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s' = in-zV/i-(L*-*-M»-f-N»j4-(Ly-Ma;)H , , „, — ^ . N . (La: -+- My -♦- Ni) ;

OÙ Ij m, n, L, M, N, sont six coefficients indépendants.

Ces formules sont la généralisation de celles d*Euler, qui ne convenaient qu'à un déplacement infiniment petit du corps solide.

Elles peuvent servir aussi pour la transformation d*un système de coordonnées rectangulairet en un autre système de coordonnées rectangulaires. Et, sous ce rapport, elles satisfont à une question qui a occupé dans tin temps les Géomètres : trouver de telles formules qui ne contiennent que les trois coefficients indépendants nécessaires et suffisants pour exprimer la position des nouveaux axes, et où ces coefficients entrent d'une manière symétrique.

Les formules de Monge, qui ont résolu cette question (Mémoires de l'Académie de Turin; années 1784 et i785), ont l'inconvénient de contenir six expressions radicales différentes. Les formules précédentes n'en contiennent qu'une.

151. Quant aux relations métriques de la nouvelle figure, on les conclura de celles de la figure proposée, au moyen de la proposition suivante^ dont la démonstration est sans difiiculté, mais serait ici sans intérêt :

Si l'on prend un certain axe fixe, parallèle à la résultante de toutes les forces (Paxe que M. Poinsot a appelé Vaxe central des moments *), le seg-ment intercepté sur cet axe, par deux plans quelconques appartenant à tune des deux figures, sera égal à la projection orthogonale, sur cet axe, de la droite qui joint les deux points correspondants, dans l'autre figure.

§ XXV. Cakactékes particuliers de divers modes de construction

DES figures corrélatives.

152. Nous avons vu que la théorie des polaires réciproques nWre pas la construction la plus générale des figures corrélatives, parce qu^elle ne permet de disposer que de neuf constantes, au lieu de quinze. Il en est de môme des autres modes que nous venons d'exposer dans le paragraphe précédent, dans chacun desquels on ne peut disposer que de six constantes. Dans ces dernières méthodes, les figures corrélatives ont un caractère particulier; c'est que les plans d'une figure passent par les points de l'autre figure auxquels ils correspondent. Mais ces méthodes ont un autre caractère propre, qui leur est commun avec celle des polaires réciproques, et qui ne se présente pas d'une manière aussi palpable : c'est une réciprocité parfaite entre deux figures corrélatives; réciprocité qui consiste en ce que si, après avoir construit la figure corrélative A' d'une figure A, on voulait, par le même mode de construction , former la figure corrélative de A', on retrouverait la figure A. Cela a lieu, comme on sait, dans la théorie des polaires, parce que le point fixe, par lequel passent tous les plans polaires des différents points d'un plan^ a précisément pour plan polaire ce plan (118). 11 en est de même dans la construction des figures corrélatives, par voie de mouvement infini-

* Éléments de Statique; G' édition, page 358.

directeur parcourt ce plan, le plan mobile tournera autour d'un point de la surface A', dont les coordonnées sont données par les trois équations