X = LU, Y = MU, Z=:NU

et ce point est précisément celui où le plan mobile touche la surface A', quand le point directeur est en a (théorème IL)

Soient a?", y", z" les coordonnées de ce poinL Remplaçons, dans les trois équations précédentes, X, Y, Z, U par X", Y", Z", U", pour indiquer que les trois variables y ont les valeurs a:", y", z"; nous aurons les trois équations

L'équation

représente un plan mobile, entraîné par le mouvement du point (a?", y'', z'^). Si nous supposons que ce point soit sur la surface A', les trois équations précédentes auront lieu; par conséquent Téquation générale de son plan mobile se réduira à

Lx •¥■ My -f- Nz = i .

C'est précisément Féquation du plan tangent à la surface A. L'équation

est donc «elle qui convient au second plan mobile, pour qu'il enveloppe la surface A, pendant que son point directeur parcourt la surface A'.

Or, on voit que, pour former cette équation, il faut changer, dans l'équation du premier plan mobile, les coordonnées courantes en celles du second point directeur, et celles du premier point directeur en coordonnées courantes. On peut donc énoncer ce théorème général :

Quand l'équation d'un plan mobile contient^ au premier degré, les coof*dannées x', y', z' d'un point directeur; si l'on y change les coordoivnées cou-'

cipal relatif à cette origine^ on trouve que le plan du moment principal d^un point quelconque (a?', y', z'), a pour équation

(z'A, - y'A, - M.) X ^ (x'A, - z'A, - M,) y H- (.y'A. — x'A^ — M,) 2 -*- x'i\I,H-.y'M,-+-jc'M.=:0;

et une simple vérification fait voir que cette équation reste la même quand on y change les coordonnées courantes a?, y, z, en x', y', z' et vice versa.

L'équation du plan mobile^ dans ce dernier mode de construction des figures corrélatives^ a tout à fait la même forme que celle du plan normal à la trajectoire d'un point d'une figure en mouvement : il y a en effet , dans ces deux questions^ des rapports intimes remarquables, dont il serait hors de propos de parler ici , et sur lesquels nous reviendrons ailleurs.

155. Il nous reste à faire voir que, chaque fois que Féquation du plan mobile sera symétrique, comme dans les exemples précédents, elle aura nécessairement la forme de l'équation du plan polaire d'un point par rapport à une surface du second degré, ou celle du plan normal à la trajectoire d'un point d'un corps solide en mouvement.

En effet, l'équation générale du plan mobile est de la forme

(ax -+- 6y -4- cz — d) x' -4- (a'x -♦- b'y •+■ c'z — d') y' -+- (a"x -*- b"y -^ c"z — d") z'

Cette équation sera la même, après le changement de a?, y, z en ar', y', z^ et vice versa, si son premier membre est resté identiquement le même^ soit avec le même signe , soit avec un signe différent.

Dans le premier cas, en comparant le premier membre à ce qu'il devient par le changement en question, on trouve les six conditions :

et; dans le second cas^ on trouve les conditions

a = 0, 6=0, r =0, d" = 0, rf = — a", rf' = ~6", rf" = -c", 6t=— a', c=-o', c = — 6'.

Telles sont les deux seules solutions de la question.

Les deux équations du plan mobile, qui y correspondent, sont

ax'x -4- b'y'y -♦- c"z'z ■+■ b {y'x -^ x'y) -^ c (z'x -+- x'z) -+- 6" (z'y -♦- y'z) — d (x -^ X') — -d' (y -4- y') - d" (z -*- z') — d"' = 0

et

Faisons

la première équation devient

(2Ax' -^ Dy' -h Ez -4- G) X -h (2By' -4- Dx' -*- Fz' ^ H) y H- (2Cz' -4- Ex' -^ Fy' -♦- I) z -^ Gx' -4- Hy' -k- \z - d' " — 0.

G^est Féquation du plan polaire du point (x', y', z'), par rapport à la surface du second degré qui a pour équation

d'" Ax' -4- By' -4- Cz' -4- Dxy -♦- Exz -4- Fyz -4- Gx -♦- Hy -♦- Iz = 0,

Donc, dans le premier cas, le plan mobile pourra toujours être considéré comme le plan polaire du point directeur, par rapport à une surface du second degré.

Nous devons faire observer que cette surface pourrait être imaginaire; alors, en changeant le signe du dernier terme de son équation, on aurait une surface réelle. Ainsi Ton pourrait encore, dans ce cas, diriger le mouve-

ment du plan mobile par la considération d'une surface auxiliaire^ du second degré.

Dans le second cas^ si Ton fait

Féquation du plan mobile devient

(« — x') ^ -*- (y — y') ^ -4- (« — x') (îh — {y'x — x'y) «TN — (x'z — z'x) ^M — (z'y — y'«) <ÎL = 0.

Cest Féquation du plan normal à la trajectoire du point (x^, y', z'), considéré comme appartenant à une figure de forme invariable^ qui a éprouvé un mouvement infiniment petit.

Remarquons que cette équation est satisfaite quand on y fait x =' x', y = y\z = z'.

1S6. De cette analyse^ il résulte que :

Quand l'équation d'un plan mobile contient, au premier degré, les coor^ données x', y', z' (Tun point, et quelle reste la même quand on y change les coordonnées courantes x, y, z en x', y', z' et vice versa, elle ne peut avoir que deux formes différentes; et le plan mobile peut être considéré comme le plan polaire du point (x', y', z'), par rapport à une surface du second degré, déterminée; ou bien comme le plan normal à la trajectoire du point (x', y', z'), regardé comme appartenant à un corps solide qui éprouve un mouvement infiniment petit.

Mais on conçoit que ces deux formes de Féquation du plan mobile pourraient avoir d'autres interprétations géométriques; comme nous Favons fait voir à Fégard de la seconde , qui convient aussi au plan du moment principal d'un système de forces, relatif au point (a?', y', z').

Pareillement^ les points by 6 sont conjugués harmoniques par rapport aux deux mêmes points; il en est de même des points c, y et des points rf, S; donc trois quelconques de ces quatre systèmes de deux points forment une involution (Note X, art. 12 W^^ p. 555); et, par suite, les huit points ont entre eux la relation que nous voulions démontrer (même Note, n** 9).

158. Maintenant, pour faire Tapplication de la formule (1), que nous nous proposons, écrivons ainsi cette formule

fie sin.A,G ad sin. A, D 6c'sin.B,C ôct'sin. B, D

Le second membre est constant, quels que soient le point c et son plan polaire G. Que, dans le plan C, on prenne un point m : son plan polaire M passera par le pôle c du plan G. Le rapport des distances du point m, aux deux plans A, B, sera égal à^j^i-^i^j je rapport des distances du plan M, aux deux points a, 6, sera égal à^; et, d'après Téquation ci-dessus^ ces deux rapports seront entre eux dans une raison constante.

On a donc cette propriété générale des surfaces du second degré : Étant pris dans V espace deux points fixes a , b , e/ leurs plans polaires A, B, par rapport à une surface du secoiid degré ; si Fon mène un plan transversal quelconque, le rapport de ses distances aux deux points a, b, se7'a au rapport des distames du pôle de ce plan, aux deux plans A , B , dans une raison constante^ quel que soit le plan transversal.

159. Si le plan transversal est tangent à la surface, son pôle sera le

point de contact; on en conclut que :

Etant pris dans l'espace deux points fixes, et leurs plans polaires par rapport à une surface du second degré; le rapport des distances d^un point quelconque de là surface, à ces deux plans, sera au rapport des dista^ices du plan tangent à la surface, en ce point, aux deux points fixes, dans une raison constante.

D'après cela , on reconnaît que plusieurs des théorèmes que nous avons démontrés, sur les plans tangents à une surface du second degré, menés par

161. D'abord) elle établit une relation générale entre trois plans quelconques et leurs pôlcs^ pris par rapport à une surface du second degré; relation qui fait voir que^ trois plans étant donnés^ on ne peut pas prendre arbitrairement trois points pour représenter les pôles des trois plans ^ par rapport à une surface du second degré. Deux de ces points peuvent être pris arbitrairement^ mais le troisième doit être assujetti à une certaine condition^ exprimée par Féquation (2). L'expression géométrique de cette condition est que le troisième pôle doit être pris sur un certain plan déterminé.

Car Féquation (2) fait connaître le rapport (l) • (b)> fl^^ lui-même détermine la position du plan mené par la droite d'intersection des deux plans A^B^ et par le pôle e du troisième plan C.