque par rapport à trois axes coordonnés, qye nous supposerons rectangulaires; on sait que si Ton fait éprouver à ce corps un mouvement infiniment petit, les

^« «LlfOfftE DE GÉOMÉTRIE.

Et, en yéntrml. k% pkmà m^mma mut Irajecîoires des points d'une fmrfate dm de^t m. t^Kekfft^iU mmt $etomle smrface géométrique , à laquelle OH peut wi^/ker m /Jmk* kvnfen^tê par mmt mièmt droite.

144. Aioêi; qa^ùà uoe fifun^. de forme quelconque^ éprouve un déplacemeot iofionDent petit. ie$ pblk^ nomiaiu aux trajectoires de ses points enveloppent one seeomie fifure qui e^t eorrétatîre de la première.

Voilà donc une onniêre très-^^mple de concevoir la description des figures corrélatives.

145. Cette méthode oflre des avanta^ dans la Géoméirie spéculative, parce que les figures v ont une dépendance particulière, qui n'a pas lieu dans la théorie des polaires; c'est que chaque plan de la nouvelle figure passe par le point correspondant de b figure proposée. Cela fait que la seconde partie du principe de corrélation, c*est-à-dire le théorème lY, n'a plus besoin de démonstration : il est une conséquence immédiate de la

construction des figures.

146. Mais il y a, entre les deux figures, un rapport de relations métriques beaucoup plus simple , qui repose sur ce théorème :

// existe, dans le corps, un certain axe qui na de mouvejnent que dans sa propre direction;

Les plaM normaux aux trajectoires de deux points quelconques a, b du corps rencontrent cet axe en deux points a, S, qui sont les pieds des perpen-diculaires abaissées sur lui, des points a , b ;

De sorte que ton a toujours

«€ ^= a6 . COS. (aby X);

X désignant la direction de Taxe en question.

Ainsi Ton aura , entre les distances des points de la figure proposée , et les segments que les plans correspondants, dans la figure corrélative, intercepteront sur Taxe X, des équations de cette forme. Ces équations serviront à convertir les relations métriques de la figure donnée, en relations appartenant à la nouvelle figure.

Nous nous bornons^ pour le moment^ à énoncer cette proposition^ pour ne pas surcharger cet écrit de détails étrangers à son but principal; nous nous proposons de revenir sur ce sujets pour établir^ par de simples considérations de Géométrie^ les propriétés générales du mouvement d'un corps solide; lesquelles propriétés sont nombreuses et intéressantes /et sont susceptibles^ quoique purement géométriques^ d'apporter quelque lumière dans plusieurs questions de Mécanique.

147. lie déplacement fini quelconque d'un corps solide^ dans l'espace^ peut donner lieu aussi à la construction de figures corrélatives. Cette construction est fondée sur le théorème suivant :

Si Fon a, dans ^espace, deux figures égales, et placées d'une manière quelconque , l'une par rapport à t autre ;

Que Von joigne, par des droites, les points de la première figure aux points correspondants de la seconde; et que, par le milieu de chacune de ces droites on lui mène un plan normal;

Tous ces plans envelopperont une figure qui sera corrélative de chacune des deux figures proposées, et corrélative, aussi, d'une troisième figure^ formée par les points milieux des droites qui joignent les points homologues dans les deux preinières.

Donc^ si la première est plane^ la troisième sera plane aussi; et les plans menés par ses diflerents points passeront par un même point (ce point sera situé dans le plan de cette troisième figure).

Si la première figure est une surface du second degré^ la troisième figure sera aussi une surface du second degré; et les plans menés par ses points envelopperont une autre surface du second degré.

Nous donnerons dans un autre écrit la démonstration de ces théorèmes^ qui peut se faire par de simples considérations de Géométrie^ ou par TÂnalyse *.

On peut vérifier aisément ces théorèmes, au moyen des formules suivantes, relatives au déplacement fini d'un corps solide dans Tespace, en fonctions des six coeflicicnts indépendants qui suffisent pour exprimer ce déplacement. Soient x, y, z les coordonnées d'un point du corps, dans sa position primitive, el x', y\ z' les

148. Le mode de construction des figures corrélatives, que nous a fourni Je déplacement infiniment petit d'un corps solide, peut être présenté d'une autre manière, où n'entre pas l'idée de mouvement. Voici comment :

Soil une vis y placée d'une manière quelconque dans P espace; cofwevans que, par tous les points d'une figure proposée, passent des hélices de la vis :

4** Les plans normaux à ces hélices, menés par les points de la figure , envelopperont une seconde figure, qui sera corrélative de la première ;

5° Le segment compris sur l'axe de la vis y entre deux j>lans normaux, sera égal à la projection orthogonale de la droite qui joint les deux points correspondants.

De sorte que les relations métriques de la première figure seront faciles à transporter dans la seconde.

1 49. 11 résulte de là que si l'on coupe la surface d'une vis (à filets triangulaires ou rectangulaires , indifféremment) par un plan quelconque, et que,

coordonnées du même point considéré après le déplacement; ces coordonnées ont des valeurs de la forme

x'= l -ha;V/l — (L»-f-M*-f-iV) -t- {Hz - Nj/) -+- , ^ — . L . (La? h- My -♦- Nz).

î/'=m-+-î/t/l — (L*-f-M»-t-N«)-+-(Na? — Lz)H , , ' — — ^ .M .(Lj?-hMyH-Na),