AV B"6' C'V

une relation constante^ du degré n: le point d'intersection des trois plans aura pour lieu géométrique une surface de l'ordre n. Et réciproquement.

233. Supposons quc^ dans Téquation (4)^ les points Â'^ B'^ G' soient à Tinfini; et comprenons les segments A"D', B"E', C'T', qui sont des constantes^ dans les coefficients de Féquation; elle deviendra

F(A"o', B"6', CV) = 0.

Conséquemment :

Étant donnés un triangle ABC et trois droites quelconques, parallèles au plan de ce triangle; et étant pris, sur ces droites, trois points fixes A',B',C';

Si, par les trois côtés du triangle, on mène trois plans qui rencontt^it res-^ pectivement les droites en trois points a', b', c', de manière que les segments A'a', B'b', Ce' aient entre eux une relation constante, du degré n ; le lieu géométrique du point de rencontre des trois plans sera une surface de l'ordre n.

Et réciproquement.

234. Maintenant^ supposons que^ dans Féquation (4)^ lès points A''^ B^^ C" soient à Tinfini; et comprenons les constantes A'D'^ WEf^ CT' dans les coefficients de Féquation ; elle deviendra

Celle-ci prouve que :

Etant donnés un triangle ABC, et trois droites quelconques, menées par trois points A', B', C, pris dans le plan du triangle;

Si, par les côtés de ce triangle, on mène trois plans qui rencontrent, res-^

peclivementy ces trois droites en des points a', b', c', tels que l'on ait, entre les valeurs inverses des segments A'a', B'b', Ce', une relation du degré n ; le point d'intersection des trois plans aura pour lieu géométrique une surface de tordre n.

Et réciproquement.

235. Supposons que le triangle ÂBG soit à Tinfini; les trois transversales conservant des directions arbitraires dans Tespace, les points À', B', QJ seront à rinQni; etTéquation (4), si nous comprenons les constantes À'' D', g// g/^ çji p/^ jigjjjs |gg coeificients, se réduira à

Ce qui prouve que :

Etant données trois transversales dans I! espace, sur lesquelles S07it pris trois points fixes A'', B", C; si, par chaque point d'une surface de l'ordre n, on mène trois plans, ^respectivement parallèles à trois plans fixes, et rencontrant respectivement les trois transversales en trois points a', b', c', il y aura toujours, entre les trois segments A"a', B"b', C"c', une relation du degré n.

236. Tels sont les quatre théorèmes principaux qui se déduisent de Téquation (4). Mais chacun d^eux est encore susceptible de plusieurs corollaires, à cause de Tindétermination de position des trois droites fixes.

Le dernier donne immédiatement le principe sur lequel repose le système de coordonnées en usage, si Ton suppose que les trois transversales passent par un même point, que ce point soit Torigine des segments comptés sur elles, et que les trois plans menés par chaque point de l'espace soient parallèles, respectivement, aux plans formés par ces droites deux à deux.

237. On peut supposer, dans les quatre théorèmes, que les trois transversales se confondent, de sorte que les trois segments qui servent à déterminer la position d'un point dans Tespace, seront comptés sur une même droite, à partir de trois origines différentes, qui pourront môme se réunir

en une seule.

Dans cette hypothèse, le théorème (233) prend cet énoncé :

Etant donnés, dans l'espace, un triangle ABC et une droite parallèle à son plan, sur laquelle est pris un point fixe;

Si, par les trois côtés du triangle, on mène trois plans qui fassent sur la droite, à partir du point fixe, trois segments entre lesquels il y ait um rela^ tion du degré n, le point d'intersection des trois plans aura pour lieu géométrique une surface de l'ordre n.

Et réciproquement.

238. On peut changer Fénoncé de ce théorème^ en prenant sur la droite donnée deux points fixes au lieu d'un seul ; alors le théorème s^exprime ainsi :

Etant donnés, dans l'espace, un triangle et une droite parallèle à son plan, sur laquelle sont pris deux points fixes 0,0^ ; si, par les côtés du triangle, on mène trois plans, de manière que les six segments quils feront sur la droite 00' aient entre eux une relation constante, du degré n, le point d'intersection des trois plans engendrera une surface de l'ordre n.

En effets soient a, b,c les points où les trois plans rencontrent la droite 00'; si Ton remplace^ dans la relation donnée entre les segments Oa^ O'a, Ob, O'b, Oc, O'c, les segments O'a, O'b, O'c par leurs valeurs (00' — Oa), (00' — Ob), (00' — Oc), on aura une relation entre les trois autres segments Oa, 06, Oc; et cette relation sera encore du degré n. Donc, par le théorème précédent, le point d'intersection des trois plans sera sur une surface de Tordre n.

239. On a pareillement, dans la Géométrie plane, le théorème suivant :

Si, autour de deux points fixes A, B, on fait tomner deux droites, de manière que les quatre segments qu'acnés feront sur une. droite fixe 00', parallèle à AB, aient entre eux une relation constante, du degré n, le point d'intersection de ces deux droites engendrera une courbe de Cordre n.