Nous conclurons de là, d'abord, ce théorème

Quand plusieurs surfaces du second degré sont telles, que deux plans donnés aient chacun le même pôle par rapport à ces surfaces; les pôles d'un plan transversal, mené arbitrairement, seront sur un même plan qui passera par la droite d'intersection des plans donnés.

163. Si le plan transversal esta l'inOni, ses pôles seront les centres des surfaces; donc

Quand plusieurs surfaces du second degré sont telles, que deux plans donnés aient chacun le même pôle par rapport à toutes ces surfaces, ces surfaces ont leur centres situés sur un même plan.

164. La même équation (2) donne le rapport (^) : (J); ce rapport détermine sur la droite ab un point par où passe le point G; on conclut de là

que :

Quand plusieurs surfaces du second degré sont telles, que deux platis donnés aient chacun le même pôle par rapport à ces surfaces , les plans polaires d'un point, pris arbitrairement dans l'espace , passeront par un même point de la droite qui joint ces deux pôles.

165. Désignons par L le plan mené par le point a et par la droite d'iDtersection des plans B, C; par M le plan mené par le point b et par la droite d'intersection des plans C, A; et enfin par N le plan mené par le point c et

m MÉMOIRE DE GÉONÉTKIE.

Pareillement ,

cm am

L'équatioD (2) devient donc

an bl cm on cl am

équation qui prouve que les trois points/^ m, n, sont en ligne droite. Donc :

Un triangle étant pUcé d'une manière quelconque par rapport à une surface du second degré^ les plans polaires de ses sommets rencontretit, respectivement, les côtés opposés, en trois points qui sont en ligne droite.

Ce théorème pouvait se conclure immédiatement du précédent^ par la théorie des polaires réciproques; mais il nous a paru intéressant de montrer que Tun et l'autre sont exprimés par la seule équation (2).

167. Des deux théorèmes (165) et (166), on déduit sans difficulté cette propriété générale des surfaces du second degré :

Etant donné un tétraèdre, et étant pris les pôles de ses quatre faces, par rapport à une surface du second degré y et les plans polaires de ses quatre sommets ;

1*» Les droites qui joindront les sommets du tétraèdre aux pôles des faces opposées à ces sommets, seront quatre génératrices, d'un même mode de génération, d'un hyperboloïde à une nappe;

2° Les droites d'' intersection des plans polaires des sommets du tétraèdre, par les faces opposées à ces sommets respectivement, seront quatre géné^ ratrices, d'un même mode de génération, d'un second hyperboloïde à une nappe.

168. Ce théorème est susceptible d'une multitude de conséquences. Nous en avons exposé déjà plusieurs dans les Annales de Mathématiques, \. XIX ^ p. 76. Nous nous bornerons ici à faire observer qu'on en conclut que :

plans, formeront un système de trois diamètres conjugués. Ces Irois diamètres feront connaître, par la construction que nous avons donnée dans la Note XXV, les trois axes principaux de la surface.

Ainsi le problème est résolu complètement.

Nous nous sommes étendu sur cette solution, parce que nous croyons qu'il serait utile qu'on ne négligeât aucune occasion de construire les surfaces du second degré déterminées par diverses conditions, pour hâter le perfectionnement de leur théorie, et arrivera la connaissance de la relation si désirée qui doit exister entre dix points d'une telle surface. Peul-êlre parviendra-t-on d'abord, en s'occupant de ce genre de questions, à quelques cas particuliers de cette relation, qui mettront sur la voie de la relation générale elle-même.

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