A UNE SURFACE DU SECOND DEGRÉ, ASSUJÉTIS A CERTAINE CONDITION

185. On sait que si l'on mène trois plans rectangulaires, tangents à une surface du second degré, 2, leur point d'intersection a pour lieu géomé- Irique une sphère concentrique à la surface. Ge théorème est du à Monge.

Pour le généraliser par la déformation homographique ^ au lieu de dire que les trois plans tangents sont rectangulaires^ considérons -les comme étant parallèles à trois plans diamétraux d^une sphère, qui soient conjugués entre eux.

Concevons cette sphère et ses trois plans diamétraux conjugués; désignons-la par U, et soit W la sphère décrite par le point d'intersection des trois plans tangents à la surface 1. Faisons la déformation homographique. Nous aurons deux surfaces du second degré, l'y U' ; un plan T correspondant à rinfini de la première figure; trois plans tangents à la surface 2', ayant pour traces, sur le plan I', trois droites telles, que la polaire de chacune d'elles, par rapport à la surface U ', passera par le point de rencontre des deux autres (184). Le point de rencontre de ces trois plans engendrera une surface du second degré, W, homographique de W, et qui par conséquent aura une courbe d'intersection, commune avec U', située sur le plan I' (parce que les deux surfaces U et W étant semblables et semblablement placées, ont une courbe d'intersection à l'infini); et ce plan V aura même pôle dans les deux surfaces 2' et W (parce que ce pôle correspondra au centre commun des deux surfaces U et W).

Nous pouvons donc énoncer ce théorème général :

Étant données deux surfaces quelconques du second degré; si, dans un plan fixe, on prefid arbitrairement trois droites telles, que la polaire de chacune d'elles , par rapport à la seconde surface, passe par le point de rencontre des deux autres; et que, par ces trois droites, on mène trois plans tangents à la première surface; le point de rencontre de ces trois plans aura pour lieu géométrique une surface du second degré, qui coupera la seconde surface sur le plan fixe; et le pôle de ce plan, dans cette nouvelle surface, sera le mê^ne que dam la première des deux surfaces proposées.

Ce théorème général est susceptible de plusieurs corollaires.

186. D'abord, si le plan V esta l'infini, on en conclut que :

Étant données deux surfaces du second degré; si l'on mène trois plans tangents à la première, qui soient parallèles à trois plans diamétraux conjugués de la seconde, le point d'intersection de ces trois plans sera sur une

troisième surface du second degré, semblable à la seconde et semblablement placée.

Quand la seconde surface est une sphère^ ce théorème est précisément celui de Monge y d'où nous sommes parti.

187. Si le plan I' coupe la seconde surface suivant une conique^ les trois droites prises dans ce plan seront telles que le pôle de chacune d'elles^ par rapport à cette conique, sera le point de concours des deux autres; on peu! donc donner au théorème ce second énoncé, moins général que le premier, seulement parce qu'il ne permet plus de supposer à Finfini le plan fixe :

Si Von a dans l'espace une surface du second degré et une conique , et que, par trois droites prises dans le plan de cette courbe, de manière que le pôle de chacune d'elles, par rapport à ta courbe, soit le point de cofwours des deux autres, on mène trois plans tangents à la surface; leur point d'intersection aura pour lieu géométrique une surface du second degré, passant par la conique, et telle, que le cône qui lui serait circonscrit suivant cette courbe aurait pour sommet le pôle du plan de cette courbe, pris par rapport à la surface proposée.

La dernière partie de ce théorème prouve que si la conique est une section de la surface proposée, les deux surfaces se toucheront suivant cette courbe.

188. On peut supposer, dans les théorèmes précédents, que Tun des diamètres principaux de la première surface devienne nul , c'est-à-dire que cette surface se réduise à une conique; on aura de nouveaux théorèmes, dont nous n'énoncerons que le suivant :

Si l'on a deux coniques situées d'une manière quelconque dam l'espace, et que, par trois droites prises dans le plan de la seconde, de manière que le pôle de chacune d'elles par rapport à cette seconde courbe, soit le point de concours des deux autres, on mène trois plans tangents à la première conique, leur point d'intersection aura pour lieu géométrique une surface du second degré, qui passera par la seconde conique; et le cône circonscrit à cette surface, suivant cette courbe, aura pour sommet le pôle de la droite

d'intersection des plans des deux coniques , pris par rapport à lapremière.

II résulte^ de la dernière partie de ce théorème^ que^ si les plans des deux courbes sont parallèles^ le sommet du cône circonscrit à la surface^ suivant la seconde courbe, sera le centre de la première;

Et que, si la première conique a son centre sur le plan de la seconde^ cette seconde conique sera une section diamétrale de la surface.

On pourrait supposer que la première conique eût un de ses axes nul, et se réduisit à une ligne droite limitée à deux point fixes. Des trois plans tangents à cette conique, deux passeraient par Fun de ces points, et l'autre par le sScond point. Et les théorèmes précédents s'appliqueraient encore à ce cas.

On pourrait inéme supposer que Tun des deux points extrêmes de la droite fixe fût à Tinfini.

189. Reprenons le cas général de deux surfaces quelconques. Si le plan V est tangent à la première , il est clair que tout point de ce plan appartiendra à la troisième surface, parce qu'on pourra le considérer comme l'intersection de trois plans tangents à la surface , menés par les trois droites prises dans ce plan; ces trois plans se confondant avec ce plan lui-même. Il résulte de là que, dans ce cas, la troisième surface sera le système de deux plans dont l'un est le plan fixe.

On a donc ce théorème :

Étant données deux surfaces du second degré ^ et un plan fixe, tangent à la première ; si par trois droites prises dans ce plan ^ de manière que la polaire de chacune d'elles , par rapport à la seconde surface , passe par le point de concours des deux autres^ on mène trois plans tangents à la première surface, le point d intersection de ces trois plans sera toujours sur un même plan.

La première surface peut se réduire à une conique, comme dans les théorèmes précédents; et, à la seconde surface, on peut substituer une conique. On aurait ainsi divers autres théorèmes.

1 90. En appliquant le principe de dualité au théorème de Monge , ou

au théorème généra] (185), on obtient, sur-le-champ, celte autre propriété générale des surfaces du second degré :

Étant donmes deux surfaces quelconques du second degré; si, par un point fixe, on mène trois axes conjugués par rapport à la seconde (184), le plan déterminé par trois des points de rencontre de ces trois axes avec la première surface, roulera sur une troisième surface du second degré, qui aura pour centre d'homologie avec la seconde surface le point fixe; et ce point aura le même plan polaire dans cette troisième surface et dans la première des deux proposées.

Nous entendons ici, avec M. Poncelel, par centre dliomobgie des deux surfaces, le sommet d'un cône (réel ou imaginaire) circonscrit afhx deux surfaces.

Nous ne nous arrêterons pas à montrer les diverses conséquences de ce théorème général.

§ IV. Propriétés des systèmes de trois axes conjugués d'une surface

DU SECOND degré, RELATIFS A UN POINT.

i 91 . Soient trois diamètres conjugués d'une surface du second degré ; la somme des carrés des perpendiculaires abaissées de leurs extrémités, sur un plan diamétral fixe, sera constante.

Faisant la déformation homographique , on conclut de là, d'après ce que nous avons dit ci-dessus (184), et par le principe de relations métriques du numéro 176, cette propriété générale des surfaces du second degré :

Si, par un point fixe, on mène trois axes conjugués par rapport à une surface du second degré, et quon prenne sur chacun d'eux un des deux points oii il perce la surface, on aura ainsi trois points qui seront tels, que la somme des carrés de leurs distances à un plan fixe mené par le point donné y divisés respectivement par les carrés des distances des mêmes points au plan polaire du point donné, sera constante.

Si Ton prend le plan fixe parallèle au plan polaire du point fixe^ le théorème sera susceptible d'un autre énoncé, qui exprimera une proposition déjà démontrée d'une autre manière (1"^ partie, § XI , n** 49 ).

192, Concevons, menés par le point fixe, trois plans rectangulaires; pour chacun d'eux on aura l'équation qui exprime le théorème ci-dessus. Ajoutant membre à membre ces trois équations, on voit qu'il en résulte une autre propriété des systèmes de trois axes conjugués, relatifs à un point. Cette propriété est le théorème du numéro 52.

193. Si, dans le théorème général (191), on suppose le point fixe situé à l'infini, et si l'on observe que les trois axes conjugués, relatifs au point fixe, percent son plan polaire en trois points dont chacun a pour polaire, par rapport à la section de la surface par ce plan, la droite qui joint les deux autres ; on obtient le théorème suivant :

Si, dans un plan diamétral d'une surface du second degré, on pretid trois points tels que chacun d'eux ait pour polaire, par rapport à la section de la surface par ce plan, la droite qui joint les deux autres^ et que par ces points on mène les trois cordes de la surface, parallèles au diamètre coujugué au plan diamétral; la somme des carrés des distances de ces trois points, à une droite fixe située dans ce plan, divisés respectivement par les carrés des trois cordes, sera constante, quel que soit le système des trois points.

La droite fixe, située dans le plan diamétral , peut être à l'infini ; et on en conclut que la somme des valeurs inverses des carrés des trois cordes est constante.

194. Si l'on remplace, dans ces théorèmes, les trois cordes par les produits des segments faits par la conique située dans le plan diamétral, sur des parallèles à une même droite, menées par les trois points en question, on aura de nouveaux énoncés, où n'entrera plus la considération de la surface, et qui exprimeront des propriétés des coniques.

§ V. Autres propriétés des systèmes de trois axes conjugués d'une surface du second degré, relatifs a un point.

195. La somme des carrés des perpendiculaires abaissées, des six extrémités de trois diamètres conjugués d'une surface du second degré, sur un plan fixe mené arbitrairement dans Tespace , est constante.

On conclut de là, par le principe de relations métriques, du numéro 176, cette propriété générale des surfaces du second degré :

Si, par un point fixe, on mène trois axes conjugues par rapport à une surface du second degré; la somme des carrés des distances des six points oit ils percefwit la surface, à un plan fixe mené arbitrairement dans l'espace, divisés respectivement par les carrés des distances de ces points au plan polaire du point fixe, sera constante, quel que soit le système des trois axes conjugués, relatifs au point fixe.

196. Si, dans la première figure, on prend pour le plan fixe celui qui correspond à Tinfini de la seconde figure, on aura, par le principe du numéro 177, ce théorème, qui n'est autre que le précédent, où le plan fixe est situé à Tinfini :

Si, par un point fixe, on mène trois axes conjugués par rapport à une surface du second degré; la somme des valeurs inverses des carrés des distances des six points oii ils perceront la surface, au plan polaire du point fixe, sera constante, quel que soit le système des trois axes con-jugués.

197. Et appliquant le théorème ci-dessus (195) à trois plans rectangulaires, on aura trois équations qui, ajoutées membre à membre, donneront lieu au théorème suivant :

Si, par un point fixe, on mène trois axes conjugués par rapport à une surface du second degré, ils rencontreront la surface en six points, dont les carrés des distances à un second point fixe quelconque, divisés respectivement par les carrés des distances de ces points au plan polaire du premier point fixe, auront une somme constante.

MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE. 71 i

§ VI. Propriété très-générale des systèmes de trois axes conjugués,