RELATIFS A UN POINT, DE LAQUELLE LES AUTRES SE DÉDUISENT

198. Dans nos applications du principe de dualité, nous sommes parvenu à plusieurs propriétés des axes conjugues d'une surface du second degré, relatifs à un point, concernant les plans tangents à la surface, aux points où ces axes la rencontrent. Les propriétés de ces mc^mes axes, que nous venons de trouver dans les paragraphes précédents, concernent les points mêmes où ces axes percent la surface. Celles-ci peuvent être exprimées toutes sous un seul énoncé très-général, que nous allons présenter comme application du principe d'homographie.

Soient trois diamètres conjugués d'une surface du second degré; si, d'un point fixe 0, on mène des droites aux six points A, a, B, 6, C, c, où ils rencontrent la surface, la somme des carrés de ces six droites est constante, quel que soit le système des trois diamètres conjugués.

Ainsi l'on a

ÏÎâ' -h Ôô* -♦- ÔB -♦- Ô5*-f- ÔC*-t- Oc= const.

Concevons une sphère qui ait pour centre le point 0; et soient A', a', B', 6', C, c' les points où ses six rayons qui aboutissent aux points A, a, etc., la rencontrent; on aura

ÔÂ~' oô"*

H- elc. = roiisl.

OA' 0«'

Faisons la figure homographique, et désignons par les mêmes lettres les points correspondants, dans cette figure, aux points 0, A, a, etc., de la première. Soient L, /, M, m, N, n les points où les six droites OA, Oa, OB, 06, OC, Oc, dans la nouvelle figure, percent le plan qui correspond à l'infini de la première : on aura, en appliquant à chacun des termes de l'équation ci -dessus la formule du numéro 173, le théorème suivant :

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par le rapport des perpendiculaires abaissées^ des points A^ A'^ sur ce plan fixe; on aura le théorème suivant :

Si, autour d'un point fixe, pris arbitrairement par rapport à une surface du deuxième degré, on fait tourner trois droites rectangulaires, qui rencontreront ta surface en six points; la somme des cadrés des distances de ces points au plan polaire du point fixe, divisés respectivement par les carrés des distances de ces mêmes points au point fixe, sera constante.

201 . Ce théorème a lieu aussi pour trois seulement des six points où les trois droites rectangulaires rencontrent la surface; parce que les six termes de Féquation sont égaux deux à deux. Gar^ A^ a étant les points où Tune des trois droites menées par le point 0 rencontre la surface^ et L le point où elle perce le plan polaire du point 0^ on a, entre les quatre points 0^ L^ A, a, la relation harmonique :

OA^^LA Oa ""la

Mais AP et ap étant les perpendiculaires abaissées sur le plan^ on a

^onc

Ce qu'il fallait prouver.