Voici comment nous énoncerons ce principe

Une figure de forme quelconque élanl donnée dans l'espace y on peut toujours concevoir une seconde figure du même genre, et jouissant des mêmes propriétés descriptives que la première , c'est-à-dire qu'à chaque point y à chaque plan, à chaque droite de la première figure , correspon-dront, dans la seconde, un point, un plan, une droite;

Aux points à l'infini dans la première figure y correspondront, dans la seconde, des points situes tous sur un même plan; de sorte qu'à des faisceaux de droites parallèles y appartenant à la première figure, correspondront, dans la seconde, des faisceaux de droites concourant en des points situés tous sur un même plan;

Les deux figures auront entre elles des relations de grandeur, consistant en ce que :

1° Ze rapport anharmonique de quatre points situes en ligne droite, dans la première figure, sera égal au rapport anharmonique des quatre points homologues, dans la seconde figure;

2° Le rapport anharmonique de quatre plans de la première figure, passant par une même droite, sera égal au rapport anharmonique des quatre plans homologues, dans la seconde figure.

Ainsi a, b, c, d étant quatre points quelconques de la première figure^ situés en ligne droite^ <^t.^'> 6^ c'y d' étant les quatre points homologues dans la seconde figure^ on aura toujours Fégalité

ca da c'a' d'à' ^*^ 7b''db^Vb''dV''

et Â^ B^ G^ D étant quatre plans quelconques de la première figure^ passant par une même droite^ et A'^ B'^ G'^ D' étant les quatre plans homologues dans la seconde figure^ on aura Fégalité

sin. C,A sin. D,A sin. C'.A' sin. D'.Â'

^^ sin.CB sin. D,B sin. C, B' * sin. D, B'

La démonstration de ce principe est bien simple; il suffit de concevoir une figure A' corrélative de la proposée A, c'est-à-dire sa transformée par le principe de dualité; puis de former une autre figure A'^ corrélative de A'; il est clair que A" sera du même genre que A, et que les deux figures auront entre elles toutes les dépendances comprises dans Ténoncé du principe.

172. Si les quatre plans A ^ B^ C^ D étaient parallèles entre eux, on remplacerait le premier membre de Téquation (2) par le rapport anharmo- DÎque des quatre points où ces plans rencontreraient une transversale queU conque; ainsi soient a, 6, y, i ces points, on aurait

yoL âa sin. C',A' sin. D',A' ^ ^ * jë "^ sin. C, B' * sin. D', B' '

On agirait de même si les quatre plans correspondants A', B^, G^, D^, de la seconde figure , étaient parallèles entre eux.

173. Ces formules se simplifîent quand un ou deux des points qui y entrent sont à TinGni.

Si le point d, de la première figure, est situé à Finfini^ Téquation (1) deviendra

ca c'a' d'à' .

Si Tun des quatre points a', 6', c', e/', de la seconde figure, est aussi situé à TinGni, Féquation deviendra encore plus simple; car le second membre ne contiendra que deux segments, de même que le premier.

174. Les deux équations (1) et (2) sont susceptibles d'interprétations géométriques qui faciliteront, dans beaucoup de questions, les applications du principe d'homographie.

L'équation (1 ) s'écrit sous la forme

ca c'a' da d'à' Tb'Tb'^db'Jb''

Le second membre est indépendant de la position du point e, situé sur la droite a6, et de son homologue c' ; nous pouvons donc écrire

ca c'a'

-:- = const.,

quel que soit le point c sur la droite a6.

Menons par le point c un plan quelconque M; considérons-le comme appartenant à la première figure^ et menons par le point & le plan M' qui lui correspondra dans la seconde figure. Soient /^^ q^ les distances du plan M aux deux points a, b; on aura

p ca q cb

Soient pareillement p^ , q^, les distances du plan M' aux points a', b' ; on aura

p ca

On a donc

— : — = const.

Le plan M a été mené arbitrairement par le point c; et ce point avait une position quelconque sur la droite ab; de sorte que le plan M a une position tout à fait arbitraire dans Fespace. Cette équation exprime donc que :

Dans deux figures homographiques , le rapport des distances d'un plan quelconque de la première^ à deux points fixes de cette figure, est au rapport des distances du plan homologue , dans la seconde figure, aux deux points fixes qui correspondent à ceux de la première figure, dans une raison constante.

175. Maintenant considérons Téquation (2)^ et écrivons-la sous la forme

sin. C, sin.C',A' sin. D, A siu.D', A' sin.C,B * sin. C, B' "" sin. D, B sin. D',B'

Le second membre est indépendant de la position du plan G^ qui est arbitraire^ pourvu seulement que ce plan passe par la droite d'intersection des deux plans A, B; on a donc

sin. c, A sin.C',A'

: = const.

sin.C,B sin.C',B'

Prenons^ dans le plan G /un point quelconque m appartenant à la première figure; et^ dans le plan C^ le point correspondant m' de la seconde figure. Le rapport des distances du point m^ aux deux plans A, B^ sera égal à ^.°' ^ ^ ; le rapport des distances du point mJy aux deux plans A', B', sera égal à ^^°' ^; y . Ces deux rapports seront entre eux dans une raison constante^ d'après Téquation ci-dessus. On en conclut ce principe :

Dans deux figures homographiques , le rapport des distances d'un point quelconque de la première, à deux plans fixes appartenant à cette première figure, est au rapport des distances du point homologue dans la seconde figure, aux deux plans fixes qui correspondent aux deux premiers, dans une raison constante.

Cette raison ne dépend que de la position des plans fixes auxquels on rapporte les points des deux figures.

176. L'un des deux plans fixes de chaque figure peut être prisa Tinfini : nous allons voir ce que devient alors le théorème.

Supposons que le plan B soit à Tinfini : les quatre plans A', B^ C^ D étant alors parallèles entre eux^ nous nous servirons de Féquation (3)^ dans laquelle S est à Finfini. Cette équation devient

ou

ou enfin

rot 8m.C',A' sin.D',Â' <fa siD. es B' ' 8in. D', B' '

^" ' 8in. C, B' "** * sin. D', B

sin. C, A' va : ■ = const.,

8in.C',B

quel que soit le plan C et le plan C'^ qui lui correspond dans la seconde figure.

/a est proportionnel à la distance d'un point quelconque du plan C au plan A, puisque le plan C est parallèle au plan A ; ^^^ ^; g> est proportioQiiel à la distance d'un point du plan C'^ aux deux plans A^^ B'; on conclut donc de là que :

phiques^ à un point et à son plan polaire par rapport à la première surface^ correspondront un point et son plan polaire par rapport à la seconde; à deux droites , polaires réciproques par rapport à la première surface, correspondront deux droites, polaires réciproques par rapport à la seconde.

184. D'après cela, soient trois diamètres conjugués de la première surface 1; la polaire de chacun d'eux est située à Finfini, dans le plan des deux autres; donc, à ces diamètres correspondront, dans la surface homographique 1' , trois droites passant par le point G', qui seront telles que la polaire de Tune d'elles sera dans le plan des deux autres; et ces polaires seront toutes trois dans le plan polaire du point G'. On peut dire que ces trois droites sont telles, que la polaire de chacune d'elles passe par le point de concours des deux autres.

Nous avons déjà eu à considérer, dans la première partie de cet écrit, le système des trois droites menées par un point fixe , de manière que chacune d'elles ait sa polaire, par rapport à une surface du second degré, comprise dans le plan des deux autres. Nous les avons appelées axes conjugués, relatifs au point fixe.

Ainsi, par un point donné, on peut mener une infinité de systèmes de trois axes conjugués par rapport à une surface du second degré. Ces systèmes de trois axes conjugués jouissent de nombreuses propriétés, dont plusieurs sont des généralisations des propriétés connues des systèmes de diamètres conjugués des surfaces du second degré. Nous avons déjà démontré un certain nombre de ces propriétés; mais la matière est loin d'être épuisée, et nous aurons à y revenir dans plusieurs de nos applications de la théorie des figures homographiques.

§ III. Lieu géométrique du point de rencontre de trois plans tangents